第2章 3 匀变速直线运动位移与时间的关系（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中物理必修第一册（教科版）

3　匀变速直线运动位移与时间的关系 [学业要求与核心素养] 物理观念 1．知道v­t图像中的“面积”与位移的对应关系 2．掌握位移与时间的关系式 科学思维 1．了解位移公式的推导方法，感受利用极限思想解决物理问题的科学方法 2．会用公式分析计算匀变速直线运动问题 一、匀速直线运动的位移 阅读教材，并回答： 对于匀速直线运动 (1)写出其位移和时间的关系式。 答：x＝vt。 (2)在v­t坐标系内画出速度是v0的匀速直线运动的v­t图像。 答：如图 (3)其位移在v­t图像中怎样表示？ 答：用图线与时间轴包围的面积。 [概念·规律] 1．位移公式：x＝__vt__。 2．位移在v­t图像中的表示：做匀变速直线运动，物体的位移在数值上等于v­t图线与对应的时间轴所包围的矩形的__面积__。如图所示阴影图形的面积就等于物体在t时间内的__位移__。 　 二、匀变速直线运动的位移 阅读教材，并回答： 1．对于匀速直线运动，物体的位移对应着v­t图线与t轴围成的面积。对于匀变速直线运动，它的位移是否也对应着v­t图线与t轴围成的面积呢？ (1)如图所示，将时间0～t看成一大段，用这一段时间开始时刻的瞬时速度来代替这一段时间内的平均速度，运用v­t图像估算出的位移比实际位移大还是小？ 答：比实际位移小。 (2)将时间0～t平均分成5段，用每一个时间段开始时刻的瞬时速度代替这一段时间内的平均速度，运用图像估算出的位移，和把0～t看成一段估算出的位移，哪一位移更接近实际位移？ 答：分成5段时更接近实际位移。 (3)将时间0～t平均分成8段、16段……甚至将0～t无限细分呢？ 答：可以想像，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和，就能准确地代表物体的位移了。这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起组成了一个梯形，梯形的面积就代表做匀变速直线运动物体在0(此时速度是v0)到t(此时速度是vt)这段时间内的位移。 2．在如图所示v­t图像中，阴影梯形的面积怎样计算？你能推导出公式S＝v0t＋at2吗？ 答：梯形的面积S＝(v0＋vt)t，将vt＝v0＋at代入得S＝v0t＋at2。 [概念·规律] 1．位移在v­t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v­t图线与时间轴所包围的__面积__。如图所示，阴影图形的面积等于物体在t时间内的__位移__。 2．公式：x＝　v0t＋at2　。 三、两个推论 1．推论1：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，也等于这段时间初、末速度和的一半，即＝v＝　　。 2．推论2：匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则 (1)Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ……＝__aT2__。 (2)应用 ①判断物体是否做匀变速直线运动：如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 ②求加速度： 利用Δx＝__aT2__，可求得a＝　　。 探究点一　用v­t图像求位移 v­t图像中的“面积” 无论是匀速直线运动还是匀变速直线运动，物体在t时间内的位移都可以用v­t图像与t轴所包围的面积表示。 (1)当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同。 (2)当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反。 (3)当“面积”既在t轴上方，又在t轴下方时，位移为上、下“面积”的代数和，其正负表示位移与规定的正方向相同或相反。 　 某一做直线运动的物体的v­t图像如图所示，根据图像求： (1)物体距出发点的最大距离； (2)前4 s内物体的位移大小； (3)前4 s内通过的路程。 [解析]　(1)物体距出发点的最大距离 xmax＝v1t1＝×4×3 m＝6 m。 (2)前4 s内的位移大小 x＝x1＋x2＝v1t1＋v2t2＝×4×3 m＋×(－2)×1 m＝5 m。 (3)前4 s内通过的路程 s＝x1＋|x2|＝v1t1＋＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m。 [答案]　(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m 1．如果物体运动的v­t图像是曲线，如图所示，则物体在10 s内的位移____________(选填“>”“＝”或“<”)40 m。 解析　若质点做匀变速直线运动，对应图像如下图中倾斜的直线所示，对应的位移x＝×(2＋6)×10 m＝40 m。该图像对应的面积显然大于梯形面积，故位移大于40 m。 答案　> 探究点二　对位移公式x＝v0t＋at2的理解 1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动。 2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向，通常有以下几种情况： 运动情况 取值 若物体做匀加速直线运动 a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向) 若物体做匀减速直线运动 a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向) 若位移的计算结果为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同 若位移的计算结果为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反 3．