第二章 有理数的运算学案2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

陈经纶中学分校学生自主学习导学案 陈经纶中学分校 学生自主学习导学案 课题 2.1.1 有理数的加法（1） 学习 目标 1.在现实背景中理解有理数的加法的意义.（100%） 2.理解有理数加法法则.（100%） 3.利用加法法则正确地进行有理数的加法运算. （100%） 4.经历探索有理数加法法则的过程, 让学生体会从特殊到一般研究问题的方法,感受数学的化归思想.（95%） 5.感受数学分类讨论的思想，逐步培养学生用分类讨论的思想处理问题的能力.（90%） 教学 重点 了解有理数加法的意义。 教学 难点 1有理数加法中的符号的确定，尤其是异号两数如何进行加法运算 2．关键：用分类讨论的思想判断两个数相加属于哪一种情况. 学习环节 内容摘要 依据 目标 自学 思考 有理数有几种分类方法？都是如何分类的呢？引入负数后，加法的类型还有哪几种呢？ 【问题1】一辆汽车作左右方向行驶，我们规定向左为负，向右为正，向右行驶5km记作+5km，向左行驶5km记作－5km。如果这辆汽车先向右行驶5km，再向右行驶3km，那么两次运动后总的结果是______. 【问题2】如果这辆汽车先向左行驶5km，再向左行驶3km，那么两次运动后总的结果是______. 观察以上两个算式，回答问题： (1)两个加数的符号与和的的符号有什么关系？ (2)和的绝对值与加数的的绝对值有什么关系？ 从上面问题中，你能得出同号两数相加的方法吗？ _____. 【问题3】讨论解决下列问题（可以借助数轴解决这些问题） （1）一辆汽车先向左行驶3km，再向右行驶5km，那么两次运动后总的结果是______. （2）先向右运动3km，再向左运动5km，那么两次运动后总的结果是______. 观察以上两个算式，回答问题： (1)两个加数的符号与和的符号有什么关系？ (2)和的绝对值与加数的的绝对值有什么关系？ 从上面问题中，你能得出异号两数相加的方法吗？ （3）先向右运动5m，再向左运动5m，那么两次运动后总的结果是______ . （4）先向右运动5m，再向左运动0m，那么两次运动后总的结果是______ . （5）先向左运动5m，再向右运动0m，那么两次运动后总的结果是______ . 你能从前面的式子中总结出有理数的运算法则吗？ 合作 展示 交流 解疑 有理数加法法则： 想一想：使用有理数的加法法则应注意什么？ 例1：计算 练习： 1.（1）5＋（－7）； （2）（－1.3）＋8； （3）(-13)+0； （4）6+(-6). （5） (－0.9)＋1.5； . 2. 用算式表示下面的结果 （1）温度由-4℃上升7℃； （2）收入7元，又支出5元 1. 计算 （1）15+（-22） （2）4+（-6） （3）（-4）+6 （4） （-4）+4 （5）（-4）+14 （6）（-14）+4 （7）6+（-6） （8）0+（-6） （9）（-8）+0 4.请你用生活实例解释(－3)+2＝-1，(－3)＋(－2)＝－5的意义. 收获 反思 检测 反馈 【基础达标】 1．足球比赛中，甲队攻入乙队两球，同时被乙队攻入五球，则计算甲队净胜球数的算式为__________________． 2．－2的相反数与的倒数的和的绝对值等于______． 3．下列运算中正确的是( )． (A)(＋8)＋(－10)＝－(10－8)＝－2 (B)(－3)＋(－2)＝－(3－2)＝－1 (C)(－5)＋(＋6)＝＋(6＋5)＝＋11 (D)(－6)＋(－2)＝＋(6＋2)＝＋8 4.计算 （1）（+12）+（－8）= （2） （－10）+0 = （3）（－5）+（+5）= （4） （－3.8）+（－2.2）= （5）（－3.8）+（+2.2）= （6）(+21)+（－107）= (7) = (8) = (9) (＋8)＋(－17)＝ (10)(－17)＋(－15)＝ (11)(－32.8)＋(＋51.76)＝ (12)＝ (13)＝ (14) 5．已知点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B分别表示数，，且满足，则下列各式的值一定是正数的是 (A) (B) (C) (D) 【基础拓展】 6．某潜水员先潜入水下61米，然后又上升32米，这时潜水员处的位置能否用两种方法表示? 【能力提升】 7．两数相加，和比每个加数都小，那么这两个数是( )． (A)同为负数 (B)两数异号 (C)同为正数 (D)负数和零 8．若m为有理数，则m＋｜m｜的结果必为( )． (A)正数 (B)负数 (C)非正数 (D)非负数 【挑战极限】 9.有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，若将正数记为a，负数记为b，将这句话用符号语言表示为_________ _________________________________________________________________________． 10.试比较a＋b与a的大小． 11.对于有理数a，b，规定一种新运算：a⊕b＝ab＋b，如2⊕3＝2×3＋3＝9.下列结论：①(－3)⊕4＝－8；②a⊕b＝b⊕a；③方程(x－4)⊕3＝6的解为x＝5；④(4⊕3)⊕2比4⊕(3⊕2)小8.其中正确的是　　　　　(填序号). 陈经纶中学分校 学生自主学习导学案 课题 2.1.1 有理数的加法(2) 学习 目标 1.明确运算律在有理数范围内依然成立（100%） 2. 会利用运算律简化计算（100%） 教学 重点 利用运算律简化计算 教学 难点 熟练运用有理数加法法则进行计算 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 【问题1】有理数的加法法则？ 【问题2】有理数加法的计算步骤？ 【问题3】：计算并说明依据的法则 1.(-3.8)+(-2.2) 2.(-10)+0 3. (-3.8)+(+1.2) 4. (+3.8)+(-1.2) 5.(-11.8)+11.8 6. + (- 0.25) 7. +( -3 ) 8. -2 + 3 【问题4】 1.如果两个数的和是正数，那么这两个数一定( ) A、都是正数 B、只有一个是正数 C、至少有一个是正数 D、不能够确定加数的正负 2.两数相加,和比每个加数都小,那么这两个数是( ) A、同为负数 B、两数异号 C、同为正数 D、负数与0 3.