专题04 二次根式章末50道压轴题型专训（5大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题04 二次根式章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 复合二次根式的化简 题型二 分母有理化 题型三 二次根式的化简求值 题型四 二次根式的规律问题 题型五 二次根式的综合应用 【经典例题一 复合二次根式的化简】 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）在进行二次根式化简时，我们有时会遇上如，，，等的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）根据上述方法化简：． （2）化简：． 3．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察： ；反之，∴． (1)直接写出答案：= ；= ． (2)化简：． (3)若，则a与的关系是什么？b与的关系又是什么？ 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得 化简．例如，∵==． ∴ 请仿照上例解下列问题： （1）；（2） 5．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）对于完全平方公式：，同学们已经非常熟悉.现在我们又学习了算术平方根，知道任何一个非负数都有算术平方根，那么怎样来求的算术平方根呢？ 解：. 点评：解题的关键是将3拆成2和1. 请你继续完成下列题目. 计算：(1) ； (2) . 6．（24-25八年级上·上海虹口·期末）先阅读下面的解答过程，然后再解答： 要对形如的式子化简，只要找到两个数，使，，即，，那么便有 ． (1)用上述方法化简：； (2)若的整数部分为，小数部分为，求的值． 7．（24-25八年级上·上海闵行·期末）阅读理解题，下面我们观察： 反之， 所以，所以 完成下列各题： （1）在实数范围内因式分解：； （2）化简：； （3）化简：． 8．（24-25八年级上·上海长宁·期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：； 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)请你尝试化简： ①______； ②______． (2) 若，且，，为正整数，求的值． 9．（2025·上海松江·模拟预测）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 10．（24-25八年级上·上海静安·期中）[阅读材料] 材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于的式子，以达到化去分母中根号的目的． 例如，化简 解： 材料二：化简的方法，如果能找到两个实数使，并且，那么 例如，化简 解： 【理解应用】 填空：化简的结果等于 计算： ① ② 【经典例题二 分母有理化】 11．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)请写出第④个等式； (2)利用规律计算：． 12．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：： ，： ； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值： ． 13．（24-25八年级上·上海静安·期中）请从小丽和小明的对话中确定，的值，先化简：，再求值． 14．（24-25八年级上·上海虹口·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 15．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 16．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）阅读并观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：________； (2)通过上述探究，猜想________（，且为整数） (3)计算： 17．（24-25八年级上·上海杨浦·开学考试）阅读与思考： 【阅读理解】 爱思考的小利在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： (1)计算：____________； (2)若，求． 18．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）；的有理化因式是___________． (2)把下列式子分母有理化：． 19．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 20．（24-25八年级上·上海普陀·期中）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】（1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是 （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如： 【概念理解】 ①的有理化因式是________． ②分母有理化的结果为________． (1)直接写出研究报告中“________”处空缺的部分分别是①________、②________． (2)利用分母有理化比较与的大小． (3)计算：． 【经典例题三 二次根式的化简求值】 21．（24-25八年级上·上海金山·期中）先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮 解：原式 小芳 解：原式 (1)_____的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_______； (2)先化简，再求值：，其中． 22．（24-25八年级上·上海虹口·期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的就应用了黄金分割数．设，，请解决下面的问题． (1)分别求出，的值． (2)分别求出，的值． 23．（24-25八年级上·上海闵行·期末）下面是某同学化简的过程： 解： …………第①步 …………第②步 …………第③步 (1)该同学的解答过程中，从第______步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 24．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．例如：，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：已知，． (1)化简，； (2)求代数式的值． 25．（24-25八年级上·上海松江·期中）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则， 即，∴， 把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 26．（24-25八年级上·上海徐汇·单元测试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 27．（24-25八年级上·上海宝山·期末）对于求三角形的面积，古今中外不少人都进行了研究，其中比较早且卓有成效的当属我国古代数学家秦九韶．他在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中为三角形的三边长，为面积）． （）若已知三角形的三边长分别为，试运用公式①，计算该三角形的面积； （）国外有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中）．请你取一组你喜欢的值，验算公式①、公式②的结果是否一样？ 28．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：_____（填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 29．（24-25八年级上·上海静安·期中）【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：________； (2)计算：； (3)已知，，求的值． 30．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）请阅读下列材料： 问题：已知 ，求代数式 的值． 小明的做法如下： ， ， 两边平方，得： ， ， ． 把 作为整体代入，得 ，即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 仿照上述方法解决下列问题： (1)已知 ，求代数式 的值； (2)已知 ，求代数式 的值． 【经典例题四 二次根式的规律问题】 31．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）观察与思考： ①；②；③；… (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 32．（24-25八年级上·上海虹口·期中）观察下列各式： ； ； ． (1) ． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ． (3)利用上述规律计算：． 33．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果：①；②；③……．回答下列问题： (1)利用你观察到的规律，求　 　； (2)计算． 34．（24-25八年级上·上海闵行·期末）【观察】，，，…… 【归纳】（1）若n为自然数，且，将上述规律用含n的式子表达出来； 【推理】（2）对（1）中的结论进行证明． 35．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第4个等式：___________； (2)请写出第n个等式：____________________． (3)利用上述的规律计算： 36．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）你能找到规律吗？ (1)计算：___________；___________；___________；___________； (2)由（1）的结果猜想：___________； (3)请按照找到的规律计算： ①； ② (4)已知：，则___________．（用含的式子表示） 37．（24-25八年级上·上海松江·期中）观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 38．（24-25八年级上·上海闵行·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 39．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是_______； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，，，且，求T的值． 40．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【经典例题五 二次根式的综合应用】 41．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和求图中阴影部分的面积． 42．（24-25八年级上·上海长宁·期末）（1）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知，，求S的值； （2）已知长方体的体积，高，底面相邻两边，求a，b的值． 43．（24-25八年级上·上海宝山·期中）教材第16页的阅读与思考：海伦－秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，米，米，米，请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 44．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是． (1)求长方形的周长； (2)求长方形的面积． 45．（24-25八年级上·上海金山·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 46．（24-25八年级上·上海普陀·期中）如图，老李家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 47．（24-25八年级上·上海长宁·期末）阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，，且，求T的值． 48．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 49．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 50．（24-25八年级上·上海闵行·期中）阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 复合二次根式的化简 题型二 分母有理化 题型三 二次根式的化简求值 题型四 二次根式的规律问题 题型五 二次根式的综合应用 【经典例题一 复合二次根式的化简】 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； （2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）在进行二次根式化简时，我们有时会遇上如，，，等的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）根据上述方法化简：． （2）化简：． 【答案】（1）﹣；（2）3． 【分析】（1）根据分母有理化法则计算； （2）根据题意找出规律，根据二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】解：（1）＝＝﹣； （2）原式＝×（﹣1）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣） ＝×（﹣1） ＝3． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据题意找到规律进行求解. 3．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察： ；反之，∴． (1)直接写出答案：= ；= ． (2)化简：． (3)若，则a与的关系是什么？b与的关系又是什么？ 【答案】(1)； (2)- (3)a与的关系是： ，b与的关系是：． 【分析】（1）将3拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；将4拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解； （2）将5拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解； （3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可． 【详解】（1）解： ； ． 故答案为：；． （2） ． （3） 两边平方得： ∴a与的关系是： ， b与的关系是：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得 化简．