第1章 反比例函数（高效培优讲义）数学湘教版九年级上册

第1章 反比例函数 教学目标 1.能准确复述反比例函数的定义，并能根据实际情境或已知条件确定反比例函数解析式。 2. 熟练掌握反比例函数图象的性质，能根据k的符号判断图象位置与增减性，反之也能根据图象特征求k的取值范围。 3. 会运用反比例函数“k的几何意义”解决面积计算问题。 4. 能综合运用反比例函数与一次函数的图象与性质，解决两函数交点、函数值大小比较等综合问题。  5.在解决反比例函数实际应用问题的过程中，学会从实际情境中抽象出数学模型，培养数学建模与分析问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）反比例函数的定义、图像的性质； （2）反比例系数k的几何意义； （3）反比例函数与一次函数综合、反比例函数的实际应用。 2.难点 （1）理解反比例函数增减性的局限性：需强调“在每个象限内”，避免忽略象限范围直接判断函数值变化。 （2）反比例函数与一次函数、几何图形的综合应用，能结合图像提取信息，将几何条件转化为函数关系求解。 知识点01 反比例函数相关概念 1.反比例函数的概念：一般的，如果两个变量y与x的关系可以表示成（k为常数，k）的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k（k称为反比例函数的比例系数。 2.反比例常见的三种表示形式： （1）（k为常数，k）； （2）y=k（k为常数，k）注意自变量x的指数为-1； （3）xy=k（k为常数，k）。 【即学即练】 1.下列函数中，属于反比例函数的是（C） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数定义和常见的3种形式进行解答即可． 【解析】解：A．未知数的次数为1，不符合题意； B．未知数的次数为-2，不符合题意； C．未知数的次数为-1，符合题意； D．未知数的次数为1，不符合题意， 故选：C． 2.已知函数是反比例函数，则k=-3 【答案】-3 【分析】根据次数为-1，系数不为0进行解答即可． 【解析】∵是反比例函数 ∴=-1且k-3 解得k=-3 故选：k=-3． 3.下面的三个问题中都有两个变量：(1)总钱一定，梨每千克售价为x元，买了y kg的梨；(2)汽车的速度一定，行驶路程s与行驶时间t；(3)矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x.其中，两个变量之间的之间为反比例函数关系的是（B） A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(3) D.(1)(2)(3) 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义一般的，如果两个变量y与x的关系可以表示成（k为常数，k）的形式，那么称y是x的反比例函数，进行解答即可． 【解析】解：（1）总钱=售价，售价x与y kg的梨可以用形如符合题意（k为常数，k表示，符合题意；（2）汽车的速度一定，行驶路程s与行驶时间t成正比例关系，不可以用形如表示，不符合题意；（3）矩形的面积=xy，因此一边长y与它的邻边可以用形如符合题意(k为常数，k表示，符合题意)； 故选：B． 知识点02 反比例函数的图像与性质y x O y x O 图1 图2 1.反比例函数的图象特征： （1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。特别说明：（1）若点（a,b）在反比例函数y=的图象上，则点（-a,-b）也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称： （2）在反比例函数y=(k为常数，k≠0）中，由于x≠0且y≠0，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴。 2.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以O为中心，在O的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点： （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交： （4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内. 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小； （2）如图2，当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，夕值随x值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，叙述反比例函数性质时，一定要加上“在每个象限内”，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的：反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 【即学即练】 1.已知反比例函数（k为常数）的图像经过第一、第三象限，则k的取值范围是（C) A.2 B.k<2 C.-2 D. 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，反比例系数大于0，图像经过第一、第三象限． 【解析】解：∵反比例函数（k为常数）的图像经过第一、第三象限， ∴ ∴-2 故选：C 2.关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（D） A.y随着x的增大而增大 B．图象分布在一、三象限 C．当x-2时，y1 D．若（-a,b）在该图象上，则（a,-b）也在该图象上 【解析】解：∵中，k=-20 ∴（1）在每个象限内，y随x的增大而增大错误，故A错误； （2）图像分布在二、四象限，故B错误； （3）当0x-2时，y1；当x0时，y0，故C错误； （4）图象关于原点对称，故若（-a,b）在该图象上，则（a,-b）也在该图象上，故D正确． 故选：D 知识点03 反比例系数k的几何意义 1.反比例函数的几何意义主要体现在以下几个方面： （1）矩形面积 通过反比例函数 y＝图象上任意一点 P(x,y)，分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、B，则矩形PAOB 的面积为。这是因为矩形的长和宽分别是点P 的横坐标和纵坐标b，而ab= k，所以面积S =.设P（，b） 则PA=，PB= y y＝A P B x O （2）三角形面积 连接原点O与点P，形成的三角形OPM或OPN的面积为|k|。这是因为三角形的面积是矩形面积的一半。 y＝设P（，b） 则OB=，PB= P x B O （3）对称性与面积关系 若反比例函数与正比例函数y =x或y =-x相交，交点关于原点对称。此时，由交点与原点构成的三角形或四边形面积与相关，例如三角形面积为，四边形面积为。 y＝ y 设A（a，b） 则ab=k B（-a，-b） AC=2,BC=2 2 A X C B （4）两个反比例函数的面积关系 若有两个反比例函数y＝和y=，它们图象之间的区域面积可通过和计算。例如，相加型区域面积为+，相减型区域面积为- （取绝对值）。y y= y= y= y B A B A y= O O X D C X C D + - （5)中点与面积关系 若反比例函数图象过某线段的中点，可通过中点性质将面积关系转化为与|k|相关的倍数关系，例如矩形面积可能是4，三角形面积可能是2.（M为线段OP的中点）y y P P M y＝ M A X B B O O X 2 【即学即练】 1.若图中反比例函数的表达式为，则下面图形中4 【答案】4 【分析】利用反比例系数k的几何意义． 【解析】已知，则k=4，把三角形ABC分三角形AOB和三角形BOC，利用面积公式进行计算。. 2.如图，两个反比例函数和,在第一象限内的图像分别是和点P在上，PB垂直于x轴于点B，交于点A，则的面积为1. 【答案】1 【分析】利用反比例系数k的几何意义． 【解析】解：∵PB垂直于x轴于点B，交于点A， ∴=， ∴=2-1=1 故为1． 知识点04 反比例函数与一次函数的综合 1.反比例函数与一次函数综合常见类型 （1）面积问题 三角形有边与坐标轴平行：以平行边为底，对边顶点坐标绝对值为高。 三角形无边与坐标轴平行：用“水平宽x铅垂高”公式计算。 （2）线段和差最值问题 将军饮马模型：作对称点，连接定点，求交点。 （3）函数值比较大小 步骤：①联立方程求交1.常见题型及解题方法 点；②分区间（交点与y轴分四区）；③看图象谁在上谁大；④写出对应x范围。 2.解题关键 （1）联立方程：求交点坐标，确定函数关系。 （2）数形结合：利用图象直观分析函数值大小、线段长度等。 （3）分类讨论：如线段最值问题需考虑不同位置情况 【即学即练】 1.一次函数与反比例函数(x0)的图像交于B(b，-1)，请分别求出m值及B点坐标。 【答案】m为2，B的坐标为（-2，-1） 【分析】核心思路是利用“交点坐标同时满足两个函数解析式”这一关键性质，先通过一次函数（已知一个坐标值）求完整交点坐标，再用完整交点坐标求反比例函数的未知参数，本质是“用已知条件逐步突破未知量”，且始终围绕“交点坐标满足所有函数解析式”这一核心性质展开。 【解析】解：∵一次函数与反比例函数(x0)的图像交于B(b，-1) ∴把B(b，-1)代入一次函数得b=-20 ∴点B的坐标为B(-2，-1) ∵点B在反比例函数图像上 ∴把B(-2，-1)代入反比例函数得m=2 即m为2，B的坐标为（-2，-1） 知识点05 反比例函数的实际应用 1.常见应用场景：行程问题（路程固定时，速度与时间的关系）、工程问题（总工作量固定时，效率与时间的关系）、几何问题（面积固定时，图形的底与高的关系）、购物问题（总价固定时，单价与数量的关系）. 2.应用核心步骤 （1）确定定值：找出问题中固定不变的量（如路程、工作量、面积、总价），记为 k 。 （2）建立关系：根据实际问题的公式，列出两个变量的乘积等于定值的等式（ xy = k ），确定反比例函数解析式。 （3） 代入计算：将已知的一个变量值代入解析式，求出另一个变量的值，或解决相关问题（如比较变量变化、求最值等）。 【即学即练】 1.小明用30元钱去买笔记本，笔记本的单价为x元，能购买的数量为y本，求y与x的函数关系式，并求当x = 5时，y的值。 【解析】：由题可得y=，当x = 5时，y = 6，即y的值为6。 2.某食堂有1200千克大米，每天吃x千克，可供吃y天，求y与x的函数关系式，当x = 40时，y的值是多少？ 【解析】：由题可得y= ，当x = 40时，y = 30，即y的值为30。 题型01 反比例函数的概念辨析与表达式求解 【典例1】已知函数y=是反比例函数，求m的值，并写出函数表达式。 【答案】m=1，函数表达式. 【分析】本题考查反比例函数概念 【解析】∵函数y=是反比例函数 ∴ 解得m. 即m=1，函数表达式 【变式1】若函数y=是反比例函数，求k的值及函数表达式。 【答案】k=，函数表达式. 【分析】本题考查反比例函数概念 【解析】∵函数y=是反比例函数 ∴ 解得k. 即k=，函数表达式. 【变式2】已知y与成反比例，当x = 3时，y = 4，求y与x的函数关系式。 【答案】y与x的函数关系式为 【分析】本题考查对反比例的理解 【解析】∵y与成反比例，设（k 把x=3，y=4代入，得 解得k36 即函数表达式为. 【变式3】已知y与x - 2成反比例，当x = 4时，y = 3，求y与x的函数关系式。 【答案】y与x的函数关系式为 【分析】本题考查对反比例的理解 【解析】设（k 把x = 4，y = 3代入，得3=，解得k = 6 所以y与x的函数关系式为。 题型02 反比例函数的图像与性质的应用 【典例1】反比例函数（k为常数，k的图像位于（ A ） A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 【答案】A 【分析】根据0及反比例函数（k为常数，k的性质即可解答。 【解析】∵ ∴ ∴反比例函数（k为常数，k的图像位于第一、三象限。 【变式1】某反比例函数图像上四个点的坐标分别为（-3，），（-2,3），（1，），（2，），则，的大小关系为（ C ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先根据点（-2,3）求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可解答。 【解析】：设反比例函数的解析式为y= 将点 (-2,3）代入得：k= -23= -6, 则反比例函数的解析式为y= 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， 又因为点（-3，)，(1，)，(2,) 在函数y =的图象上，且﹣3<0<1<2, >0>>，即. 故选：C. 【变式2】已知某反比例函数的图像经过点（m，n），则它一定也经过（B ） A. （m，-n） B.（n，m） C.（-m，n） D. 【答案】B 【分析】根据反比例函数图像上各点的坐标符合k=xy对各选项进行逐一判断即可。 【解析】：解：设反比例函数解析式为 反比例函数的图像经过点（m，n） ∴k=mn A.∵∴此点不在函数图像上，故本选项错误； B.∵∴此点在函数图像上，故本选项正确； C.∵（-∴此点不在函数图像上，故本选项错误； D.∵=，∴此点不在函数图像上，故本选项错误； 故选B 题型03 反比例函数与几何图形结合题型 【典例1】如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数（x＞0）的图象上＝6，则k＝6. 【答案】6 【分析】根据反比例系数的绝对值是矩形OABC的面积 【解析】根据题意知，S==6 ∴ 又∵反比例函数位于第一象限，k ∴6 【变式1】如图，在函数(x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为 ，，，则，，的大小关系 【变式2】如图，点A在反比例函数的图象上，AC垂直 x 轴于点C，且 △AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】关键是利用反比例函数k的几何意义（过双曲线上一点作x、y轴垂线，所得矩形或三角形面积与|k|的关系 ），建立面积与k的等式求解。 【解析】解：设A的坐标为（，）， ∵点A在反比例函数的图像上， ∴ ∴=k=2 ∴k=4 ∴反比例函数的表达式为 题型04 反比例函数与一次函数综合题型 【典例1】如图，已知反比例函数（x＞0）的图象与一次函数的图象交于A和B（6，n）两点． （1）求 k和n的值； （2）若点C（x，y）也在反比例函数（x＞0）的图象上， 求当2x 6时，函数值 y的取值范围． 【答案】(1)k=6;(2)1 y3 【分析】第一问根据交点的意义求出k和n；第二问根据函数的单调性结合x的取值范围进而确定y的范围。 【解析】解：（1）当x=6时，n=， ∴点B的坐标为（6，1）． ∵反比例函数过点B（6，1）， ∴k=6×1=6． （2）∵k=6＞0， ∴当x＞0时，y随x值增大而减小， ∴当2 x 6时，1 y3． 【变式1】如图，直线y=与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是． 