若 m为有理数,则m +∣m∣的结果必为( ) A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数 【问题5】 回顾小学学过的加法运算律有哪几条？ 举例： 【问题6】这些运算律在有理数范围内还适用吗？ 合作 展示 交流 解疑 探究：加法交换律 计算： 1. 30+（-20）= （-20）+30= 2. （-11）+5= 5 +（-11）= 3. （-6）+（-3）= （-3)+(-6)= 思考： 两次所得的和相同吗？ 结论： 探究：加法结合律 计算： 1. [8+(-5)]+(-4)； 8+[(-5)+(-4)] 2. (-11)+[5+(-2)]； [5+(-11)]+(-2) 思考：两次所得的和相同吗？ 结论： 例1 计算 （1）8+（-6）+（-8） （2）16+(-25)+24+(-35) 练习： 计算 质疑 深化 巩固 提升 例2 每袋小麦的标准重量为90千克,10袋小麦称重记录如图1.3-3所示.与标准重量比较,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克?10袋小麦的总重量是多少? １.计算： (1) (-0.8)+（+1.2）+（－0.6）+（－2.4) (2)（+8）+（－32）+（－8）+（+32） (3)（+12.268）+（－0.379）+（－0.268）+（－0.621） 2. 两个非负数的和为零，则这两个非负数等于什么？ 3.有理数加法与绝对值、相反数的综合应用 若∣2x–3∣与∣y+3∣互为相反数，求：x+y的相反数. 收获 反思 巩固作 业 【基础达标】 1. 计算 (1) (+9)+(-7)+(+10)+(-3)+(-9) (2)(+0.36)+(-7.4)+(+0.3)+(0.6)+(+0.64) (3)(-0.125)+(+5)+(-7)+(+2)+(+0.125) (4) (5)(-3) + ( 4) + (18) + (-2 ) + (+ 1) 【基础拓展】 2.绝对值小于10的所有负整数的和等于 ；绝对值小于10的所有整数的和等于 ； 3.从－56起，逐次加1，得到一串整数：－55，－54，－53…则第100个数为______． 4.某银行储蓄卡中存有人民币 450 元，先取出 80 元，随后又存入 150 元， 储蓄卡中还存有人民币多少元? 5.一架飞机从9000 m的高度先下降300m，再上升500m，这时飞机的飞行高度是多少米? 【能力提升】 6．小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．(单位：cm) (1)小虫最后是否回到出发点O?为什么? (2)小虫离开O点最远时是多少? (3)在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【挑战极限】 7．出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“”，向北记作“”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米，每次行车都有乘客），，，，，，， 请回答： （1）将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向?距下午出车的出发地多远? （2）若规定每趟车的起步价是 元，且每趟车 千米以内（含 千米）只收起步价；若超过 千米，除收起步价外，超过的每千米还需收 元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元? （3）若小王的出租车每千米耗油 升，每升汽油 元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午是盈利还是亏损了?盈利（或亏损）多少钱? 陈经纶中学分校 学生自主学习导学案 课题 2.1.2有理数的减法（1） 学习 目标 1.经历探索有理数减法法则的过程；（100%） 2.理解有理数减法法则，渗透化归思想；（100%） 3.能较为熟练地进行两个有理数减法的运算；（100%） 4.能解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系。（95%） 教学 重点 有理数的减法法则，减法转化为加法的条件，把减数变为它的相反数。 教学 难点 转化过程中两类符号的改变。 学 习 环 节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 复习提问： 1、有理数的加法法则？ 2、使用有理数加法法则的步骤： 【探究1】 北京冬季里某天的温度为-3摄氏度~3摄氏度,这一天北京的温差是多少?怎样列式计算？ 列式：3-（-3）=6 而：3+_____=6 得出有理数减法法则:___________________________________ 用字母表示为：a-b=a+_______ 注意：两个变化（1）________________________ (2)_________________________ 合作 展示 交流 解疑 质疑 深化 巩固 提升 【例1】计算: （1）（－3）－（－5） （2）0－7 （3）7.2－（－4.8） （4）7.2-（-4.8） （5） 练习 1．计算： （1）6－9 （2）（+4）－（－7） （3）（－5）－（－8） （4）0－（－5） （5） （－2.5）－5.9 （6）1.9－（－0.6） 2．下表记录的是北京地区四季的某天的温度情况： 季节 春季 夏季 秋季 冬季 最高气温 15ºC 40ºC 17ºC -3ºC 最低气温 -3ºC 18ºC 0ºC -12ºC 分别求出四季某天的最高气温比最低气温高多少ºC？并用算式表示出来。 3．（1）比2℃低8℃的温度 （2）比－3℃低6℃的温度 【思考】 在小学，只有当a大于或等于b时(其中a，b是0或正数)，我们才能计算a-b(如2-1，1-1).现在，当a小于6时，你能计算a-b(如 1-2,(-1)-1)吗? 一般地，在有理数范围内，较小的数减去较大的数，所得差的符号是什么? 收获 反思 巩固作业 【基础达标】 1．a－b＝a＋______．减去一个数等于加上这个数的_______ 2．计算：(1)(＋15)－(－11)＝____；(2)(＋15)－(＋11)＝____； (3)0－(＋3.75)＝______；(4)｜－4｜－｜－9｜＝______； (5)－9－______＝0 (6)a－b＝a＋______． 3．