例如，∵==． ∴ 请仿照上例解下列问题： （1）；（2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把4分成3+1，根据二次根式的性质进行化简即可． （2）把7分成2+5，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：（1） = = =； （2） = = = = 【点睛】本题考查的是二次根式的性质和化简，正确理解阅读材料所示内容、掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）对于完全平方公式：，同学们已经非常熟悉.现在我们又学习了算术平方根，知道任何一个非负数都有算术平方根，那么怎样来求的算术平方根呢？ 解：. 点评：解题的关键是将3拆成2和1. 请你继续完成下列题目. 计算：(1) ； (2) . 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）将化为，仿照例题直接利用完全平方公式开平方即可求解；（2）将化为 ，仿照例题直接利用完全平方公式开平方即可求解． 【详解】（1） . （2） 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练应用完全平方公式是解决问题的关键． 6．（24-25八年级上·上海虹口·期末）先阅读下面的解答过程，然后再解答： 要对形如的式子化简，只要找到两个数，使，，即，，那么便有 ． (1)用上述方法化简：； (2)若的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式得到，然后根据二次根式的性质化简即可； （2）利用完全平方公式得到，根据二次根式的性质化简，再进行估算出a，b的值计算即可． 【详解】（1） = = = = = （2） = = = ∵ ∴ ∵的整数部分为，小数部分为， ∴ ∴= 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键． 7．（24-25八年级上·上海闵行·期末）阅读理解题，下面我们观察： 反之， 所以，所以 完成下列各题： （1）在实数范围内因式分解：； （2）化简：； （3）化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可； （2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可； （3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可． 【详解】解：（1） （2） （3）． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键． 8．（24-25八年级上·上海长宁·期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：； 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)请你尝试化简： ①______； ②______． (2)若，且，，为正整数，求的值． 【答案】(1)①；② (2)46或14 【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简． （2）变形已知等式，建立，，的方程组求解． 【详解】（1）解：①； ； ② ； 故答案为：①；②； （2）解： ， ， ，，均为正整数． 或， 或． 或14． 【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键． 9．（2025·上海松江·模拟预测）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 【答案】x＝7 【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解． 【详解】解：设+＝m，与原方程相乘得： （﹣）×（+）＝m， x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3， ∴+＝3，与原方程相加得： （﹣）+（+）＝3＋1， 2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根． 【点睛】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题． 10．（24-25八年级上·上海静安·期中）[阅读材料] 材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于的式子，以达到化去分母中根号的目的． 例如，化简 解： 材料二：化简的方法，如果能找到两个实数使，并且，那么 例如，化简 解： 【理解应用】 填空：化简的结果等于 计算： ① ② 【答案】（1）（2）①② 【分析】（1）根据分母有理化法则计算； （2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简； ②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）＝==， 故答案为：； （2）①＝==； ② ＝ =． 【点睛】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题的关键． 【经典例题二 分母有理化】 11．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)请写出第④个等式； (2)利用规律计算：． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了分母有理化，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据所给算式的特点写出第④个等式即可； （2）先分母有理化，再算加减即可． 【详解】（1）解：第④个等式：． （2）解： ． 12．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：： ，： ； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查新定义，二次根式乘法，二次根式化简，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义和平方差公式求解； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）利用有理化因式得到，由于当时，有最小值，所以有最大值． 【详解】（1）解： 的有理化因式为； 的有理化因式为； 故答案为：；； （2）解：原式 ； （3）解：， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时的值最大，最大值为， 即代数式的最大值为； 故答案为：． 13．（24-25八年级上·上海静安·期中）请从小丽和小明的对话中确定，的值，先化简：，再求值． 【答案】，，， 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用平方差公式化简运算即可． 【详解】解：原式 ， 由题意得，， ∴原式． 14．（24-25八年级上·上海虹口·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，分母有理数，二次根式的大小比较，根据已知等式得出规律是解题关键． （1）观察已知等式规律作答即可； （2）观察已知等式规律作答即可； （3）根据上述规律，得到两个数的倒数，然后通过比较两个倒数的大小，即可比较这两个数的大小． 【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：观察以上规律，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ，即， ． 15．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值是解题的关键． （）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （）将式子中的每一个分式进行分母有理化，即可求解； （）仿照题例求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 16．