1.1.2 空间向量的数量积运算 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§1.1.2 空间向量的数量积运算 考法1：求空间向量的数量积 【例1.1.】 棱长为1的正方体中，若G为正方形的中心，即（    ） A．2 B． C．－1 D．1 【例1.2.】 在平行六面体中，已知，，，，，则的值为（    ） A．10.5 B．12.5 C．22.5 D．42.5 【例1.3.】 已知在四面体ABCD中，，，则 ． 【例1.4.】 正方体的棱长为2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, 的取值范围是 . 【例1.5.】 在空间直角坐标系中，已知三个单位向量、、满足，，则的取值范围是 . 【例1.6.】 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 考法2：利用数量积求角或角的余弦值 【例2.1.】 若非零向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 (多选)在三棱锥A-BCD中， ， ， 两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（    ） A． B． C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 【例2.6.】 在平行六面体中，底面为正方形，，且，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【例2.7.】 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. (1)用表示，并求EF的长； (2)求与夹角的大小． 【例2.8.】 如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 考法3：利用数量积求线段长或两点距离 【例3.1.】 已知空间单位向量满足，则 ． 【例3.2.】 在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 在平行六面体中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 【例3.5.】 在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 如图，在平行六面体中，底面四边形ABCD是菱形，，，，则的长为 ，直线与直线所成角的余弦值为 ．（结果用a，b表示） 【例3.7.】 如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，则直线和夹角的余弦值为 ．若分别是上的动点，且，则的最小值是 ． 考法4：利用数量积求投影向量 【例4.1.】 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量等于（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例4.4.】 如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于 . 考法5：利用数量积证明空间中的垂直关系 【例5.1.】 如图，正方体中，，，，分别是棱，，，的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 【例5.2.】 如图，在平行六面体中，设，，，分别是，，的中点. (1)试用，，表示以下列向量：. (2)，，求证：平面 【例5.3.】 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.1.2 空间向量的数量积运算 考法1：求空间向量的数量积 【例1.1.】 棱长为1的正方体中，若G为正方形的中心，即（    ） A．2 B． C．－1 D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积 【分析】设，，，利用基向量表示、，再求其数量积. 【详解】设，，， 则，且，，， 即，且，，， 则， ， 则 . 故选：D. 【例1.2.】 在平行六面体中，已知，，，，，则的值为（    ） A．10.5 B．12.5 C．22.5 D．42.5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】将作为基底，然后用基底表示出，再求其数量积即可. 【详解】由题意得，， 因为，，，，， 所以 ， 故选：A 【例1.3.】 已知在四面体ABCD中，，，则 ． 【答案】24 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积 【分析】由线段的空间关系有，应用向量数量积的运算律及已知条件即可求. 【详解】由题设，可得如下四面体示意图， 则， 又，， 所以. 故答案为：24 【例1.4.】 正方体的棱长为2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, 的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积 【分析】由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出，即可由范围求得的取值范围. 【详解】连接，如下图所示： 设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径， 由向量线性运算可知 正方体的棱长为2，则球的半径为1，， 所以 ， 而 所以， 即 故答案为：. 【例1.5.】 在空间直角坐标系中，已知三个单位向量、、满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据题设得、，令，画出以为轴，，为母线画圆锥体，确定轨迹，即可得的范围，进而求的范围. 【详解】由题意，即，，即， 所以单位向量的位置关系如下图示，且， 以为轴，，为母线画圆锥体，底面中心分别为， 所以轨迹分别是圆锥、圆锥的底面圆周， 结合图知，，即. 故答案为： 【例1.6.】 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】（1）由点为的中点，可得，而，代入前面的式子化简可得结果； （2）由（1）可知，由于，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果. 【详解】（1）因为点为的中点，所以， 因为，所以， 所以， 所以； （2）由（1）得， 因为，， 所以 . 考法2：利用数量积求角或角的余弦值 【例2.1.】 若非零向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】根据垂直关系可得数量积为零，由此构造方程可求得，进而得到结果. 【详解】，， 即，又， . 故选：D. 【例2.2.】 如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】根据正八面体的结构特征有、，若正八面体的棱长为2，应用空间向量数量积的运算律及夹角公式求异面直线的夹角余弦值. 【详解】由正八面体结构特征知，， 若正八面体的棱长为2，且各侧面都是正三角形，为正方形， 所以 ， ， 同理得， 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 【例2.3.】 已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、异面直线夹角的向量求法 【分析】设，向量、、表示和，再利用数量积的运算律及夹角公式计算可得. 【详解】设，因为，， 所以， ， 所以， ， ， 设向量与的夹角为，则 ∴直线和夹角的余弦值为． 故选：D 【例2.4.】 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果. 【详解】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 【例2.5.】 (多选)在三棱锥A-BCD中， ， ， 两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（    ） A． B． C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、异面直线夹角的向量求法 【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角. 