1.2.4 课时2 用空间向量求二面角的大小课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.2.4 课时2 用空间向量求二面角的大小 第一章 作者编号：32200 1.理解平面的法向量的夹角与两平面夹角的关系. 2.会用平面的法向量求两个平面的夹角. 学习目标 空间中，直线和平面的夹角是如何求得的？ 特别地，cos θ =sin〈v，n〉，sinθ=|cos〈v，n〉|. 知识回顾 … … … 探究：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则这两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角有什么样的关系？ 相等或互补 θ＝〈n1，n2〉 θ＝π－〈n1，n2〉 新知探究 … … … 提醒 例1 已知二面角α－l－β，其中平面α的一个法向量m＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1，1)，则二面角α－l－β的大小可能为( ) A.60° B.120° C.60°或120° D.30°或150° 所以〈m，n〉＝120°， 又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补， 所以二面角的大小可能是60°或120°. 解析： C 新知探究 … … … 例2 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形，SA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=，SA=BC=AB=1，AD=，求平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角的余弦值. x y z 解:以A为原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∵AD⊥平面SAB， 新知探究 … … … x y z 新知探究 … … … 例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值. 解：以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2， 则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角. ∵C1C⊥平面A1B1C1，∴平面A1B1C1的一个法向量为n1＝(0，0，1). 根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0，1，3)，Q(2，0，2)，R(0，2，1). 新知探究 … … … 设平面PQR与平面A1B1C1的夹角为θ， 新知探究 … … … 归纳总结 向量法求二面角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)写出必要点的坐标； (3)求出两组有公共顶点的棱(线段)的方向向量； (4)分别求出两个平面的法向量； (5)求出向量夹角的三角函数值； (6)写出结论. 根据今天所学，回答下列问题： 1.两平面的平面角与其法向量夹角有怎样的关系？ 2.向量法求二面角的一般步骤是什么？ 课堂总结 … … … 1.平面α的一个法向量为n1＝(4，3，0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3，4)，则平面α与平面β所成角的余弦值为( ) B 当堂检测 … … … 2.已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成角的余弦值为_____. 3.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° B 当堂检测 … … … (1)若求两相交平面的所成的角，直接利用公式 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|). (2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角. cos〈m，n〉＝＝＝－， ∴可取-(0,0,0)=为平面SAB的一个法向量. 设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z). ∵-(0,0,1)==(1,1,0)-, ∴ 取x=1,则n=(1,-2,-1)，∴cos<n,>==-. ∴平面SAB与平面SCD夹角的余弦值为. 则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 即平面PQR与平面A1B1C1的夹角的余弦值为. ∴＝(2，－1，－1)，＝(0,1，－2). 设n2＝(x，y，z)，则∴∴ 取n2＝(3,4,2)，则cos〈n1，n2〉＝＝. A.－ B. C. D.以上都不对 $$