23.2.3关于原点对称的点的坐标（题型专练）数学人教版九年级上册

23.2.3关于原点对称的点的坐标 题型一、求关于原点对称的点的坐标 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）点关于原点的对称点是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，已知点，则点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）点关于原点对称的点坐标是 ． 题型二、已知关于原点对称的点的坐标求参数的值 5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知点与点是关于原点的对称点，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且点A与点B关于原点对称，，则的值为（    ） A． B． C．-3 D．3 7．（24-25八年级上·山东东营·期中）若点与关于坐标原点对称，则a，b的值分别为（    ） A．和3 B．2和3 C．2和 D．和 8．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ． 9．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）若点与点关于原点成中心对称，则的值是 ． 题型三、已知两点坐标求对称方式 10．（23-24八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A．B．C． D． 11．（22-23九年级上·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 12．（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为 题型四、利用关于原点对称求平行四边形中的点的坐标 13．（·福建福州·一模）平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是 ． 题型五、有关原点对称的作图问题 14．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)请画出关于坐标原点O成中心对称的； (2)若绕原点O顺时针旋转后得到，请直接写出点的坐标为（___， ）； (3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心坐标为_______． 15．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标； (2)求出图中C绕O点旋转到所经过的路径长． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 题型一、原点对称与三角形面积问题 17．（24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，在的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到． (1)请在网格图中画出平移后的； (2)若与关于点成中心对称．请在网格图中画出； (3)若在格点上存在点，且点异于点，使得，这样的点一共有_____个． 题型二、原点对称与平行四边形问题 18．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 题型三、原点对称与线段最值 19．（19-20九年级上·广西河池·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，. (1)请画出关于原点对称的； (2)在轴上求作一点P，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 题型四、关于原点对称的变化规律问题 20．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，若按此规律继续以、、为对称中心重复操作，依次得到，，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型五、函数新定义问题与原点对称 22．（2022·浙江杭州·二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 23．（2024·山东济南·一模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（22-23九年级上·四川南充·期末）如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为（   ）． A．2 B． C．6 D． 25．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，把菱形绕点O逆时针旋转，使点A落到y轴上，则旋转后点B的对应点的坐标为（   ）    A． B． C．或 D．或 26．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点是关于的“美好函数”上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧．有下列结论①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 27．（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在x轴下方，点关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为 ；若直线（）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为 ． 28．（24-25九年级上·北京·期中）对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，． (1)在点，，中，点 是线段关于原点O的“伴随点”； (2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； (3)已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 29．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），抛物线与抛物线L关于原点O中心对称． (1)求抛物线L的函数表达式； (2)若抛物线与x轴的交点分别为（其中A与对应，B与对应），E是y轴上一点，在抛物线上是否存在一点P，使得以点B、、E、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）二次函数的图像是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的阶变换． (1)二次函数的顶点关于原点的对称点为______，这个抛物线的2阶变换的解析式为______； (2)若二次函数的5阶变换的关系式为． ①二次函数的解析式为______； ②若二次函数的顶点为点，与轴相交的两个交点中右侧交点为，是轴上的一个动点，请求出使周长最小时，点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.2.3关于原点对称的点的坐标 题型一、求关于原点对称的点的坐标 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标均变为原来的相反数，直接计算即可． 【详解】解：点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均取相反数； 因此，原横坐标变为，原纵坐标变为， 对称点的坐标为． 故选：D． 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）点关于原点的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的坐标变化，熟练掌握坐标变化特点是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标变换规律，原点的对称点坐标是原坐标的相反数． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为． ∴关于原点的对称点坐标为． 故选C． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，已知点，则点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于原点对称的点横坐标、纵坐标均互为相反数即可得到答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称，点，， ∴点的坐标是， 故选：A． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）点关于原点对称的点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 题型二、已知关于原点对称的点的坐标求参数的值 5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知点与点是关于原点的对称点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，解题关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都是互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，点与点是关于原点的对称点 ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且点A与点B关于原点对称，，则的值为（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题先根据关于原点对称的点的坐标特征，得出点与点坐标的关系，再结合已知条件，求出的值．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，． ∵， ∴． 故选：D． 7．（24-25八年级上·山东东营·期中）若点与关于坐标原点对称，则a，b的值分别为（    ） A．和3 B．2和3 C．2和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称．点与点关于原点对称，则点与点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，即． 【详解】解：∵点与关于坐标原点对称， ∴， 故选：C． 8．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，利用关于原点对称点的性质得到，的值，是解答本题的关键．利用关于原点对称点的性质，即它们的坐标互为相反数，得到，的值，再利用有理数的乘方法则计算得到答案． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为， ∴，， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）若点与点关于原点成中心对称，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点成中心对称的点的坐标关系，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，求出m，n的值，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 故答案为： 题型三、已知两点坐标求对称方式 10．（23-24八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 11．（22-23九年级上·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据这两点的坐标特点，即可判定． 【详解】解：点和点的横纵坐标都互为相反数， A、两点关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 12．（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为 【答案】 【分析】根据两个点的横纵坐标均为相反数，得到两个点关于原点对称，即可． 【详解】解：∵，，两个点的横纵坐标均为相反数， ∴点关于原点对称， ∴对称中心的坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标均为相反数． 题型四、利用关于原点对称求平行四边形中的点的坐标 13．（福建福州·一模）平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出B与D关于原点对称，得出，解出即可． 【详解】解：∵平行四边形的四个顶点坐标分别是， ∴点A与点C关于原点对称， ∴点B与点D关于原点对称， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，坐标与图形性质是解题的关键． 14．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)请画出关于坐标原点O成中心对称的； (2)若绕原点O顺时针旋转后得到，请直接写出点的坐标为（___， ）； (3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心坐标为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查画中心对称图形，找旋转中心，利用数形结合的思想是解题关键． （1）找出各顶点关于坐标原点O成中心对称的对应点，再顺次连接即可； （2）找出绕原点O顺时针旋转后得到，则坐标可求； （3）作线段和的垂直平分线，其交点O即为旋转中心，再结合坐标系写出O点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）由旋转作图可知，； （3）解：如图，连接，，作线段和的垂直平分线，其交点D即为旋转中心， ∴由图可知旋转中心坐标． 题型五、有关原点对称的作图问题 15．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标； (2)求出图中C绕O点旋转到所经过的路径长． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、关于原点对称的点、、的位置，然后顺次连接即可，根据图形得出坐标即可； （2）根据图形，可知C绕O点旋转到所经过的路径长为以为圆心，4为半径圆周长的一半． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：如图可知，图中C绕O点旋转到所经过的路径长为以为圆心，4为半径圆周长的一半：． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了作中心对称图形和旋转图形，点的坐标，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；根据点位置写出坐标即可； （2）分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【详解】（1）解：如图所示，为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示，为所求． 题型一、原点对称与三角形面积问题 17．（24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，在的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到． (1)请在网格图中画出平移后的； (2)若与关于点成中心对称．请在网格图中画出； (3)若在格点上存在点，且点异于点，使得，这样的点一共有_____个． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)3 【分析】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高，利用平行线的性质得出P点位置是解题关键． （1）分别将点A、B、C向向右平移2格，再向下平移3格，得到点、、，然后顺次连接； （2）找出、关于的中心对称点、（中心对称点连线过对称中心，且被对称中心平分），连接、、得； （3）利用平行线的性质过点A作出BC的平行线进而得出符合题意的点． 【详解】（1）解：如图 （2）解：如图 （3）解：如图所示： 中为底，根据，可知点到的距离与到距离相等的格线与格点的交点（除）有3个， 所以点共3个． 故答案为：3． 题型二、原点对称与平行四边形问题 18．