【答案】． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的应用，关键看函数图象的上下位置关系： 【解析】由图可知，不等式，表示直线y=的图像在双曲线y=图像的上方的部分。结合图象，直线与双曲线交点A、B横坐标为1和5，观察可知，在时，直线在双曲线上方，故不等式解集为 。 【变式2】如图，反比例函数与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点，求 A，B 两点的坐标。 【答案】． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的应用，A、B两个点是反比例函数和一次函数的解： 【解析】解：解得或 又∵A在第二象限，B在第四象限 所以A（-2,4），B（4，-2） 题型05 反比例函数的实际应用题型 【典例1】体积为 20 的圆柱体，圆柱体的高为 y (单位：cm） 与圆柱的底面积 S (单位：） 的函数关系，若圆柱的底面面积为 10 ，则圆柱的高是200 cm. 【答案】；200 【分析】关键是依据圆柱体积公式建立反比例函数关系，再通过单位换算、代入求值解决问题。 【解析】 10 =0.1，根据圆柱的体积公式V=Sy结合题意变形可得，把S=0.1代入式子可得y=200cm。 【变式1】一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时的平均速度用 6 小时到达乙地. 甲、乙两地相距多少千米？ （2）当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的 函数关系？ 【答案】480；v=（t 【分析】本题考查行程问题中路程、速度、时间的关系及反比例函数应用，关键是运用行程问题核心公式，结合路程不变条件，推导函数关系。 【解析】 （1）解：80×6=480 （千米） 答：甲、乙两地相距 480 千米. （2）解：由题意得 vt =480， 整理得v=（t 【变式2】已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． （1）求 v 关于 t 的函数表达式． （2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 【答案】v=；20 【分析】本题考查反比例函数在实际卸货问题中的应用，核心是利用“总量 = 速度×时间”构建函数，结合反比例函数单调性求解最值。 【解析】解：（1）由题意可得：100=vt， 则v= ； （2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物， ∴t≤5， 则 v=20 ， 答：平均每小时至少要卸货20吨． 1.反比例函数的图像在（D ） A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图像性质判断即可． 【解析】函数图像在第二、四象限。 2.点A（-2,5）在反比例函数y=（k的图像上，则k的值是（D） A.10 B.5 C.-5 D.-10 【答案】D 【分析】根据反比例函数的概念代入计算即可． 【解析】把点A的坐标（-2,5）代入函数可得，得k= -10。 3.如图，点B在反比例函数（x>0）的图象上，横坐标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（B） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，核心是利用反比例函数k的几何意义． 【解析】由题可知矩形的面积等于=2. 4. 若点（，），（，），都是反比例函数图像上的点，并且，则下列结论中正确的是（B） A. B. C.y随x的增大而增大 D.两点可能存在同一象限 【答案】B 【分析】核心是利用反比例函数的象限分布、单调性，结合点的纵坐标符号判断横坐标大小及象限位置。 【解析】选项A：>0，<0，所以>，A错误。 选项B：由上述分析，<0，>0，所以<，B正确。 选项C：反比例函数在每个象限内y随x的增大而增大，但不是在整个定义域内y随x的增大而增大，C错误。 选项D：因为<0对应第四象限，>0对应第二象限，所以两点不在同一象限，D错误。 5.在同一直角坐标系中，函数与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是（B ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据a的正负性，分别分析反比例函数与一次函数的图象特征，进而判断选项。 【解析】选项A：反比例函数图象在第二、四象限（对应），但一次函数图象经过第二、三、四象限（不符合时一次函数过第一、二、三象限的特征 ），所以A错误。 选项B：反比例函数图象在第二、四象限（对应），一次函数图象经过第一、二、三象限（符合时的特征 ），所以B正确。 选项C：反比例函数图象在第一、三象限（对应 ），但一次函数图象经过第二、三、四象限（不符合时一次函数过第一、二、四象限的特征 ），所以C错误。 