公式的两种特殊形式 (1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。 (2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)。 　一汽车做直线运动的位移与时间的关系满足关系式x＝10t－2t2(x的单位是m，t的单位是s)，则(　　) A．该汽车做匀加速直线运动 B．该汽车在第1 s内的位移大小为10 m C．该汽车的加速度大小为4 m/s2 D．该汽车的初速度大小为16 m/s [解析]　根据位移时间关系x＝v0t＋at2，可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，由此可知，初速度方向和加速度方向相反，汽车做匀减速直线运动，故A、D错误，C正确；汽车在第1 s内的位移为x1＝v0t1＋at＝10×1 m－×4×12 m＝8 m，故B错误。 答案　C [变式] 1．若例题中汽车刹车后运动的位移随时间变化的运动规律是x＝10t－2t2(m)，x与t的单位分别是m和s。下列说法正确的是(　　) A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝2 m/s2 B．汽车刹车后4 s内的位移是8 m C．汽车刹车最后1 s内位移为2 m D．汽车可行驶的最大距离为25 m 解析　根据匀变速直线运动的位移—时间公式x＝v0t＋at2，结合位移随时间变化的规律x＝10t－2t2，可知初速度v0＝10 m/s，a＝－2 m/s2，解得加速度为a＝－4 m/s2，故A错误；根据速度—时间公式，可知汽车速度减为零的时间为t0＝＝ s＝2.5 s，由于刹车时间t0＝2.5 s＜4 s，根据运动学公式可得刹车后4 s内的位移为x＝t0＝×2.5 m＝12.5 m，故B错误；汽车刹车最后1 s内位移可以看成逆方向的加速运动x′＝a′t2＝×4×1 m＝2 m，故C正确；根据速度—位移公式可得汽车可行驶的最大距离为xm＝＝ m＝12.5 m，故D错误。故选C。 答案　C 2．(多选)若例题中汽车做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝10t－t2，则该汽车(　　) A．运动的加速度大小为1 m/s2 B．前2 s内的平均速度是8 m/s C．第n s内的位移与第(n＋1)s内的位移之差是1 m D．经5 s速度减为零 解析　汽车做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝10t－t2，结合匀变速直线运动位移时间关系x＝v0t＋at2，可得v0＝10 m/s，a＝－2 m/s2，可知汽车做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为2 m/s2，故A错误；汽车在前2 s内的位移为x2＝10×2 m－22 m＝16 m，则前2 s内的平均速度为＝＝ m/s＝8 m/s，故B正确；根据Δx＝aT2可知第n s内的位移与第(n＋1)s内的位移之差为|Δx|＝2×12 m＝2 m，故C错误；汽车速度减为零所用时间为t＝＝ s＝5 s，故D正确。 答案　BD ●规律方法 “刹车类”问题的处理方法 (1)刹车类问题一般视为匀减速直线运动，汽车停下后不能做反向的运动。 (2)处理该类问题时，首先要判断刹车后经多长时间速度变为零(即刹车时间)。 ①若所给时间大于刹车时间，则v＝0，x＝v0t＋at2(t为刹车时间)。 ②若所给时间小于刹车时间，则v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，t为所给时间。 2．(2025·郑州高一检测)一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零。已知运动中滑块加速度恒定。若设斜面全长为L，滑块通过最初L所需的时间为t，则滑块从斜面底端滑到顶端所用时间为(　　) A.t　　　　　　　　 B．(2＋)t C．3t D．2t 解析　利用“逆向思维法”把滑块的运动看成逆向的初速度为0的匀加速直线运动。设后所需时间为t′，则＝at′2， 全过程L＝a(t＋t′)2 解得t′＝(＋1)t 所以t总＝t′＋t＝(2＋)t，故B正确。 答案　B 探究点三　重要推论的理解与应用 匀变速直线运动的重要推论 1．平均速度公式 (1)平均速度：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即＝v＝(v0＋vt)＝。 (2)推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v。 由x＝v0t＋at2得 平均速度＝＝v0＋at① 由速度公式vt＝v0＋at知， 当t′＝时，v＝v0＋a② 由①②得＝v 又vt＝v＋a· 联立以上各式解得v＝， 所以＝v＝。 2．逐差相等公式及应用 (1)逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2 (2)推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2① 在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2② 则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③ 由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2 　有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度和加速度是多少。 [解析]　由题意可画出物体的运动示意图 解法一　基本公式法 由位移公式得：x1＝vAT＋aT2 x2＝vA·2T＋a(2T)2－ 将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入上式， 解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s。 解法二　逐差法 由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2① 又x1＝vAT＋aT2② 由①②解得vA＝1 m/s。 解法三　平均速度公式法 B是A、C的中间时刻， vB＝＝ m/s＝11 m/s。 第1个时间T内的平均速度分别为 1＝＝ m/s＝6 m/s，1＝， 解得vA＝1 m/s， 其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。 [答案]　1 m/s　2.5 m/s2 ●方法总结 计算题答题规范 (1)对于做直线运动的物体，尤其是多过程的运动，要画出示意图，标明状态节点及相关的物理量。 (2)选用公式时要书写定律中表达式。 (3)公式中所涉及的物理量或者未知的物理量应该用常用物理的符号，角标应合理。切忌只要是未知量就设为“x”。 (4)代入数据的求解运算过程不用书写，直接得出结果即可。 (5)结果为数字的，一般应带单位，结果为表达式的一般不带单位。 　 如图所示，质点从A点开始以初速度v0＝2 m/s向右做匀加速直线运动，途径B、C两点，已知质点从A点运动到B点用时t＝1 s，AB的长度x＝4 m，通过AB和BC两段过程所用时间相等，试求： (1)质点运动的加速度大小a； (2)质点运动到B点时的速度大小vB； (3)BC和AB两段长度之差Δx。 [解析]　(1)物体从A点运动到B点，由x＝v0t＋at2，解得a＝4 m/s2。 (2)从A点运动到B点，由vB＝v0＋at，解得vB＝6 m/s。 (3)由Δx＝at2，解得Δx＝4 m。 [答案]　(1)4 m/s2　(2)6 m/s　(3)4 m [变式] 1．在例题中，若质点做匀加速直线运动，依次经过A、B、C、D四点，已知经过AB、BC和CD三段所用时间均为2 s，通过AB和CD段的位移大小分别为4 m和8 m，则BC段的位移大小为(　　) A．6 m　　　　　　　 B．5 m C．3 m D．2 m 答案　A 2．在例题中若质点自O点由静止开始做匀加速直线运动，途径A、B、C、D四点，测得AB＝4 m，BC＝8 m。且质点通过AB、BC、CD所用时间相等均为2 s。则下列说法正确的是(　　) A．可以求出质点加速度的大小a＝0.5 m/s2 B．可以求得CD＝16 m C．可求得OA＝1.125 m D．可求得 OA＝0.5 m 解析　根据匀变速直线运动推论Δx＝aT2，可得质点的加速度大小为a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故A错误；根据匀变速直线运动推论Δx＝aT2，且质点通过AB、BC、CD所用时间相等均为2 s，则有CD－BC＝BC－AB，解得CD＝2BC－AB＝2×8 m－4 m＝12 m，故B错误；根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的平均速度，则有vB＝＝ m/s＝3 m/s，则有OB＝＝ m＝4.5 m，可得OA＝OB－AB＝4.5 m－4 m＝0.5 m，故C错误，D正确。 答案　D 3．让小球从斜面顶端滚下，如图所示是用闪光照相机拍摄的小球在斜面上运动的一段，已知频率为10 Hz，且O点是0.4 s时小球所处的位置，试根据此图估算： (1)小球从O点到B点的平均速度； (2)小球在A点和B点的瞬时速度； (3)小球运动的加速度大小。 解析　依题意知，相邻两次闪光的时间间隔为 Δt＝＝ s＝0.1 s。 (1)小球从O点到B点的平均速度 OB＝＝ m/s＝0.8 m/s。 (2)小球在A点的瞬时速度等于OB间的平均速度 vA＝OB＝0.8 m/s， 小球在B点的瞬时速度等于AC间的平均速度 vB＝＝ m/s＝1.0 m/s。 (3)小球的加速度 a＝＝ m/s2＝2 m/s2。 答案　(1)0.8 m/s　(2)0.8 m/s　1.0 m/s (3)2 m/s2 1．(位移公式的理解)某质点的位移随时间变化规律的关系是x＝4t＋2t2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为(　　) A．4 m/s与2 m/s2　　　　　 B．0与4 m/s2 C．4 m/s与4 m/s2 D．4 m/s与0 解析　将质点的位移随时间变化规律的关系x＝4t＋2t2与匀变速直线运动的位移与时间的关系式x＝v0t＋at2对比，得出v0＝4 m/s，a＝4 m/s2，选项C正确。 答案　C 2．(位移公式的应用)一辆汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2 s(汽车未停下)，汽车行驶了36 m。汽车开始减速时的速度是(　　) A．9 m/s B．18 m/s C．20 m/s D．12 m/s 解析　由x＝v0t＋at2，将x＝36 m，a＝－2 m/s2，t＝2 s，代入解得：v0＝20 m/s，选项C正确。 答案　C 3．(位移公式的应用)一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图所示，汽车通过A、B两相邻的树用了3 s，通过B、C两相邻的树用了2 s，求汽车运动的加速度大小和通过树B时的速度大小。 解析　汽车经过树A时的速度为vA，加速度为a。 对AB段运动，由x＝v0t＋at2有 15 m＝vA×3 s＋a×(3 s)2 同理，对AC段运动，有30 m＝vA×5 s＋a×(5 s)2 两式联立解得vA＝3.5 m/s，a＝1 m/s2 再由vt＝v0＋at 得vB＝3.5 m/s＋1×3 m/s＝6.5 m/s。 答案　1 m/s2　6.5 m/s 学科网（北京）股份有限公司 $$