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 如图： 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 如图： 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型三、原点对称与线段最值 19．（19-20九年级上·广西河池·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，. (1)请画出关于原点对称的； (2)在轴上求作一点P，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 【答案】(1)答案见解析 (2)作图见解析，P坐标为 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接、并根据图象写出点的坐标即可． 【详解】（1）如图所示； （2）作点关于x轴的对应点，连接交x轴于点P，则点P为所求的点，连接，则为所求的三角形．此时点P坐标为． 题型四、关于原点对称的变化规律问题 20．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同是解题的关键． 根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点D的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点D坐标可解决问题． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次一个循环． ∵余4， ∴第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同． 连接和， ∵四边形是矩形， ∴和互相平分， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为． 又∵， ∴第4秒旋转结束时的点D与点关于坐标原点对称， ∴此时点D的坐标为． 即第100秒旋转结束时，点D的坐标为． 故选：B． 21．（24-25九年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，若按此规律继续以、、为对称中心重复操作，依次得到，，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标规律题，中心对称的性质，根据题意得到对称点坐标并发现一般规律是解题关键．根据中心对称的性质，分别写出对称点的坐标，进而发现坐标每6个循环一次，依次为、、、、、，即可求解． 【详解】解：点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， …… 观察发现，坐标每6个循环一次，依次为、、、、、， ， 点的坐标为， 故选：C 题型五、函数新定义问题与原点对称 22．（2022·浙江杭州·二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案． 【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 故选：C． 23．（2024·山东济南·一模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：∵点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴，， ∴，， 代入 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，即，③错误，不符合题意． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 24．（22-23九年级上·四川南充·期末）如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为（   ）． A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称、菱形的性质、中心对称的性质等知识点，熟记相关性质是解题关键． 根据菱形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）确定m、n的值，最后求和即可． 【详解】解：∵四边形菱形且对角线交于原点O， ∴点D与点B关于原点成中心对称， ∴， ∴． 故选：D． 25．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，把菱形绕点O逆时针旋转，使点A落到y轴上，则旋转后点B的对应点的坐标为（   ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】过点作轴于点，则，由旋转的性质可得，，由菱形的性质可得，，由两直线平行同位角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由线段之间的和差关系可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得点的坐标；由题意可得，点旋转后在轴正半轴或负半轴，即当点旋转至轴的负半轴时所得到的菱形与点位于轴正半轴时得到的菱形关于原点中心对称，因而点与点关于原点对称，于是可得点的坐标；综上，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，   ， 由旋转的性质可得： ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 点的坐标为， 由题意可得，点旋转后在轴正半轴或负半轴，即当点旋转至轴的负半轴时所得到的菱形与点位于轴正半轴时得到的菱形关于原点中心对称， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 旋转后点的对应点（或）的坐标为或， 故选：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换——旋转，旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，中心对称图形的识别，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，求关于原点对称的点的坐标，两直线平行同位角相等，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握坐标与图形变换——旋转、中心对称图形的识别及勾股定理是解题的关键． 26．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点是关于的“美好函数”上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧．有下列结论①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“美好函数”，“美好点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：∵点是关于x的“美好函数”上的一对“美好点”， ∴关于原点对称， ∴， ∴， 代入 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴，即 当时，两边同乘a得：，无公共解集，舍去． 当时，两边同乘a得：， ∴， ∴③正确，符合题意， ∵， ∴， ∵ ∴， 整合条件： 三式相加得：， ∵时，， ∴， ∴④错误，不符合题意． 综上所述，结论正确的是①②③． 故选：A． 27．（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在x轴下方，点关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为 ；若直线（）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据定义即可求出P关于点B为直角顶点的“变换点”R坐标，求得P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为，同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为，点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为，点关于点为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形，可求直线经过定点，使直线与正方形的边有交点，即可求解． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，关于原点对称， ∴， ∴P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为； 如图，，，过点作轴于点， ， ， ， ， ∴， 在和中 ， （）， ，， ， ， 点关于原点的对称点为， ，即：P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为， 同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为， 点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为， 如图，点关于点为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形， 直线上存在点关于点为直角顶点的“变换点”， 直线与正方形的边有交点， 当时，， 解得：， 直线经过定点， （ⅰ）当直线经过时， ， 解得：； （ⅱ）当直线经过时， ， 解得：； 综上所述：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解点P关于点M的直角顶点“变换点”的定义． 28．（24-25九年级上·北京·期中）对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，． (1)在点，，中，点 是线段关于原点O的“伴随点”； (2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； (3)已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 【答案】(1)和， (2) (3)n的最大值为，最小值为 【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O旋转后的对应点，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论； （3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时n有最大值，当抛物线过点时n有最小值，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， 轴， 如图所示，点绕点O顺时旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”， 故答案为：和； （2）解： ，，， 在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”， ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在第一象限， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 当在上时，m值最小，即，解得：， 当在上时，m值最大，即，解得：， ∴； （3）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∴其关于原点对称的抛物线解析式为， 如图：绕点O逆时针旋转得到，其中， ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过时，n的值最大， 把代入得， 解得：， n的最大值为， 当过时，n的值最小， 把代入得， 解得：， n的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． 29．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），抛物线与抛物线L关于原点O中心对称． (1)求抛物线L的函数表达式； (2)若抛物线与x轴的交点分别为（其中A与对应，B与对应），E是y轴上一点，在抛物线上是否存在一点P，使得以点B、、E、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，或或 【分析】（1）由题意得抛物线L的顶点式为：，将点代入求出a的值即可； （2）根据关于原点O对称的点的横纵坐标均互为相反数可得抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点，抛物线的函数表达式为：；求出点A的坐标是，点B的坐标是，点的坐标是，点B的坐标是，得出，设，分两种情况：①为平行四边形的边时，②为平行四边形的对角线时，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线L的顶点式为：， ∴抛物线； （2）解：抛物线L与y轴交于点， ∵关于原点O对称的点的横纵坐标均互为相反数， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的顶点式为：， 将点代入得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； ∵抛物线，当时，， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴点的坐标是，点B的坐标是， ∴， 设， ①为平行四边形的边时，， ∴或， ∴点P的坐标为或； ②为平行四边形的对角线时， ， ∴， ∴点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或或． 【点睛】此题是二次函数综合题,考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的平移、二次函数的顶点式、关于原点对称的点的特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的平移、二次函数的顶点式是解题的关键． 30．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）二次函数的图像是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的阶变换． (1)二次函数的顶点关于原点的对称点为______，这个抛物线的2阶变换的解析式为______； (2)若二次函数的5阶变换的关系式为． ①二次函数的解析式为______； ②若二次函数的顶点为点，与轴相交的两个交点中右侧交点为，是轴上的一个动点，请求出使周长最小时，点的坐标． 【答案】(1)， (2)①② 【分析】（1）根据二次函数的性质求出其顶点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点，写出其关于原点的对称点的坐标，根据定义即可求解解析式； （2）①将抛物线向下平移5个单位得到，此时该抛物线的顶点坐标为，该点关于原点的对称点为，进而求解；②首先求得抛物线的顶点的坐标，点的坐标，并求得点关于轴的对称点的坐标，当点三点共线时，的周长最小，利用待定系数法解得直线的解析式，进而确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为， ∴该点关于原点的对称点为， 作这条抛物线关于原点对称的抛物线， 则有， 将抛物线向上平移2个单位长度， 可得， 所以原抛物线的2阶变换的解析式为 故答案为：，； （2）①将抛物线向下平移5个单位得到， 此时该抛物线的顶点坐标为， 该点关于原点的对称点为， 即二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的解析式为． 故答案为：； ②如下图， 对于抛物线：， 其顶点坐标的坐标为， 令，可有， 解得，， ∵与轴相交的两个交点中右侧交点为， ∴， 作点关于轴的对称点，则， ∴， ∴周长， ∴当点三点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，则有， ∴点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了新定义“二次函数的阶变换”、求关于原点对称的点的坐标、二次函数的图像与性质、关于轴对称的点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像与坐标轴交点等知识，解题关键是掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$