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）阅读并观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：________； (2)通过上述探究，猜想________（，且为整数） (3)计算： 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键； （1）根据题中给的例子即可得出答案； （2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案； （3）根据（2）中规律计算化简即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：猜想：， 验证： ， 故答案为：； （3）解： ． 17．（24-25八年级上·上海杨浦·开学考试）阅读与思考： 【阅读理解】 爱思考的小利在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： (1)计算：____________； (2)若，求． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式混合运算，分母有理化，乘法公式等，熟练掌握分母有理化的方式是解题关键． （1）利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将代数式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ，即， ， 18．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）；的有理化因式是___________． (2)把下列式子分母有理化：． 【答案】(1)（答案不唯一）；（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了有理化因式，以及分母有理化，理解有理化因式的定义是解答本题的关键． （1）根据有理化因式的定义求解即可； （2）把分子、分母都乘以计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）； （2）解：． 19．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)①；② (3)， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及分母有理化，理解有理化因式，掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据有理化因式的额定义和分母有理化求解即可； （2）①根据有理化因式得到，，即可比较大小； ②仿照题意根据分母有理化的方法得到，再把所求式子裂项求解即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， ， 故答案为：，； （2）解：①，， ，， ， ， ， 故答案为：； ②∵ ， ． （3）解： ， ， ， ， ，， ． 20．（24-25八年级上·上海普陀·期中）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】（1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是 （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如： 【概念理解】 ①的有理化因式是________． ②分母有理化的结果为________． (1)直接写出研究报告中“________”处空缺的部分分别是①________、②________． (2)利用分母有理化比较与的大小． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用分母有理化的概念将二次根式进行化简． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）现将与分母有理化，在进行比较即可； （3）利用分母有理化计算即可． 【详解】（1）解： ； ． 故答案为：； ； （2）解：， ． ， ； （3）解： ． 【经典例题三 二次根式的化简求值】 21．（24-25八年级上·上海金山·期中）先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮 解：原式 小芳 解：原式 (1)_____的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_______； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮； (2)；8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值是解题的关键． （1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质将原式化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮； （2）解： ， ∵， ∴原式． 22．（24-25八年级上·上海虹口·期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的就应用了黄金分割数．设，，请解决下面的问题． (1)分别求出，的值． (2)分别求出，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是黄金分割数的含义，二次根式的混合运算，分式的加法运算； （1）直接代入，进行计算即可； （2）由，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． （2）解：∵，， ∴． ． 23．（24-25八年级上·上海闵行·期末）下面是某同学化简的过程： 解： …………第①步 …………第②步 …………第③步 (1)该同学的解答过程中，从第______步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【答案】(1)① (2)过程见解析，， 【分析】本题主要考查了分式的加减运算． （1）观察该同学的解答过程，可发现第①步通分错误，通分应该分子分母同乘以相同的因式； （2）先将原式通分，然后按照同分母分式相加法则进行计算，再约分，最后将代入求值即可． 【详解】（1）解：该同学的解答过程中，从第①步开始出现错误； 故答案为：①； （2）解：正确的化简过程如下： ， 当时，原式． 24．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．例如：，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：已知，． (1)化简，； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，代数式的求值，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据题干中提供的分母有理化的方法进行化简即可； （2）根据化简后的a、b的值得出，，将变形为，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 25．（24-25八年级上·上海松江·期中）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则， 即，∴， 把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到，，把代入得到，进而可得出结论． 【详解】（1）解：由，，则， ∴， ∴； （2）解：由得，则， ∴， ∴ ． 