两数之和是11，其中一个加数是14，则另一个加数是______． 4．一个正数与它的绝对值的差是______． 5.计算 （1）6-9 （2）（+4）-（-7） （3）（-5）--8 （4）0-（-5） （5）（-2.5）-5.9 【基础拓展】 6．下列计算错误的是( )． (A)－2－(－2)＝0 (B)－3－4－5＝－12 (C)－7－(－3)＝－10 (D)12－15＝－3 7．如果三个数的和为零，那么这三个数一定是( )． (A)两个正数，一个负数 (B)两个负数，一个正数 (C)三个都是零 (D)其中两个数之和等于第三个数的相反数 8．若｜a－1｜＋｜b＋3｜＝0，则的值是( )， (A) (B) (C) (D) 【能力提升】 9. 学习了有理数的运算后，老师出了一道题：计算-5-3的值，小罗同学是这样做的：-5-3=-5+（-3）=-8，他的理由是：减去一个数等于加上这个数的相反数.聪明的你还有什么方法计算此题？请写出你的计算过程：_______________，你这样计算的理由是：____________ 【挑战极限】 10. 规定图形表示运算,图形表示运算.则 + =________________.. 陈经纶中学分校 学生自主学习导学案 课题 2.1.2有理数的减法（2） 学习 目标 1. 能较为熟练地进行两个有理数减法的运算；（100%） 2. 能较为熟练地进行有理数加减混合运算；（100%） 3.能解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系。（95%） 教学 重点 有理数的减法法则，减法转化为加法的条件，把减数变为它的相反数。 教学 难点 转化过程中两类符号的改变,熟练进行有理数加减混合运算 学 习 环 节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 复习提问：有理数的减法法则？ 【探究1】下面研究怎样进行有理数的加减混合运算 例1 计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7) 分析：这个算式中有加法，也有减法。可以先根据有理数减法法则，把减法转化为加法，即把这个算式改写为： 再进行有理数的加法运算： 【归纳】引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算，例如 a+b-c=a+b+(-c) 算式(-20)十(+3)十(+5)+(-7)是-20，+3，+5，-7这四个数的 ，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为 -20+3-5-7 这个算式可以读作“负20、正3、正5、负7的和”，或读作“负20加3加5减7”.例1的运算过程也可以简单地写为： 【探究2】在数轴上，点A，B分别表示数a，b.对于下列各组数a，b： a=2，b = 6；a = 0，b = 6；a = 2，b = -6；a = -2，b = -6 (1) 观察点A，B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗? (2) 利用有理数的运算，你能用含有a，b的算式表示上述各组点A，B之间的距离吗? 【归纳】一般地，你能发现点 A，B之间的距离与数a，b之间的关系吗? 合作 展示 交流 解疑 质疑 深化 巩固 提升 例2 计算14-25+12-17 练习 1. 计算 (1)1-4+3-0.5； (2)-2.4+3.5-4.6+3.5； (3) (-7)-(+5)+(-4)-(-10)； 2. 将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算 (1) (-52)-(+37)+(-19)-(-24)； 3.数轴上A,B两点表示的有理数分别是-6和7,求A,B两点间的距离; 4.数轴上A,B两点表示的有理数分别是a和b,求A,B两点间的距离; 5.已知a的相反数是最小的自然数,b的相反数是最小的正整数,求a-b的值. 收获 反思 检测 反馈 【基础达标】 1．计算: (1)(-8)+10+2+(-1); (2)5+(-6)+3+9+(-4)+(-7) (3) (-0.8)+1.2+(-0.7)+(-2.1)+0.8+3.5； 2．有理数加减混合运算时，通常先把减法转化为______，然后将正数、负数分别______． 【基础拓展】 3．下列计算错误的是( )． (A)－2－(－2)＝0 (B)－3－4－5＝－12 (C)－7－(－3)＝－10 (D)12－15＝－3 4．如果三个数的和为零，那么这三个数一定是( )． (A)两个正数，一个负数 (B)两个负数，一个正数 (C)三个都是零 (D)其中两个数之和等于第三个数的相反数 5．若｜a－1｜＋｜b＋3｜＝0，则的值是( )， (A) (B) (C) (D) 6.计算 （1）－6－6＋9 （2）－5.4＋0.2－0.6＋0.8 （3） （4） 7.某地一天早晨的气温是一7℃，中午上升了 11℃，半夜又下降了9℃，半夜的气温是多少摄氏度? 8.某食品店一星期中各天的盈亏情况如下(记盈余为正): 432元，-12.5元，-10.5元，327元，-87元，536.5元，698元食品店这一星期总的盈亏情况如何? 9.某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护,某天早晨他们从 A地出发，晚上最终到达B地，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录(单位:km)如下: 十18，-9，十7，-14，-6，十13，-6，-8. 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶， （1）B地在A地的哪个方向?它们相距多少千米? （2）如果汽车行驶1km平均耗油a，那么这天汽车共耗油多少升? 【能力提升】 10.求出下列各组数在数轴上对应点之间的距离： (1)3与－2.2 (2)4.75与2.25 (3)－4与4.5 (4)与 11．a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示，且｜a｜＝｜b｜，｜d｜＞｜c｜＞｜a｜，则下列各式中，正确的是( )． A．d＋c＞0 B．d＞c＞b＞a C．a＋b＝0 D．b＋c＞0 12．若a＜b，则｜b－a＋1｜－｜a－b｜等于( )． A．4 B．1 C．－2a＋b＋6 D．不能确定 13．