专题1.2 空间向量的数量积运算（6类必考点）-2025-2026学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题1.2 空间向量的数量积运算 【知识梳理】 1 【考点1：空间向量数量积的概念与辨析】 2 【考点2：求空间向量的数量积】 3 【考点3：利用空间向量的数量积求夹角】 5 【考点4：利用空间向量的数量积求模长】 7 【考点5：利用空间向量数量积证明垂直】 9 【考点6：空间向量的投影向量】 10 【知识梳理】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则∠AOB叫做向量，的夹角，记作〈，〉． (2)范围：0≤〈，〉≤π. 特别地，当〈，〉＝时，⊥. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量，，则||||cos 〈，〉叫做，的数量积，记作·. 即·＝||||cos〈，〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①⊥⇔·＝0 ②·＝2＝||2 运算律 ①(λ)·＝λ(·)，λ∈R. ②·＝·(交换律)． ③·(＋)＝·＋·(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 6．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，＝||cos〈，〉，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量向平面β投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量在平面β上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角． 【考点1：空间向量数量积的概念与辨析】 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 4．（24-25高二·全国·课堂例题）对于向量，由，能得到吗？ 5．（24-25高二·全国·课堂例题）为什么不一定成立？ 【考点2：求空间向量的数量积】 1．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 7．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知为正方体，下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与向量的夹角是 D．正方体的体积为 8．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【考点3：利用空间向量的数量积求夹角】 1．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 2．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，向量与夹角的余弦值 . 3．（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知平行六面体中，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·福建福州·期中）已知二面角棱上有两点，，若的长为，异面直线与所成的角大小为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【考点4：利用空间向量的数量积求模长】 1．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 2．（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为 . 3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 6．（2025·河北沧州·一模）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，为中点. (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的正切值； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【考点5：利用空间向量数量积证明垂直】 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高二上·山东潍坊·期中）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 3．（24-25高二上·云南·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 4．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在长方体中，是与的交点，是上一点．若，且，则的长为 ． 【考点6：空间向量的投影向量】 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二上·广东深圳·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 5．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影为 ． 6．（2024高二·全国·专题练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 7．（23-24高一下·浙江宁波·期末）平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥中，已知是平行四边形，，且面，则向量在向量方向上的投影向量是 (结果用表示). 8．（24-25高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 空间向量的数量积运算 【知识梳理】 1 【考点1：空间向量数量积的概念与辨析】 2 【考点2：求空间向量的数量积】 4 【考点3：利用空间向量的数量积求夹角】 10 【考点4：利用空间向量的数量积求模长】 16 【考点5：利用空间向量数量积证明垂直】 22 【考点6：空间向量的投影向量】 25 【知识梳理】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则∠AOB叫做向量，的夹角，记作〈，〉． (2)范围：0≤〈，〉≤π. 特别地，当〈，〉＝时，⊥. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量，，则||||cos 〈，〉叫做，的数量积，记作·. 即·＝||||cos〈，〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①⊥⇔·＝0 ②·＝2＝||2 运算律 ①(λ)·＝λ(·)，λ∈R. ②·＝·(交换律)． ③·(＋)＝·＋·(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 6．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，＝||cos〈，〉，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量向平面β投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量在平面β上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角． 【考点1：空间向量数量积的概念与辨析】 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 2．（24-25高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 4．（24-25高二·全国·课堂例题）对于向量，由，能得到吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不能，若是非零向量，则得到，即可能有成立． 5．（24-25高二·全国·课堂例题）为什么不一定成立？ 【答案】答案见解析 【详解】由定义得，即；，即， 因此，表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线， 所以不一定成立． 【考点2：求空间向量的数量积】 1．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 3．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由平面向量基本定理可得，再由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 4．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 5．（24-25高二下·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，球O的半径为1． ．当P为正方体顶点时等号成立， 故选：B 6．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为为6. 故选：B. 7．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知为正方体，下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与向量的夹角是 D．正方体的体积为 【答案】AB 【分析】先根据空间向量的加、减运算化简，再结合正方体的几何性质可判断A，B；利用是等边三角形以及空间向量夹角的定义可判断C；根据线线垂直得向量垂直，进而得数量积为零，即可判断D. 【详解】 对于A，由向量的加法运算得到， ，，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，是等边三角形，，又， 异面直线与所成的角为，但是向量与向量的夹角是，故C错误； 对于D，，，则，故D错误． 故选：AB． 8．