26．（24-25八年级上·上海徐汇·单元测试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解：， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 27．（24-25八年级上·上海宝山·期末）对于求三角形的面积，古今中外不少人都进行了研究，其中比较早且卓有成效的当属我国古代数学家秦九韶．他在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中为三角形的三边长，为面积）． （）若已知三角形的三边长分别为，试运用公式①，计算该三角形的面积； （）国外有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中）．请你取一组你喜欢的值，验算公式①、公式②的结果是否一样？ 【答案】（）；（）一样 【分析】（）把，，代入公式①计算即可求解； （）取，，，求出的值，再代入公式②计算求出结果，进而根据（）的结果比较即可判断求解； 本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）把，，代入公式①得， ； （）取，，， 则由公式②得，， ∴把，，，代入公式②得， ， ∴结合（）可知，公式①、公式②的结果是一样． 28．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：_____（填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ∴ ∴ 29．（24-25八年级上·上海静安·期中）【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：________； (2)计算：； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理数，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）先进行分母有理化求出的值，进而求出的值，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）原式 ； （3）∵， ， ∴， ∴． 30．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）请阅读下列材料： 问题：已知 ，求代数式 的值． 小明的做法如下： ， ， 两边平方，得： ， ， ． 把 作为整体代入，得 ，即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 仿照上述方法解决下列问题： (1)已知 ，求代数式 的值； (2)已知 ，求代数式 的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据求出，然后两边平方后求出，求出，再代入求出答案即可； （2）根据求出，再两边平方求出，求出，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， 两边平方得：，即， ， ； （2）解：， ， ， 两边平方，得，即， ，即， ． 【经典例题四 二次根式的规律问题】 31．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）观察与思考： ①；②；③；… (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 【答案】(1) (2)（的整数），证明见解析 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）由题干找出规律求解即可； （2）先找出规律，再由二次根式的性质化简证明． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③；… ∴写出第④个等式为：； （2）解： （的整数） 证明如下： ． 32．（24-25八年级上·上海虹口·期中）观察下列各式： ； ； ． (1) ． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ． (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可； （2）根据已知算式得出规律即可； （3）先变形为原式，再根据得出的规律进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 33．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果：①；②；③……．回答下列问题： (1)利用你观察到的规律，求　 　； (2)计算． 【答案】(1) (2)2021 【分析】（1）由已知式子不难得出； （2）根据，表示出、，……，，结合平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意归纳可得： ； （2） ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，实数运算规律的探究，根据规律写出的代数式是解题的关键． 34．（24-25八年级上·上海闵行·期末）【观察】，，，…… 【归纳】（1）若n为自然数，且，将上述规律用含n的式子表达出来； 【推理】（2）对（1）中的结论进行证明． 【答案】（1）；（2）见解析． 【分析】本题考查了二次根式的性质的应用，解此题的关键是能根据已知得出规律． （1）根据已知的等式即可写出第n个式子； （2）根据二次根式的运算法则进行验证． 【详解】解：（1）根据已知等式可得． （2）等式左边． ∵， ∴等式右边． ∴， 35．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第4个等式：___________； (2)请写出第n个等式：____________________． (3)利用上述的规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目的式子可以写出第4个等式； （2）根据题目的式子可以写出第个等式； （3）根据（2）的结果，可以先将所求式子展开，然后化简即可． 本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字的变化类，解答本题的关键是写出第个等式． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 故答案为：； （2）解：由（1）的规律可得，， 故答案为：； （3）解： ． 36．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）你能找到规律吗？ (1)计算：___________；___________；___________；___________； (2)由（1）的结果猜想：___________； (3)请按照找到的规律计算： ①； ② (4)已知：，则___________．（用含的式子表示） 【答案】(1)；；； (2) (3)①；②2 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算： （1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）由（1）的规律得出(，)； （3）根据（2）的结论即可求解； （4）利用（2）的结论的逆运算即可求解． 【详解】（1）解：；； ；； 故答案为：；；；； （2）由（1）得：；； 猜想： 故答案为：； （3）解；①；   ②； （4）解：∵，， ∴； 故答案为：． 37．（24-25八年级上·上海松江·期中）观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查二次根式的运算以及数字的变化规律，通过观察找到各式子分母分子之间的规律是解题的关键． （1）通过观察所给的式子，直接分析即可求解； （2）通过观察算式的左边和右边的变化量和不变化量可以得出规律； （3）通过观察算式的规律可以直接写出用含n式子表示上述规律，并利用二次根式的计算进行计算证明． 