若｜a｜＝4，｜b｜＝3，且a，b异号，则｜a－b｜等于( )． A．7 B．±1 C．1 D．1或7 【挑战极限】 14．代数和的规律： (1)计算1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2001＋2002－2003－2004： (2)如果在1，2，3…2004这2004个数的前面任意添加正号或负号，再求和，其结果是奇数还是偶数．不好想的话，先从少一点的数列试一试，寻找规律． 陈经纶中学分校 学生自主学习导学案 课题 2.2.1有理数的乘法(1) 学习 目标 1、让学生通过找规律，探索有理数乘法法则. （100%） 2、发展学生的观察、归纳、猜想的能力,提高学生学习数学的积极性. （100%） 3、使学生能利用有理数的乘法法则进行简单的乘法运算. （100%） 4、理解倒数的概念。（100%） 教学 重点 有理数的乘法法则的探索、概括及应用. 教学 难点 有理数乘法法则中符号变化的理解和积的符号的确定. 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 合作 展示 交流 解疑 【问题】我们已经学习过哪些数的乘法运算了？(举例说明) 有理数如何进行乘法运算? 【探究一】观察下面的乘法算式,你能发现什么规律 3×3=9 3×2=6 3×1=3 3×0=0 规律(一): 利用规律(一)完成： 3×(- 1)= 3×(- 2)= 3×(- 3)= 【探究二】观察下面的乘法算式,你能发现什么规律 3×3=9 2×3=6 1×3=3 0×3=0 规律(二): 利用规律(二)完成： (- 1)×3= (- 2)×3= (- 3)×3= 规律：符号：正数乘正数，积为 数； 正数乘负数，积为 数； 负数乘正数，积为 数； 绝对值：积的绝对值等于各乘数绝对值的积。 【探究三】 （-3）×3= （-3）×2= （-3）×1= （-3）×0= 规律(三): （-3）×（-1）= （-3）×（-2）= （-3）×（-3）= 有理数乘法法则: 例1 计算： 倒数的定义： 即数a(a≠0)的倒数是______. 在例1(2)中，，我们说和 互为倒数.一般地， 在有理数中仍然有: 例2 计算： (1) (−4)×5 (2) (−9)×6 (2) 3 ×（-4） (4)（-3）×（-4） 练习 例3计算： 练习:指出下列各数的倒数 例4 用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.登山队攀登一座山峰,每登高1km气温的变化量为－6ºC,攀登3km后，气温有什么变化？ 例5 计算: （1） （2） 质疑 深化 巩固 提升 练习： 1.计算下列各题 (1)(－5)×8×(－7)×(－0.25); (2) (3) (4) 2 . 计算 3. 商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件，与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化? 4. 写出下列各数的倒数 【拓展提高】 1．下列说法错误的是（ ） A.若ab>0,则a与b的符号相同 B.若ab<0,则a与b的符号相同 C.若a与b的符号相同,则ab>0 D.若a与b的符号相异,则ab<0 2．若,则下列结论正确的是( ) A.a<0 b<0 B.a>0 b<0 C.a<0 b>0 D.a、b异号 3．填空： （1）若a<0,ab>0,则b____0; (2) 若a>0,b>0,c<0,则(－a)·b·(－c) ____0. (3) 若a＋b<0, ab>0, 则a____0, b ____0. 收获 反思 巩固作业 【基础达标】 1.选择题 （1）下列计算正确的是( )． (A) (B) (C) (D) （2）两个有理数之积是0，那么这两个有理数( )． (A)至少有一个是0 (B)都是0 (C)互为倒数 (D)互为相反数 2.直接将答案写在横线上： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______． 3.计算 （1） （2） （3）（－1）×（+4） （4） 【基础拓展】 4.计算 （1） （2） 【能力提升】 5.若a＜0，b＜0，c＞0，则(－a)·b·(－c)______0． 6．若a＋b＜0，且ab＞0，则a______0，b______0． 7．已知(－ab)·(－ab)·(－ab)＞0，则( )． (A)ab＜0 (B)ab＞0 (C)a＞0，b＜0 (D)a＜0，b＜0 8．｜x－1｜＋｜y＋2｜＋｜z－3｜＝0，则(x－1)(y－2)(z＋3)的值为( )． (A)48 (B)－48 (C)0 (D)xyz 【挑战极限】 9．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）.我们规定： （a，b）★（c，d）=bc－ad. 例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2． 那么，有理数对（2，－3）★（3，－2）= ; 陈经纶中学分校 学生自主学习导学案 课题 2.2.1有理数的乘法(2) 学习 目标 1、掌握有理数乘法的运算律，灵活地运用运算律简化运算. （100%） 2、通过学生自主探究，让学生充分参与到数学学习的过程中来. （95%） 教学 重点 会根据有理数乘法法则和乘法运算律，进行有理数的乘法运算. 教学 难点 灵活地运用运算律简化运算. 学 习 环 节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 【问题】什么是有理数的乘法法则？ 在0和正数范围内的乘法中，有哪几种运算律？ 【新课引入】计算下列各题，并思考可得到什么结论？ 1. 5×(－6)= (－6) × 5= 2. [3×(－4)]×(－5)= 3×[(－4)×(－5)]= 3. 5×[3+(－7)]= 5×3+5×(－7)= 【结论】有理数乘法运算律: . 合作 展示 交流 解疑 有理数乘法运算律的应用 【例1】计算： （2） （两种方法计算） 【例2】计算: 【探究】改变例1(1)的乘积式子中某些乘数的符号，得到下列一些式子. 观察这些式子，它们的积是正的还是负的? 几个不为0的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系? 如果有乘数为0，那么积有什么特点? 