选项D：反比例函数图象在第一、三象限（对应），但一次函数图象经过第一、二、三象限（不符合时的特征 ），所以D错误。 6.函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小. 【答案】一、三；减小 【分析】根据反比例函数的图像性质判断即可。 【解析】函数图像在第一、三象限y随x的增大而减小。 7.已知反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m. 【答案】m 【分析】根据反比例函数的图像性质判断即可。 【解析】因为y随x的增大而减小，可以判断，所以m。 8.已知反比例函数，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值. 【答案】a 【分析】根据反比例函数概念进行计算即可。 【解析】解：由题意得=－1，且a－1<0． 解得 a=－3. 9.如图，正比例函数y=kx（与反比例函数y=（x的图象交于点A（2，3）． （1）求k、m的值； （2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围． 【解析】解：（1）将A（2，3）分别代入 y=kx 和，可得：3=2k和 解得：，m=6. （2）由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时：x＞2. 10.小明家离工作单位的距离为7200 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ (2) 若小明到单位用 30 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ 【答案】v=；240 【分析】本题考查行程问题中路程、速度、时间的关系及反比例函数应用，关键是运用行程问题核心公式，结合路程不变条件，推导函数关系。 【解析】 （1）由题可得v= （2）把 t =30代入函数的解析式，得：v==240 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 反比例函数 教学目标 1.能准确复述反比例函数的定义，并能根据实际情境或已知条件确定反比例函数解析式。 2. 熟练掌握反比例函数图象的性质，能根据k的符号判断图象位置与增减性，反之也能根据图象特征求k的取值范围。 3. 会运用反比例函数“k的几何意义”解决面积计算问题。 4. 能综合运用反比例函数与一次函数的图象与性质，解决两函数交点、函数值大小比较等综合问题。  5.在解决反比例函数实际应用问题的过程中，学会从实际情境中抽象出数学模型，培养数学建模与分析问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）反比例函数的定义、图像的性质； （2）反比例系数k的几何意义； （3）反比例函数与一次函数综合、反比例函数的实际应用。 2.难点 （1）理解反比例函数增减性的局限性：需强调“在每个象限内”，避免忽略象限范围直接判断函数值变化。 （2）反比例函数与一次函数、几何图形的综合应用，能结合图像提取信息，将几何条件转化为函数关系求解。 知识点01 反比例函数相关概念 1.反比例函数的概念：一般的，如果两个变量y与x的关系可以表示成（k为常数，k）的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是 ，常数k（k称为反比例函数的 。 2.反比例常见的三种表示形式： （1） （k为常数，k）； （2） （k为常数，k）注意自变量x的指数为-1； （3） （k为常数，k）。 【即学即练】 1.下列函数中，属于反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2.已知函数是反比例函数，则k= 3.下面的三个问题中都有两个变量：(1)总钱一定，梨每千克售价为x元，买了y kg的梨；(2)汽车的速度一定，行驶路程s与行驶时间t；(3)矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x.其中，两个变量之间的之间为反比例函数关系的是（ ） A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(3) D.(1)(2)(3) 知识点02 反比例函数的图像与性质y x O y x O 图1 图2 1.反比例函数的图象特征： （1）反比例函数的图象是 ，它有两个分支，这两个分支分别位于 或者 ；反比例函数的图象关于 对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。特别说明：（1）若点（a,b）在反比例函数y=的图象上，则点（-a,-b）也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点 ； （2）在反比例函数y=(k为常数，k≠0）中，由于x≠0且y≠0，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴。 2.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以O为中心，在O的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点： （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交： （4）反比例函数图象的分布是由 决定的：当 时，两支曲线分别位于 内，当 时，两支曲线分别位于 内. 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于 ，在每个象限内，y值随x值的增大而 ； （2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于 ，在每个象限内，夕值随x值的增大而 ； 特别说明：反比例函数的增减性不是 的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，叙述反比例函数性质时，一定要加上“ ”，反比例函数的增减性都是由反比例系数 定的：反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 【即学即练】 1.已知反比例函数（k为常数）的图像经过第一、第三象限，则k的取值范围是（ ) A.2 B.k<2 C.-2 D. 2.关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（ ） A.y随着x的增大而增大 B．图象分布在一、三象限 C．当x-2时，y1 D．若（-a,b）在该图象上，则（a,-b）也在该图象上 知识点03 反比例系数k的几何意义 1.反比例函数的几何意义主要体现在以下几个方面： （1）矩形面积 通过反比例函数 y＝图象上任意一点 P(x,y)，分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、B，则矩形PAOB 的面积为。这是因为矩形的长和宽分别是点P 的横坐标和纵坐标b，而ab= k，所以面积S =__________．设P（，b） 则PA= ，PB= ， = y y＝A P B x O （2）三角形面积 连接原点O与点P，形成的三角形OPM或OPN的面积为__________。这是因为三角形的面积是矩形面积的一半。 y＝设P（，b） 则OB=_________，PB=_________ P x B O （3）对称性与面积关系 若反比例函数与正比例函数y =x或y =-x相交，交点关于原点对称。此时，由交点与原点构成的三角形或四边形面积与相关，例如三角形面积为，四边形面积为。 y＝ y 设A（a，b） 则ab=k B（-a，-b） AC=__________，BC=__________， __________ A X C B （4）两个反比例函数的面积关系 若有两个反比例函数y＝和y=，它们图象之间的区域面积可通过和计算。例如，相加型区域面积为 ，相减型区域面积为 （取绝对值）。y y= y= y= y B A B A y= O O X D C X C D （5)中点与面积关系 若反比例函数图象过某线段的中点，可通过中点性质将面积关系转化为与|k|相关的倍数关系，例如矩形面积可能是4，三角形面积可能是2.（M为线段OP的中点）y y P P M y＝ M A B O B O X X 【即学即练】 1.若图中反比例函数的表达式为，则下面图形中 2.如图，两个反比例函数和,在第一象限内的图像分别是和点P在上，PB垂直于x轴于点B，交于点A，则的面积为 . 知识点04 反比例函数与一次函数的综合 1.反比例函数与一次函数综合常见类型 （1）面积问题 三角形有边与坐标轴平行：以平行边为底，对边顶点坐标绝对值为高。 三角形无边与坐标轴平行：用“水平宽x铅垂高”公式计算。 （2）线段和差最值问题 将军饮马模型：作对称点，连接定点，求交点。 （3）函数值比较大小 步骤：①联立方程求交1.常见题型及解题方法 点；②分区间（交点与y轴分四区）；③看图象谁在上谁大；④写出对应x范围。 2.解题关键 （1）联立方程：求交点坐标，确定函数关系。 （2）数形结合：利用图象直观分析函数值大小、线段长度等。 （3）分类讨论：如线段最值问题需考虑不同位置情况。 【即学即练】 1.一次函数与反比例函数(x0)的图像交于B(b，-1)，请分别求出m值及B点坐标。 知识点05 反比例函数的实际应用 1.常见应用场景：行程问题（路程固定时，速度与时间的关系）、工程问题（总工作量固定时，效率与时间的关系）、几何问题（面积固定时，图形的底与高的关系）、购物问题（总价固定时，单价与数量的关系）. 2.应用核心步骤 （1）确定定值：找出问题中固定不变的量（如路程、工作量、面积、总价），记为 k 。 （2）建立关系：根据实际问题的公式，列出两个变量的乘积等于定值的等式（ xy = k ），确定反比例函数解析式。 （3） 代入计算：将已知的一个变量值代入解析式，求出另一个变量的值，或解决相关问题（如比较变量变化、求最值等）。 【即学即练】 1.小明用30元钱去买笔记本，笔记本的单价为x元，能购买的数量为y本，求y与x的函数关系式，并求当x = 5时，y的值。 2.某食堂有1200千克大米，每天吃x千克，可供吃y天，求y与x的函数关系式，当x = 40时，y的值是多少？ 题型01 反比例函数的概念辨析与表达式求解 【典例1】已知函数y=是反比例函数，求m的值，并写出函数表达式。 【变式1】若函数y=是反比例函数，求k的值及函数表达式。 【变式2】已知y与成反比例，当x = 3时，y = 4，求y与x的函数关系式。 【变式3】已知y与x - 2成反比例，当x = 4时，y = 3，求y与x的函数关系式。 题型02 反比例函数的图像与性质的应用 【典例1】反比例函数（k为常数，k的图像位于（ ） A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 【变式1】某反比例函数图像上四个点的坐标分别为（-3，），（-2,3），（1，），（2，），则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【变式2】已知某反比例函数的图像经过点（m，n），则它一定也经过（ ） A. （m，-n） B.（n，m） C.（-m，n） D. 题型03 反比例函数与几何图形结合题型 【典例1】如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数（x＞0）的图象上＝6，则k＝ 【变式1】如图，在函数(x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为 ，，，则，，的大小关系 . 【变式2】如图，点A在反比例函数的图象上，AC垂直 x 轴于点C，且 △AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式． 题型04 反比例函数与一次函数综合题型 【典例1】如图，已知反比例函数（x＞0）的图象与一次函数的图象交于A和B（6，n）两点． （1）求 k和n的值； （2）若点C（x，y）也在反比例函数（x＞0）的图象上，求当2x 6时，函数值 y的取值范围． 【变式1】如图，直线y=与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是 . 【变式2】如图，反比例函数与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点，求 A，B 两点的坐标。 题型05 反比例函数的实际应用题型 【典例1】体积为 20 的圆柱体，圆柱体的高为 y (单位：cm） 与圆柱的底面积 S (单位：） 的函数关系 ，若圆柱的底面面积为 10 ，则圆柱的高是 cm. 【变式1】一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时的平均速度用 6 小时到达乙地. 甲、乙两地相距多少千米？ （2）当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的 函数关系？ 【变式2】已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． （1）求 v 关于 t 的函数表达式． （2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 1.反比例函数的图像在（ ） A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 2.点A（-2,5）在反比例函数y=（k的图像上，则k的值是（ ） A.10 B.5 C.-5 D.-10 3.如图，点B在反比例函数（x>0）的图象上，横坐标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 4.若点（，），（，），都是反比例函数图像上的点，并且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C.y随x的增大而增大 D.两点可能存在同一象限 5.在同一直角坐标系中，函数与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6.函数图象在第 象限，在每个象限内，y随x的增大而 . 7.已知反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 . 8.已知反比例函数，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值. 9.如图，正比例函数y=kx（与反比例函数y=（x的图象交于点A（2，3）． （1）求k、m的值； （2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围． 10.小明家离工作单位的距离为7200 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ (2) 若小明到单位用 30 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$