【详解】 不妨设，则，且， ， 所以， 因为，且， 所以 ，则， 所以异面直线AC与DB所成角的正弦值为 故选：BC 【例2.6.】 在平行六面体中，底面为正方形，，且，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、异面直线夹角的向量求法 【分析】设，分别用表示和，利用空间向量的夹角公式计算即可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】 如图所示，不妨设， 依题意，令，则. 由图知： 则， 即， ，即， 故得：， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【例2.7.】 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. (1)用表示，并求EF的长； (2)求与夹角的大小． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算求即可； （2）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算可得，即可得结果. 【详解】（1）因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，， 可得 ， 因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且， 可得 ， 即，所以EF的长为. （2）由题意得 ， 因此 ， 即，即与的夹角为. 【例2.8.】 如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）根据条件，利用空间向量线性运算、空间向量数量积的运算及模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，先求出，，，再利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】（1）由题知，又， 所以, 所以. （2）令，因为， 所以， 因为，所以， 因为 ，所以， 设与所成的角为，则， 即与所成角的余弦值为. 考法3：利用数量积求线段长或两点距离 【例3.1.】 已知空间单位向量满足，则 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】将平方，展开，由已知可得，再开方即可. 【详解】因为是空间单位向量，所以， 又， 则， 所以， 故答案为：2. 【例3.2.】 在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以 . 所以. 故选：B 【例3.3.】 在平行六面体中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得的长. 【详解】如下图所示：    由题意可得，， 由空间向量数量积的定义可得， ，同理可得， 由空间向量的平行六面体法则可得， 所以， ，即. 故选：C. 【例3.4.】 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、空间向量数量积的应用、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】解法一：作辅助线构造三角形，根据余弦定理以及勾股定理可求得结果；解法二：根据向量的线性运算以及数量积的运算可求得结果. 【详解】解法一：在内过点C作，且，连接，， 所以为二面角的平面角.    易知平面，而四边形为矩形，所以， 故平面，因而， ， ； 解法二：由，， 得，，． 因为， 所以， 则， 解得，． 故选：C. 【例3.5.】 在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模. 【详解】如图：    以为基底，则，， 所以. 因为. 所以 . 所以. 故选：D 【例3.6.】 如图，在平行六面体中，底面四边形ABCD是菱形，，，，则的长为 ，直线与直线所成角的余弦值为 ．（结果用a，b表示） 【答案】 ； . 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】由，应用向量数量积的运算律求模长，根据，，应用向量数量积的运算律及夹角公式求异面直线的夹角. 【详解】由， 则 ， 所以； 由，， 所以， ， ， 所以， 则直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为：，. 【例3.7.】 如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，则直线和夹角的余弦值为 ．若分别是上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 /0.25；． / 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】利用已知条件结合向量法即可求解；利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解． 【详解】连接，如下图， 由题意，，，正方形中，， 正方形中，平面，平面，平面平面， 就是二面角的平面角，则， 向量与向量夹角为，且， ①，，， ， ， 直线和夹角的余弦值为； ②设，则， 且由题意， ， ， 令，,，图象开口向上，且对称轴为， 当时，取得最小值，又， ，即的最小值是． 故答案为：；． 考法4：利用数量积求投影向量 【例4.1.】 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量公式可求投影向量. 【详解】因为，故，故， 而在上的投影向量为， 故选：D. 【例4.2.】 已知，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】直接根据投影向量的公式计算. 【详解】由题意，， 则向量在向量方向上的投影向量是：. 故选：C 【例4.3.】 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】计算出，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得， 在上的投影向量为. 故选：B． 【例4.4.】 如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数量积的应用 【分析】先求出，再根据投影向量的公式计算即可. 【详解】平面， 则， 向量在上的投影向量为 故答案为：. 考法5：利用数量积证明空间中的垂直关系 【例5.1.】 如图，正方体中，，，，分别是棱，，，的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）证明可以转化为证明，也就是，通过图中几何关系转化，很容易证明积为零，进而证明．（2）要证明平面，只需要证明直线与平面内两条相交直线都垂直即可．即证明，，可通过转化为证明与. 【详解】如下图，设，，，则且． （1）因为，， 所以，所以，所以． （2）因为，， 所以， 所以，所以．同理可证． 又，所以平面． 【例5.2.】 如图，在平行六面体中，设，，，分别是，，的中点. (1)试用，，表示以下列向量：. (2)，，求证：平面 【答案】(1)； (2)见解析； 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积、空间位置关系的向量证明 【分析】(1)根据向量的加法法则分别表示出向量，即可求得； (2)根据向量的数量积可得，，即有，，从而即可证明平面. 【详解】（1）解：因为分别是，，的中点，，，， 所以， ， 所以=； （2）证明：设， 则有== 因为, ,, 又因为 所以， 即有， 同理可证， 又因为， 所以平面. 【例5.3.】 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案； 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案； 【详解】（1）法1，结合题图，， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； （2）法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 （3）法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$