质疑 深化 巩固 提升 【例3】计算: 【例4】计算： 【例5】计算: ×（－18）； 质疑 深化 巩固 提升 【练习】计算下列各题 1.（－85）×（－25）×（－4）； 4. 5.×（－56）. 6.×＋（）×（＋） 7．（－17）×43＋17×（－21）－（－17）×164. 8. 【拓展提高】观察下列各式: (1)你发现的规律是 . (2)用规律计算： 收获 反思 巩固 作业 【基础达标】 1.计算 (1) （2） （3） （4） (5) (6) (7) 【基础拓展】 2.若a＝4，b＝0，c＝－3，d＝－5，则c－ad＝______，(a－b)(c－d)＝______． 3.比较a与3a的大小，正确的是( )． (A)3a＞a (B)3a＝a (C)3a＜a (D)上述情况都可能 【能力提升】 4..巧算下列各题： (1) （2） 陈经纶中学分校 学生自主学习导学案 课题 2.2.2有理数的除法（1） 学习 目标 1、理解除法与乘法的关系；（100%） 2、使学生能利用有理数的除法法则进行运算. （100%） 3、能熟练进行有理数的除法运算（100%） 教学 重点 利用有理数的除法法则进行运算. 教学 难点 熟练利用有理数的出除法运算 学 习 环 节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 【练习】填空: 1) 8×9=______ ; 72÷9=______, 72×= . 2) (－4)×(－3)=___; 12÷(-4)=____ 12×（）= . 3) 2×(-3)= ____; (-6)÷2=_____ (－6)×= . 4) (－5)×=___; (－7)÷(－5)=___ (－7)×（）= . 5) 0×(－6)=_____; 0÷(－6)=_____ 0×（）= . 【新课引入】： 想一想：除法法则与乘法法则有何联系与区别？ 有理数除法法则1: 公式表示： ; 思考：两个有理数相除时,商的符号怎样确定? 商的绝对值怎样确定? 有理数除法法则2： 合作 展示 交流 解疑 【例1】计算： 【例2】化简下列分数: 注意：分数线具有什么功能? 1. 2. 一般地，根据有理数的除法，形如(p，q是整数，q≠0)的数都是有理数;有理数又都可以写成上述形式(整数可以看成分母为1的分数)，这样，有理数就是形如(p，q是整数，q≠0) 的数。 【例3】计算: 质疑 深化 巩固 提升 计算下列各题 收获 反思 巩固作业 【基础达标】 1．若两数之积为1，则这两数互为________；若两数之商为1，则这两数________；若两数之积为－1，则这两数互为________；若两数之商为－1，则这两数互为________． 2．零乘以________都得零，零除以________都得零． 3．若ab＞0，b＜0，则a________0，且________0；若ab＜0，a＞0，则b________0，且________0由此可知，ab与的符号________． 4．填空： (1)＝_______； (2)＝_______； (3) _______；(4)＝_______； 5.计算 （1） （2） （3） （4）－2.5÷× （5） －54×÷ （6）63×÷（－0.9） （7） （8） 【基础拓展】 6. （1） （2） 【能力提升】 7．当a＝－2，b＝0，c＝－5时，求下列式子的值： (1)a＋bc； (2)(a－b)(a＋c)． 【挑战极限】 8.一口枯井深64米，井底之蛙想从井底爬上来．第一天白天，它往上爬到井深一半，晚上又滑落了白天所爬路程的一半；第二天白天，它继续往上爬到剩下路程的一半，晚上又滑落了白天所爬路程的一半；每天这样爬，它需要多少天才能爬到井口?做完题后想一想：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话的含义． 陈经纶中学分校 学生自主学习导学案 课题 2.2.2 有理数的除法（2） 学习 目标 1复习有理数乘除法法则以及乘法运算律，掌握有理数混合运算的运算顺序（100%） 2会观察，选择适当的、较简便的方法进行有理数混合运算（100%） 学习 重点 熟练进行有理数的混合运算 学习 难点 正确进行有理数的混合运算 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 合作 展示 交流 解疑 质疑 深化 巩固 提升 一复习旧知识 1．有理数的乘法法则： （1）同号两数相乘_________________________________. （2）异号两数相乘_________________________________. （3）0与任何自然数相乘，得________________________. 2．有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：ab=_________ （2）乘法结合律：（ab）c=_______ （3）乘法分配律：（a+b）c=________ 3．有理数的除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 . 4.比较有理数的乘法除法法则，发现 ______________可能转化为_____________. 乘除混合运算方法: 2、 新知探究 例1 计算 例2 计算（-4）÷2，4÷（-2），（-4）÷（-2） 联系这类具体的除法，你认为下列式子是否成立（a，b是有理数，b≠0）？ 从它们可以总结什么规律？ （1）； （2） 例3 观察下列解题过程，看有没有错误．如果有，请说明错误的原因，并给予纠正；如果没有错误，请指明用了什么运算律． 计算：－9÷=－9÷1=－9 例4计算 (1)-8+4÷(-2) （2）（） 小结:加减乘除混合运算方法: . 练习:1.计算： （1）（－0．4）÷（+0．02）×（－5）； （2）（－5）÷（－15）÷（－3）； （3）（－）÷（－1）－（+）÷（－）． （4） 2．计算： 3.计算 4 用计算器计算 （结果保留小数点后三位） 例5 某公司去年1～3月平均每月亏损1．5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10月平均每月盈利1．7万元，11～12月平均每月亏损2．3万元．这个公司去年总的盈亏情况如何？ 例6 已知a的相反数是，b的倒数是－2，求的值． 练习: 1．某冷冻厂的一个冷库现在的室温是－4℃，现有一批食品需要在－30℃冷藏．如果每小时降温4℃，问几小时能降到所需要的温度？ 2．某人用1000元人民币购进一批货物，第二天出售，获利10%；过几天后又以上次售出价的90%购进一批同样的货，由于卖不出去，两天后他将其按第二次购进价的九折全部卖出．他在这两次交易中盈亏如何？ 3．计算：1÷（1－）÷（1－）÷（1－）÷…÷（1－） 收获 反思 检测 反馈 计算： （1）2÷（－）×÷（－5）； (2)(-7) ×(-5)-90÷(-15) （3） 巩固 作业 【基础达标】 1.计算 （1） （2）(－79)÷2＋×(－29) （3） （4） （5） （6） 【基础拓展】 2．若xy＞0，则(x＋y)xy一定( )． (A)小于0 (B)等于0 (C)大于0 (D)不等于0 3．如果x＜y＜0，则化简的结果为( )． (A)0 (B)－2 (C)2 (D)3 【能力提升】 4.在10.5与它的倒数之间有a个整数，在10.5与它的相反数之间有b个整数， 求(a＋b)÷(a－b)＋2的值． 5.有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an。若a1=，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”.试计算：a2=______，a3=____，a4=_____，a5=______。这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计算a2004是多少？ 【挑战极限】 6.式子的所有可能的值有( )． A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 7．如果有理数a，b，c，d都不为0，且它们的积的绝对值等于它们积的相反数，你能确定a，b，c，d中最少有几个是负数，最多有几个是负数吗? 陈经纶中学分校 学生自主学习导学案 课题 2.3.1有理数的乘方(1) 学习 目标 1. 理解有理数乘方有关概念；（100%） 2. 掌握有理数乘方的符号法则，会进行有理数乘方运算．（100%） 教学 重点 有理数乘方的表示方法及运算． 教学难点 有理数的乘方的意义及乘方的应用 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 知识回顾： 1有理数的乘法法则： 2.一个正方形边长为a,它的面积是多少？ 3一个正方体棱长为a,它的体积是多少？ 读作a的平方或a的二次方，读作a的立方或a的三次方。 合作 展示 交流 解疑 一．乘方的定义 求n个 的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做 。 叫作a的n次方 其中，a叫 数，n叫 数，叫　　　　． (1)的指数是 , 底数是 ; (2) 100 的指数是 , 底数是 ; (3) 的指数是 ,底数是 . 例1:说出下列乘方的底数、指数且计算： 例2.计算下列算式的结果,并说出它表示的含义: 质疑 深化 巩固 提升 练习: １计算 2.算出:1-20的平方数,1-10的立方数. 二．探索 1.计算出结果,你能够发现什么规律? 规律： 2.计算出结果,你能够发现什么规律? 规律: 3.计算出结果,你能够发现什么规律? 规律: 4. 计算出结果,你能够发现什么规律? …… 规律: 归纳： 负数的 是负数，负数的 是正数； 正数的任何次幂都是 ，0的任何正整数次幂都是 . 注意: 练习: 1．不计算下列各式的值，确定其符号,并说出根据． （1） ； （2）； （3）； （4）； 　 （5）； （6）． 2．判断正误,并改正错误 (1) 32 = 3×2 = 6；( ) (2) (－2)3 ＝ (－3)2( ) (3) －32 = (－3)2；( ) (4) ( ) (5) ( ) 收获 反思 检测 反馈 1.分别指出 的底数和指数. 2.判断下列各幂的正负吗？ 3.计算 4.(1) 中，底数、指数各是什么？ (2) 中，叫作什么数？叫作什么数？是正数还是负数？ 5. 计算 6. 用计算器计算 巩固 作业 巩固 作业 巩固 作业 【基础达标】 1. 选择题 （1） 表示（ ） A．2×2×2 B．2×3 C．3×3 D．2＋2＋2 （2）下列各对数中，数值相等的是（ ） A．－32 与 －23 B.－23 与 (－2)3 C.－32 与 (－3)2 D.(－3×2)2与－3×22 (3)下列说法中正确的是（ ） A.23表示2×3的积 B.任何一个有理数的偶次幂是正数 C.－32 与 (－3)2互为相反数 D.一个数的平方是，这个数一定是. (4) 下列数或式：，， ，0，在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (5)一个数的立方是它本身,那么这个数是（ ） A. 0 B.0或1 C.－1或1 D.0或1或－1 (6) 已知，则的值是( ) A. -9 B. 9 C. 8 D. -8 2.填空题 （1） ； ； ； ； ； = （2）计算－24×(－22)×(－2) 3= ; （3）平方等于它本身的数是 ，立方等于它本身的数是 ； （4），，的大小关系用“＜”号连接可表示为 ； 【基础拓展】 3.计算：（l） （2） （3）. （4） 4.已知…推测到的个位数字是 ； 5.如图用苹果垒成的一个“苹果图”，根据题意，第10行有 个苹果，第n行有 个苹果； 【能力提升】 6.（1）通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小（在横线上填“>”、“<”或“=”） ① ；② ；③ ；④；⑤；⑥；…； （2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想的大小关系是 ； （3）根据上面的归纳猜想得到一般性的结论，可以得到： （填“>”、“<”或“=”）。 【挑战极限】 7.（1）通过计算，探索规律： 可写成100×1（1+1）+25 [来源:Z*xx*k.Com] …… ； ；[来源:学科网] （2）从（1）的结果，归纳猜想得= ； （3）根据上面的归纳猜想，请计算：= ； 8. 有一张厚度为0.1毫米的纸片，对折1次后的厚度是毫米，继续对折，2次，3次，4次……假设这张纸对折了20次，那么此时的厚度相当于每层高3米的楼房层数约是（ ）（参考数据：， ） A．3层 B． 20层 C．35层 D．350层 陈经纶中学分校 学生自主学习导学案 课题 2.3.1有理数的乘方(2) 学习 目标 能确定有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序；（100%） 会进行有理数的混合运算；培养学生正确迅速运算的能力。（100%） 教学 重点 运算顺序的确定和性质符号的处理 教学难点 有理数的混合运算法则 学习环节 要点 摘要 依据 目标 自学 思考 知识回顾： 我们经学过那几种有理运算:________________________________________. 计算下列各题 合作 展示 交流 解疑 二.学习新知识 1.计算 1.五种基本运算级别的划分 一级运算:______________________________ . 二级运算:_______________________________. 三级运算:_______________________________. 2.运算顺序: (1）先 ,再 ，最后 ； (2）同级 ，从 进行； (3）如有 ，先做括号内的运算，按 、 、 依次进行。 3.有理数的运算律 1)加法交换律:_________________.2)加法结合律:_____________________. 3)乘法交换律:__________________4)乘法结合律: ____________________. 5)分 配 律:______________________. 例1计算： 例2 观察下面三行数： -2，4，-8，16，-32，64，…; ① 0， 6，-6，18，-30，66，…; ② -1, 2, -4, 8, -16, 32,…. ③ （1） 第①行数按什么规律排列？ （2） 第②③行数与第①行数分别有什么关系？ （3） 取每行数的第10个数，计算这三个数的和. 质疑 深化 巩固 提升 收获 反思 检测 反馈 巩固 作业 巩固 作业 【基础达标】 1. 选择题 （1）对下列各式计算结果的符号判断正确的一个是 （ ） A． B. C. D. （2）如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ） A.正数 B.负数 C.非负数 D.任何有理数 2.填空题 (3) 如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 ； 如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是 ； （4）若，则 0 (5)如果，那么是 ； 【基础拓展】 3.计算：（1）÷ （2） （3）（-）2÷（-）4×（-1）4 -（1+1-2）×24 【能力提升】 4.察下列等式： …… 根据你观察得到的规律写出 ，并比较它与的大小； 5．观察下列解题过程 计算： 解：设S= ① 则5S= ② ②－①的：,∴ 你能用你学到的方法计算下面的题吗？ 【挑战极限】 6．定义一种对正整数n的“C运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋1；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，n＝66时，其“C运算”如下 若n＝26，则第2019次“C运算”的结果是（ ） （A）40 （B）5 （C）4 （D）1 7.本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算． 定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作． 运算法则如下： 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： （1）填空： ， ． （2）如果，求出x的值． （3）如果，请直接写出x的值． 陈经纶中学分校 学生自主学习导学案 课题 2.3.2 科学记数法 2.3.3近似数 学习 目标 1. 理解科学记数法的意义，学会用科学记数法表示绝对值大于10的数的数.（100%） 2. 了解近似数的概念,能按要求取近似数（100%） 学习 重点 1. 理解科学记数法的意义,并会对科学记数法表示的数进行简单的运算. 2. 能根据实际需要取近似数． 学习 难点 掌握用科学记数法表示一个数时，10的指数与原数整数位数之间的关系。 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 【问题一】 （1）310的底数是＿＿＿，指数是＿＿＿；103的底数是＿＿＿，指数是＿＿＿。 （2）102=＿＿＿； 103=＿＿； 104 =＿＿＿；105=＿＿＿。 （3）100=10×10=＿＿＿；（写成幂的形式，下同） 1000=＿＿＿；10000=＿＿＿；100000=＿＿＿。 【问题二】利用前面的知识，你能把一个比10大的数表示成整数位是一位数的数乘以10n的形式吗？试试看． （1） 中国国土面积有9 600 000平方公里； 9 600 000= （2） 中国人口约有1 300 000 000人； 1 300 000 000= （3）光的速度约为300 000 000米/秒； 300 000 000= (4)太阳的半径约为69 600 000 000米； 69 600 000 000= （5）世界的总人口约有8 000 000 000人； 8 000 000 000= (6) 银河系的直径为925 000 000 000 000 000公里． 925 000 000 000 000 000= 把一个大于10的数可以表示成 的形式(其中a大于或等于1且小于10， n是正整数)，使用的是 ． 合作 展示 交流 解疑 质疑 深化 巩固 提升 例1.（1）用科学计数法表示下列各数 1000000， 320000000， －45000000， 737000， 3000000000， -120000000000 （2）观察上题中中n与位数的关系 . 练习1.下列各数是否是用科学记数法表示的？ (1) 2 400 000（　　） (2) 2 400 000　（　　） (3) 3 100 000　　　　　　（　　） (4) 3 100 000　　　　　　　（　　） 例2.下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ ① ② ③ 练习2下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ 　　 　　 例3一个正常人的平均心跳速率约为每分70次，一年大约跳多少次？用科学记数法表示这一结果，一个正常人一生心跳次数能达到1亿次吗？