4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

人教版2019高一数学（必修一）第四章 指数函数与对数函数 4.1指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点) 情景导入 为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数. 初中已经学过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数c=记作c=.像 S这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢?下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究. 新知探究 1. n次方根的概念 我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 例如，±2就是4的平方根. 如果x3=a，那么x叫做a的立方根. 如2就是8的立方根. 类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根. 由于25=32，所以2叫做32的5次方根. 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根. 其中n>1，且n∈N*. 2. n次方根的性质 【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号表示. 例如， 【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方根用表示，负的n次方根用表示. 两者也可以合并成(a>0). 例如， 【3】 负数没有偶次方根. 【4】 0的任何次方根都是0.记作： 因为在实数的定义里，任意实数的偶次方是非负数. 因此负数没有偶次方根. 3. 根式的概念 式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 根指数 被开方数 根据n次方根的定义， 可得：， 比如： 【1】 一般读作“n次根号a” 【2】 当a＜0且n为偶数时，在实数范围内没有意义. 【3】 当有意义时， 是一个实数，且它的n次方等于a. 注： 探究 表示的n次方根，一定成立吗？ ①当n为奇数时， ②当n为偶数时， 不一定 根据n次方根的定义和运算，我们知道 (a>0) (a>0) 也就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式. 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？ 把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把等写成下列形式 , . 一般地 思考 4.分数指数幂 规定正数的正分数指数幂的意义是： 所以，在条件的下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿. 规定正数的负分数指数幂的意义是： 例如， 规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义. 数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容, 5.分数指数幂的运算性质 规定了分数指数幂的意义以后，幂中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数. 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质. 课本例题 例1 求下列各式的值： (1) ；(2) ；(3) ；(4) . 解： (1) ； (2) ； (3) (4) 例2 求值：（1） ；（2） . 解： （1）法一； （2）法一. 法二； 法二. 法三. 解： 例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中a>0). ； . (1) ； (2) . 例4 计算下式各式(式中字母均是正数). 解： 课本练习 1. 用根式的形式表示下列各式（a>0）. 解： 2. 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式. 解： 3. 计算下列各式. 解： （3）==（a＞0） （4）2（ - 2）=-4=1- 题型分类讲解 题型1 根式 1.下列说法： ①的运算结果是 ； ② 的4次方根是2； ③当为大于1的偶数时，只有当 时才有意义； ④当为大于1的奇数时，对任意 都有意义. 正确的个数为( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 解析 对于①,偶次根式的结果只能是非负数,①错误；对于②,偶次方根的结果有正有负,②错误； 根据 次方根的意义可知③④正确.则正确的个数为2.故选C. 2.若有意义，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 解析 由题意可知，且，且 .故选B. 21 3.［江西宜春丰城中学2025高一期中］ ( ) B A.4 B.8 C. D. 题型2 分数指数幂 解析 ，故选B. 4.［江苏宿迁中学2025高一月考］下列等式成立的是( ) D A. B. C. D. 解析 对于A， ，故A错误； 对于B，, ，故B错误； 对于C，当,时，, ，故C错误； 对于D， ，故D正确.故选D. 22 特别注意 （1）偶次方根暗含其被开方数必须大于等于0. （2）与,且 的区别: ①是实数的次方根,是一个恒有意义的式子,不受的奇偶性的限制,但这个式子的值受 的 奇偶性的限制, . ②是实数的次方根的次幂,其中实数的取值受的奇偶性的限制,, 为奇数时, ;为偶数时, . 5.［广东深圳华中师大附中2025高一期中］ ___. 解析 . 23 6.（多选）下列表达式不正确的是( ) CD A. B. C. D. 易错点 忽略偶次根式的成立条件而致错 解析 由指数幂运算法则知A,B正确； 对C, ,故C错误； 对D,,故D错误.故选 . 24 课堂小结 1、n次方根和根式的概念。 2.当n为奇数时，a的n次方根是 当n为偶数时，正数a的n次方根是 负数没有偶次方根。 3.0的任何次方根都是0 当n是奇数时， 当n是偶数时， 4.分数指数概念 (a＞0,m,n∈N*, n＞1) 5.有理指数幂运算性质 (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. $$