【详解】（1）解：由题意可得第五个算式：； 故答案为：； （2）解：通过观察可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式的序号大的数减去的差再乘以加上比这个算式的序号大的数的倒数，等号右边是这个算式的序号大的数分之这个算式的序号大的数乘以比这个算式的序号大的数的算术平方根； （3）解：第个等式：， 证明：是正整数， ． 38．（24-25八年级上·上海闵行·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）观察各个特例可知：等式左边被开方数的被减数等号右边二次根式的系数特例序号，等式左边被开方数的减数等号右边的被开方数，由此规律求出答案即可； （2）按照（1）中的特例找出规律，进行解答即可； （3）根据（2）中找出规律，求出a，b，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， 故答案为：； （2）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， ， 特例n：， 故答案为：； （3）解：由可知：， 均为正整数， ，， ， 故答案为：． 39．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是_______； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，，，且，求T的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是； 故答案为： （2）解：猜想：， 证明： ； （3）解：当，时， 40．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与性质， （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 熟练掌握二次根式的乘法法则和性质是关键． 【详解】（1）根据阅读材料中的例题得，当时，； （2）①， ②； （3）由题意，得长方形的面积． 【经典例题五 二次根式的综合应用】 41．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，结合正方形的性质得正方形①的边长为，正方形③的边长为，故正方形②的边长为，根据阴影部分的面积等于它的长乘宽进行列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：正方形①、③的面积分别为24和3， 正方形①的边长为，正方形③的边长为， 正方形②的边长为， 阴影部分的面积为： 42．（24-25八年级上·上海长宁·期末）（1）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知，，求S的值； （2）已知长方体的体积，高，底面相邻两边，求a，b的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二次根式的应用； （1）根据长方形的面积公式列式计算即可； （2）由已知得出，然后根据长方体的体积公式列式求出a，进而可得b的值． 【详解】解：（1）依题意，； （2）， ， ，即 ∴， ， ， ． 43．（24-25八年级上·上海宝山·期中）教材第16页的阅读与思考：海伦－秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，米，米，米，请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查二次根式的运算，直接根据海伦－秦九韶公式求解，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴（平方米）． 答：的面积是平方米． 44．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是． (1)求长方形的周长； (2)求长方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根的应用， （1）首先求出，，得到，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据长方形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵正方形的面积是，正方形的面积是 ∴， ∴ ∴长方形的周长； （2）∵ ∴ ∴长方形的面积． 45．（24-25八年级上·上海金山·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)不正确 (3)；严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论； （3）求出，代入动能计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知：当时，； （2）解：不正确． 理由：当时，． ， ∴不正确； （3）解：当时，， 解得． ∴鸡蛋产生的动能． ∴启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 46．（24-25八年级上·上海普陀·期中）如图，老李家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)1120元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）用长方形空地的面积减去长方形水池的面积可得种植草莓的面积，进而可求出销售收入． 【详解】（1）解：， 答：长方形空地的周长为； （2）解： ， （元）， 答：销售收入为1120元． 47．（24-25八年级上·上海长宁·期末）阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，，且，求T的值． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题考查了规律探究，二次根式的应用； （1）由正方形的面积得，，即可求解； （2）根据（1）的结果进行猜想得，即可求解； （3），代入、，即可求解； 找出规律，能熟练利用平方差公式进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：，； （2）解：， 理由如下： ； （3）解： ． 48．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 【答案】（1），，；（2） ，见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）理由如下： 当，时，， ， ， ． （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 49．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 根据圆的面积公式可求求得半径，再作差即可； 根据半径求得面积作差，再乘以单价即可． 【详解】（1）解： ， 故圆环的宽度为． （2）解：（元）， 则购买地砖需要花元钱． 50．（24-25八年级上·上海闵行·期中）阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3) (4)这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． （3）解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． （4）设这个矩形的长为，所用的篱笆总长为， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$