安徽省合肥市庐江中学2025-2026学年高三上学期调研考试（二）数学试卷

庐江中学高三年级调研考试（二） 数学试卷 命题人 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 2. 的内角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A. B. C. D. 3. 定义运算，已知复数，其中i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数满足条件，则复数对应点的轨迹方程为 B. 若复数满足条件，则复数对应点的轨迹方程为 C. 若复数满足条件，则复数对应点的轨迹方程为 D. 若复数满足条件，则复数对应点的轨迹方程为 4. 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（ ） A. B. C. D. 5. ““是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 7. 袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记为从小到大的第个极值点，数列满足，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 10. （多选）如图，在正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角的余弦值可能是（ ） A. B. C. D. 1 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 B. 若，且，则双曲线的离心率为 C. 若，，则的取值范围是 D. 若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知 和 分别是函数 的极大值点和极小值点. 若 ，则 的取值范围是______________. 13. 设点是的外心，，，，则的取值范围为______． 14. 有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，且，均与球相切，则球的半径为___________. 15. 如图1，在等腰梯形中，，点在以为直径的半圆上，且，将半圆沿翻折如图2. （1）求证：平面； （2）当多面体的体积为32时，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 设数列满足，． （1）证明：为等差数列并求； （2）设，求． 17. 无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． （1）为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度 性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （2）从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； （3）从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 18. 圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作互相垂直的两条直线与曲线相交于两点，与曲线相交于两点，线段的中点分别为M，N． （ⅰ）试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由； （ⅱ）求面积的最小值. 19. 数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间； （3）函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值． 庐江中学高三年级调研考试（二） 数学试卷 命题人 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（每题6分，共18分） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题（每题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】（1） 设是的中点，连， 依题意，在等腰梯形中，， 点在以为直径的半圆上，且， 由等边三角形可知分布在同一个圆周上， 且， 则六边形为正六边形， 面面. （2） 【16题答案】 【答案】（1） 由题意证明如下，，在数列中，，， ，即， 数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即 （2） 【17题答案】 【答案】（1） 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 有 （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）（i）是，定点为；（ii）. 【19题答案】 【答案】（1） （2）的增区间为：和，减区间为：和， （3） 证明：由于， 所以 由于 ， 所以， 因为在上有三个不同的极值点， 所以在上有三个不同的根，即在上有三个不同的根， 令（时，且，因为），方程转化为，设方程的根为，，， 则，化简可得：， 则，即， ，即， ，即， 所以. 所以为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $