精品解析：云南省昭通市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

昭通市第一中学2025年秋季学期高二年级开学考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向向量求出斜率，根据倾斜角与斜率的关系，即可得答案. 【详解】根据题意：方向向量为的直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，，则， 解得倾斜角为． 故选：D. 2. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线方程中令求得值即得. 【详解】在中令得， 故选：A. 3. 抛物线的焦点到准线的距离等于（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线中的几何意义为焦点到准线的距离，可得到答案. 【详解】由抛物线中的几何意义为焦点到准线的距离 抛物线的. 所以抛物线的焦点到准线的距离等于6. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线中的几何意义，属于基础题. 4. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 5. 下列方程一定表示圆的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【详解】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 6. 如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，表示出、，由解出，得到线段的长度. 【详解】在直三棱柱中，， 以A为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则． 由于，所以，解得， 所以线段的长度为． 故选：A． 7. 已知点，在直线上存在一点P，使最小，则P点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，点在直线的同侧，利用轴对称的性质求出点关于直线的对称点的坐标，可知直线与的交点就是所求的点，进而求得答案． 【详解】设为点关于直线的对称点， 则的中点为， 由轴对称的性质，可得，解得，即． 故直线的方程为，即， 由，解得， 即直线与交于点． 由于，故当点三点共线时， 即直线上的点与重合时，达到最小值， 故满足条件的点坐标为． 故选：C 8. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义算出，由焦点三角形三边关系列不等式求解. 【详解】由椭圆的定义得， 又，故， 由，得， 又椭圆的离心率，则. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于双曲线的以下论述中，正确的是（ ） A. 焦点在y轴上 B. 虚轴长为16 C. 渐近线方程为 D. 离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由有，逐项验证即可求解. 【详解】由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确； 由，所以虚轴长为，故B错误； 由得，故C正确；由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，应用直线的定点结合垂直计算求参判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围判断D. 【详解】对于A，直线与直线平行，则，解得， 直线，即， 则与的距离为，选项A正确； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，将直线方程变形为，由得， 则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确； 对于D，如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确. 故选：ACD． 11. 一对不共线的向量，的夹角为θ，定义为一个向量，其模长，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据 的定义以及数量积的几何意义逐项分析. 【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当，有意义 则，正确； 对于C，，，，，，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OABC的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底面OABC的方向上的投影向量的模长（即为高）乘以底面的面积，即为体积，正确； 故选：ABD． 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到平面距离的向量方法公式，求出方向向量，代入公式求出距离即可. 【详解】因为，所以点到平面的距离. 故答案为：. 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 14. 直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足, ,即， , ,当且仅当时，等号成立， 的最大值为4. 故答案为：4. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． （1）求顶点C的坐标； （2）求直线BC的一般式方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解； （2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解； 【小问1详解】 设，AB边上的中线CM所在直线方程为， AC边上的高BH所在直线方程为， ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 设，则，解得， ∴，则． ∴直线BC的方程为，即为. 16. 如图，在平行六面体中，分别为棱的中点，记，满足，． （1）求的长度； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间的基向量表示出，再根据向量数量积运算律计算模长即可； （2）根据向量的线性运算表示，再运用空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 因 则，， 于是. 又， 则， 故. 【小问2详解】 因为， 则， 故， 又则，故， 则， 则， 故与夹角的余弦值为． 17. 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【小问1详解】 因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． 【小问2详解】 由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1） 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 19. 已知圆，直线过点． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程； （3）已知，斜率为且过点的直线与的轨迹交于两点，求的面积． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离分别求出直线方程即可. （2）先将点的坐标表示出来，然后根据其在圆上求出轨迹方程即可. （3）联立直线和点的轨迹方程组，结合韦达定理求出的面积即可. 【小问1详解】 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径， 故直线为圆的切线； 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或． 【小问2详解】 设点，则，由点是的中点得，， 所以①，因为在圆上运动，所以②， ①代入②得，化简得点的轨迹方程是． 【小问3详解】 由题知，直线的方程为，设， 联立，得， 从而， 所以 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通市第一中学2025年秋季学期高二年级开学考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. -1 D. 3. 抛物线的焦点到准线的距离等于（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 4. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列方程一定表示圆的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，在直线上存在一点P，使最小，则P点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于双曲线的以下论述中，正确的是（ ） A. 焦点在y轴上 B. 虚轴长为16 C. 渐近线方程为 D. 离心率为 10. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 一对不共线的向量，的夹角为θ，定义为一个向量，其模长，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________. 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 14. 直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为__________ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． （1）求顶点C的坐标； （2）求直线BC的一般式方程． 16. 如图，在平行六面体中，分别为棱的中点，记，满足，． （1）求的长度； （2）求与夹角的余弦值． 17. 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 19. 已知圆，直线过点． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程； （3）已知，斜率为且过点的直线与的轨迹交于两点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $