4.1.2无理指数幂及其运算 课件-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

人教版2019高一数学（必修一）第三章 函数的概念与性质 4.1指数 4.1.2无理指数幂及其运算 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1．学会根式与分数指数幂之间的相互转化． 2．掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值． 3．了解无理数指数幂的意义． 情景导入 在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数。类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂. 上面我们将(a>0)中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数。那么，当指数x是无理数时，的意义是什么?它是一个确定的数吗?如果是，那么它有什么运算性质? 新知探究 根据 的不足近似值 x 和过剩近似值 y（表4.1-1），利用计算工具计算相应的 的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？ 根据 的不足近似值 x 和过剩近似值 y（表4.1-1），利用计算工具计算相应的 的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？ 2 可以发现，当 的不足近似值 x 和过剩近似值 y 逐渐逼近 时， 都趋向于同一个数，这个数就是 . 也就是说， 是一串逐渐增大的有理数指数幂 和另一串逐渐减小的有理数指数幂 逐步逼近的结果，它是一个确定的实数. 这个过程可以用图4.1-1表示 . 思考 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 ，说明它也是一个确定的实数吗？ （1）当 的不足近似值从小于 的方向逼近 时， 的近似值从小于 的方向逼近于同一个常数； （2）当 的过剩近似值从大于 的方向逼近 时， 的近似值从大于 的方向逼近于同一个常数. 观察可发现 是一个确定的实数 总结：（1）无理数可以作为指数； （2）无理数指数幂的近似值可以利用逼近的方式得到. 一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数. 这样，我们就将指数幂数 中指数 x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数. 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质. 课本例题 【例1】 计算下列各式(式中字母都是正数)： 【解析】 （1）==0.09 （2） = （3）= (1)(2) (3) 课本练习 1. 计算下列各式： 解： 利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律： （1）x 取负实数，使得 |x| 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 的值，观察变化趋势； （2）x 取正实数，使得 x 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 的值，观察变化趋势. 解:（1） 由此可以看出，x 取负实数，使得 |x| 的值逐渐增大并趋向于无穷大时， 趋向于0. 解： 由此可以看出，x 取正实数，使得 x 的值逐渐增大，当 x 的值趋向于无穷大时， 的值趋向于0. 题型分类讲解 题型1 实数指数幂的运算性质 1.［湖南长沙名校联合体2024高一联考］计算 ( ) C A. B. C. D. 解析 .故 选C. 2.［北京西城区2025高一期末］已知，，则 ( ) D A. B. C.1 D. 解析 由，得，而，则，所以 .故选D. 3.［吉林长春五中2025高一月考］已知正数，满足，则 的最小值为( ) D A.10 B.12 C.18 D.24 解析 ， ， ， 当且仅当即 时，等号成立.故选D. 15 4.（多选）下列各式不正确的是( ) ABC A. B. C. D. 解析 对于A，，A不正确；对于B， ，B不正确；对于 C，，，C不正确；对于D， ，D正确.故 选 . 16 5.已知，，，化简 . 【解】,, . ,, 当是奇数时,原式 ； 当是偶数时,原式 . 易错点 忽略偶次根式的成立条件而致错 易错警示 根式有意义的条件：根指数为奇数,被开方数为实数,结果的符号与被开方数的符号相同；根指数 为偶数,被开方数非负,结果非负. 17 课堂小结 1.分数指数概念 (a＞0,m,n∈N*, n＞1) 2.指数幂运算性质 (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 的不足近似值 的近似值 的过剩近似值 的近似值 1.4 9.518 269 694 1.5 11.180 339 89 1.41 9.672 669 729 1.42 9.829 635 328 1.414 9.735 171 039 1.415 9.750 851 808 1.414 2 9.738 305 174 1.414 3 9.739 872 62 1.414 21 9.738 461 907 1.414 22 9.738 618 643 1.414 213 9.738 508 928 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 5 9.738 516 765 1.414 213 6 9.738 618 332 1.414 213 56 9.738 517 765 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 562 9.738 517 736 1.414 213 563 9.738 517 752 … … … … $$