精品解析：2020-2021学年北师大版九年级上册数学第一次月考卷

九年级数学第一次月考试卷 一、选择题（每小题3分，共27分） 1. 若矩形的邻边长分别是1，2，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 用配方法解下列方程，配方正确的是（　　） A. 2y2﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）2=4 B. x2﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）2=8 C. x2+8x﹣9=0可化为（x+4）2=16 D. x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个相等的实数根 D. 没有实数根 4. 已知是关于x的方程的一根，则C的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条对角线垂直四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 6. 三角形两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 菱形中，，，E、F分别是、的中点，连接、、，则的周长为（ ） A. B. C. D. 3 8. 某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A B. C. D. 9. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（　　） A. B. 2 C. D. 1 二、填空题（每题3分，共18分，请将答案填在下面的空格内．） 10. 已知方程两根为，那么_____． 11. 以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为______． 12. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝16cm．BD＝12cm，则菱形边AB上的高，DH的长是 _____cm． 13. 矩形桌子的桌面长为2米，宽为1米，矩形台布面积是桌面面积的3倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，则这块台布的长是_____米． 14. 我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品的价格．某种药经过两次降价，由每盒60元调至48.6元．则每次降价的百分率为_____． 15. 如图所示，在中，，，，点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，经______秒钟，能使的面积等于面积的． 三、解答题：（共55分，其中16题每题4分，共16分） 16. 解方程： （1）（配方法解）． （2）（公式法解）． （3）． （4）． 17. 如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F． （1）求证：△BEF≌△CDF． （2）连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证四边形BECD是矩形． 18. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−(k+3)x+2k+1=0. (1)求证方程有两个不相等的实数根； (2)若方程一个根为 x=4，求 k 值，并求出此时方程的另一根. 19. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，为尽快将西瓜售出，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 20. 如图，菱形中，E、F分别是边上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足． （1）求证：是等边三角形． （2）若菱形的边长为6，当的面积为时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学第一次月考试卷 一、选择题（每小题3分，共27分） 1. 若矩形的邻边长分别是1，2，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形性质可得△BCD是直角三角形，再根据勾股定理即可求出. 【详解】因为矩形的每个角都是直角，所以两相邻边和其中一条对角线构成直角三角形，所以. 【点睛】本题考查矩形性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理. 2. 用配方法解下列方程，配方正确的是（　　） A. 2y2﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）2=4 B. x2﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）2=8 C. x2+8x﹣9=0可化为（x+4）2=16 D. x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4 【答案】D 【解析】 【详解】A. 2y2−4y−4=0可化为(y−1)2=5，故选项错误； B. x2−2x−9=0可化为(x−1)2=10，故选项错误； C. x2+8x−9=0可化为(x+4)2=25，故选项错误； D. x2−4x=0可化为(x−2)2=4，故选项正确． 故选D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．求出一元二次方程根的判别式；根据根的判别式即可判断根的情况． 【详解】解：， 方程没有实数根， 故选：D． 4. 已知是关于x的方程的一根，则C的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．将代入已知方程，列出关于C的新方程，通过解新方程来求C的值即可． 【详解】解：根据题意知，满足关于x的方程得， 解得． 故选：D． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定和性质，根据其判定方法进行判定即可求解． 【详解】解：A、两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不符合题意； B、对角线垂直，平分且相等的四边形是正方形，故原选项错误，不符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意； D、两条对角线相等平行四边形是矩形，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 6. 三角形两边的长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由于第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，那么求出方程的根就可以求出三角形的周长． 【详解】∵x2﹣16x+60=0，∴（x﹣6）（x﹣10）=0，∴x=6或x=10． 当x=6时，三角形的三边分别为6、4和6，∴该三角形的周长是16； 当x=10时，三角形的三边分别为10、4和6，而4+6=10，∴不能构成三角形． 故三角形的周长为16． 故选C． 【点睛】主要考查了利用因式分解的方法解一元二次方程及等腰三角形的性质、周长，解题的关键是利用因式分解求出三角形的第三边，然后求出三角形的周长． 7. 菱形中，，，E、F分别是、的中点，连接、、，则的周长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．根据菱形的性质和等边三角形的判定可得是等边三角形．则，根据勾股定理求得的长，同理得到的长，再证出是等边三角形，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，， ∴ 为等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴，，， ∴， 同理可得：，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长是． 故选：B． 8. 某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，由第一季度的营业额共1000万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 根据题意得：． 故选：D． 9. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（　　） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设AP=x，PD=4﹣x． ∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC； ∴△AEP∽△ADC，故=①； 同理可得△DFP∽△DAB，故=②． ①+②得=， ∴PE+PF=．故选A． 考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质． 点评：此题比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可． 二、填空题（每题3分，共18分，请将答案填在下面的空格内．） 10. 已知方程的两根为，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】由的两根为，根据根与系数的关系可推出，，，然后通过配方法对进行变形得，最后代入求值即可． 【详解】解：的两根为， ，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，配方法的应用，关键在于根据题意推出，，利用配方法正确的对进行变形，认真的进行计算． 11. 以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质和三角形中位线定理进行求解即可； 【详解】解：长为8，宽为6的矩形的对角线长为， 以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形各边的长分别为对角线的一半， 故四边形的周长为， 故答案：． 12. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝16cm．BD＝12cm，则菱形边AB上的高，DH的长是 _____cm． 【答案】9.6## 【解析】 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求出AB的长，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=16cm，BD=12cm， ∴AC⊥BD，， 在Rt△AOB中，由勾股定理得， ∵， ∴， 故答案为：9.6． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 13. 矩形桌子桌面长为2米，宽为1米，矩形台布面积是桌面面积的3倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，则这块台布的长是_____米． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设各边垂下的长度为x米，表示出台布的长和宽，根据台布面积是桌面面积的3倍，列方程，求出方程的正数解即可． 【详解】解：设各边垂下的长度为x米， 由题意得：， 整理得， 解得，（不合题意，舍去） 所以这块台布的长为：（米）， 故答案为：3． 14. 我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品的价格．某种药经过两次降价，由每盒60元调至48.6元．则每次降价的百分率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每次降价的百分率为x，则两次降价后的价格为，由此列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设每次降价百分率为x， 由题意得：， 解得，（不舍题意，舍去）， 故每次降价的百分率为． 故答案为：． 15. 如图所示，在中，，，，点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，经______秒钟，能使的面积等于面积的． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“使的面积等于面积的”，找到等量关系是解决问题的关键．设经过x秒的面积等于8平方厘米，，，，由三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：设经过x秒的面积等于面积的，，，，由题意，得 ， 解得：，． 答：设经过2秒或4秒，的面积等于面积的． 故答案是：2或4． 三、解答题：（共55分，其中16题每题4分，共16分） 16. 解方程： （1）（配方法解）． （2）（公式法解）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是熟练掌握因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程的步骤． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问3详解】 解： 或 ； 【小问4详解】 解： 或 ． 17. 如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F． （1）求证：△BEF≌△CDF． （2）连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证四边形BECD是矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得ABCD且AB=CD，进而证明∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD, ASA证明△BEF≌△CDF. （2）根据等边对等角证明FD=FC，进而证明，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明 【详解】(1)∵四边形ABCD为平行四边形, ∴ABCD且AB=CD. ∵BE=AB, ∴BECD且BE=CD. ∴∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD, ∴△BEF≌△CDF. (2)∵BECD且BE=CD. ∴四边形BECD为平行四边形, ∴DF=DE,CF=BC, ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴∠FCD=∠A, ∵∠BFD=∠FCD+∠FDC,∠BFD=2∠A, ∴∠FDC=∠FCD, ∴FD=FC. 又DF=DE,CF=BC, ∴BC=DE, ∴▱BECD是矩形. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 18. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−(k+3)x+2k+1=0. (1)求证方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为 x=4，求 k 值，并求出此时方程的另一根. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证； （2）把x=4代入方程求出k的值，确定出方程，即可求出另一根． 【详解】（1）， 故方程有两个不相等的实数根； （2）∵方程的一个根为， ∴， 即， 由韦达定理得， 则. 【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，为尽快将西瓜售出，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设应将每千克小型西瓜的售价降低x元，则销售量为千克，再根据利润等于西瓜的利润减去房租等固定成本建立方程求解即可． 【详解】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵为尽快将西瓜售出， ∴， 答：应将每千克小型西瓜的售价降低元． 20. 如图，菱形中，E、F分别是边上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足． （1）求证：是等边三角形． （2）若菱形的边长为6，当的面积为时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2或4 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，，证明，推出，等量代换推出即，即可证明是等边三角形． （2）作交的延长线于点G，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，再根据的面积为，得出，解方程即可． 【小问1详解】 证明：菱形中，， ，， ，， 在和中， ∵，，，  ∴． ∴， ∵， ∴即， ∴为等边三角形. 【小问2详解】 解：如图，作交的延长线于点G， 由（1）知， ， ， ， ， ， 菱形的边长为6，， ， ， 的面积为， ， 整理得， 解得或． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$