请说明理由. 练习3 据统计，全球每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，请你计算每小时全球的排污量.（用科学记数法表示） 【问题三】近似数 下列叙述中的数据属于近似数的是（ ） A 七年级1班有23人喜欢踢足球； B 小丽称得体重约为37千克； C 1米等于100厘米； D 数学七年级上册教科书共有151页； E 一个报道说，参加今天会议的有513人； F 一个报道说，约有500人参加今天的会议。 一.近似数的意义 近似数就是和实际很 __的数.在许多情况下，很难取得准确数；或者不必使用准确数，而使用近似数就可以了. 二．精确度 精确度就是近似数与准确数的 程度. 精确度的方法-----精确到数位 一个近似数四舍五入到的数位越小，则它的精确度就越 . 如,按四舍五入法对圆周率取近似数时，可以 π ≈ 3（精确到______位） 例4. 小红量得课桌长为1.025 m,请按下列要求取这个数的近似数: (1)四舍五入到百分位 ; (2)四舍五入到十分位 ; (3)四舍五入到个位 . 当四舍五入到十位或十位以上时，应先用科学记数法表示这个数，再按要求取近似数. 练习4.　用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数. (1)0.344 82(精确到百分位)　　　　　　　　　　； (2)1.504 6(精确到0.01)　　　　　　　　　　　； (３)６９５０（精确到百位） . (4) 30 542(精确到百位)　　　　　　　　　　　　； 例5.下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位， (1)132.4精确到______________, (2)0.0572精确到____________, (3)2.4 万精确到______________, (4)2.4×104精确到______________ 收获 反思 检测 反馈 1．用科学记数法表示下列数字： 100 000 ，7400 000,56 000 000,567 000 000 2.－72010000000=，则的值为（ ） A.7201 B.－7.201 C.－7.2 D.7.201 3.下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ， 4.用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数. (1) 0.0158(精确到0.001) (2) 304.35(精确到个位) (3) 1.804(精确到0.1) (4) 754499（精确到百位） (5) 0.00356(精确到万分位) (6)61.235(精确到个位) (7) 1.8935(精确到0.001) (8) 0.0571(精确到0.1) 5.下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位， （1）0.010; （2）12.410万； （3） 巩固作业 【基础达标】 1.填空 一般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数方法叫做________，n是原数整数位数减1. 2.用科学记数法表示下列各数. （1）503 000； （2）200 000； （3）-981.2； （4）0.023×109. 3．（1）一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数_______到哪一位； （2）用四舍五入法取近似值，0.012 49精确到0.001的近似数是______； （3）用四舍五入法得到的近似值0.380精确到______位，48.68万精确到_____位； （4）用四舍五入法取近似值，396.7精确到十位的近似数是________ 4．用四舍五入法，求出下列各数的近似数. （1）0.632 8（精确到0.01） ； （2）7.912 2（精确到个位） ； （3）47 155（精确到百位） ； （4）3.14159(精确到0.001)__ _______________； （5）528187(精确到万位) . 【基础拓展】 5．填空： (1)地球上的海洋面积为36 100 000平方千米，36 100 000用科学记数法表示为 ； (2)光速约米/秒，用科学记数法表示的数的原数是_________. 6．据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失为1.5亿元.若一年按365天计算，用科学记数法表示我国一年因沙漠化造成的经济损失为（ ） A.（元） B. （元） C. （元） D. （元） 7．分别用科学记数法表示下列各数： (1)100万； (2)10 000； (3)44； （4）679 000； （5）30 000； （6）113.2 【能力提升】 8．把一个准确数四舍五入就可得到一个近似数,这个准确数就是这个近似数的真值.试说明近似数1.80和1.8有什么不同,其真值有何不同? 9．纳米(nanometer)是表示微小距离的单位，符号是nm．，主要用于度量微粒的大小．1纳米米，即1米＝纳米．请你写出纳米和分米、厘米、毫米之间的换算关系．1厘米＝______纳米，1毫米＝______纳米． s 10 ．地球绕太阳每小时转动经过的路程约为1.1×105千米，声音在空气中每小时约传播1.2×103千米，求地球绕太阳转动的速度与声音传播的速度哪个快.? 11．聪明一休萌发了个奇怪的念头，他想造一个巨形图书馆，这个图书馆大约有10 001 000 000本书就够了.这些书中包含了过去的、现在的和未来的所有著作，包括地球上的，也包括许多星球上住着的能说话、会印刷和学习数学的居民们所用的各种书籍.你能想象一下 10 001 000 000这个数有多大吗?能用科学记数法把这个数表示出来吗? 12．(1)计算 ，，，观察这些结果，底数的小数点向左(或右)移动一位时，平方数的小数点有什么移动规律? (2)计算 .，，，观察这些结果，底数的小数点向左(或右)移动一位时，立方数的小数点有什么移动规律? (3)计算0.14，1，10，100.观察这些结果，底数的小数点向左(或右)移动一位时，四次方数的小数点有什么移动规律? 13．计算，，，.联系这类具体的数的乘方，你认为当a<0时下列各式是否成立? 61 学科网（北京）股份有限公司 $$