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法，结合，即可求解； （2）由，得到，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）解：由， 所以 . 【考点3：利用空间向量的数量积求夹角】 1．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用向量加法和数量积求解即可. 【详解】由题意可得 ， 解得：， 所以 故答案为： 2．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，向量与夹角的余弦值 . 【答案】 【分析】根据向量的四则运算，用表示，，再根据数量积的计算公式和运算律求解即可. 【详解】如图，设，，，， 由题意易知，则， 因为，，， 所以， 所以, 所以向量与夹角的余弦值为， 故答案为： 3．（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知平行六面体中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要求，需有，利用空间向量的线性运算将转化为即可. 【详解】 如图： ， ， . 故选：B. 5．（24-25高二上·福建福州·期中）已知二面角棱上有两点，，若的长为，异面直线与所成的角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即可求解. 【详解】设，异面直线与所成的角为， 因为，， 所以. 因为， 所以 ， 所以，即，解得， 所以，所以. 故选：B. 6．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果. 【详解】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 7．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据、，应用向量数量积的运算律及夹角公式求直线与BM所成角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】设，， 由， 所以， 因为， 所以， ， 所以，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果； （2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果. 【详解】（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 【考点4：利用空间向量的数量积求模长】 1．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 【答案】3 【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【详解】由. 故答案为：3 2．（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为 . 【答案】 【分析】由空间向量的线性运算可知，两边平方，再利用向量的数量积公式即可得解． 【详解】设平面于F， 平面， ，又与平面成角， ， 与的夹角为， 又平面，平面，， 又， ， ． 故答案为：. 3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 4．（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】已知平行四边形，，且， ，， 二面角为，，， ， ， 则，即与之间距离为. 故选：D． 5．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：C 6．（2025·河北沧州·一模）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，结合向量数量积的运算律可求得模长． 【详解】由已知可得，与的夹角为， 因为， 所以， 因，，， 故， 所以， 故选：B 7．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）根据空间向量的数量积和模长公式计算即可. 【详解】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，为中点. (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的正切值； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而得到面面垂直，再依据线面角的定义找出线面角，最后通过相关线段长度计算线面角的正切值. （2）根据重心性质得到关于、、的表达式，再对其平方，结合已知的角度和垂直关系计算数量积，进而求出的模长. 【详解】（1）因为，，而，平面， 平面，而平面，故平面平面， 又，为的中点，故，而平面，平面平面，故平面. 由（1）可得平面，故为与平面所成的角， 因为，为的中点，故，而，故， 而平面，平面，故，故. （2） 因为为的重心，连接并延长交与，连接，则， 故，故， 故， 而，，又平面，平面，故， 故，故. 【考点5：利用空间向量数量积证明垂直】 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】由于，且是正四棱锥， 故，且侧面均为等边三角形， ， 故，则， 故选：C 2．（24-25高二上·山东潍坊·期中）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，即可判断得出结论. 【详解】因为M为的中点，所以， 可得， 所以，即， 可得是直角三角形. 故选：C 3．（24-25高二上·云南·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义和运算律，可求得，由此可得结果. 【详解】由题意，，，，， ， . 故选：D. 4．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【详解】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在长方体中，是与的交点，是上一点．若，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】以为空间一组基底表示出、，利用列方程，从而求得的长. 【详解】设，且三个向量两两垂直，， 则， 设．因为， 所以， 解得，则． 故答案为： 【考点6：空间向量的投影向量】 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【详解】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 2．（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 3．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取分别为的中点，连接，结合题意，由面面垂直的性质定理结合共线向量的定义即可求解. 【详解】取分别为的中点，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 同理可得平面， 所以向量在平面上的投影向量为，且. 故选：. 4．（多选）（24-25高二上·广东深圳·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为，整理变形为，由平面向量基本定理可知共面；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由单位向量与投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小， 而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由可得， 则， 即，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，与方向相同的单位向量为 ， 由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影为 ． 【答案】1 【分析】根据题意可得，根据数量积的运算律结合向量投影的定义运算求解. 【详解】因为与的夹角为，，，则， 则， 所以在方向上的投影为． 故答案为：1. 6．（2024高二·全国·专题练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【详解】空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 7．（23-24高一下·浙江宁波·期末）平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥中，已知是平行四边形，，且面，则向量在向量方向上的投影向量是 (结果用表示). 【答案】 【分析】运用投影向量的概念，结合数量积，基底只是求解即可. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为. 运用运用余弦定理求得. ，， ，展开化简得到， ，由于且面，则, 则. 代入，得到.则向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：.    8．（24-25高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【答案】(1)投影向量见解析， (2)投影向量见解析， 【分析】（1）（2）利用投影向量的定义及空间垂直关系确定投影向量，再求数量积. 【详解】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有， 因此即为在直线上的投影向量. 所以· （2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面, 连接并延长交于M，则M为中点，， 且即为平面内的投影向量. ∴ 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$