第三单元分数除法·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第三单元分数除法·单元复习篇【五大篇章】 问题层级 快速自检RQ 基础层 £1.倒数的认识与基本求法。 £2.分数除法的基本计算与口算。 £3.商与被除数的大小关系。 £4.商与被除数的大小关系。 £5.分数除法基本应用题。 进阶层 £1.倒数的变式应用。 £2.分数四则混合运算，并能熟练掌握分数混合运算应用题。 £3.利用方程法解决分数除法应用题，利用量率对应法解决分数除法应用题。 拓展层 £1.涉及奥数思维的复杂分数除法简便计算，以及几种比较常见的简便计算类型。 £2.单位“1”转换问题的解题方法。 我的疑难问题 1. 2. 3. 【知识点一】倒数的认识 1. 倒数的定义。 乘积是（ ）的两个数互为倒数。 关键点提取： ①乘积是1→互为倒数的两个数的乘积是1。 ②两个数互为倒数→是两个数之间的关系，而不是一个或多个数。 ③互为倒数→指两个数是相互依存的，单独一个数不能称为倒数。 注意：判断两个数是否为倒数，就看它们的乘积是否为1。 2. 倒数的描述方式。 在描述倒数的过程中，要说谁是谁的倒数或者谁和谁互为倒数，不能单独说一个数是倒数。 3. 求四种数的倒数。 （1）求真（假）分数的倒数：交换（ ）的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（0除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置。 4. 一个数的倒数与它本身的大小关系。 真分数的倒数（ ）它本身；假分数的倒数（ ）它本身；整数(0、1除外)的倒数都小于它本身。 5. 注意：1的倒数是（ ），（ ）没有倒数。 【知识点二】分数除以整数 1. 分数除以整数的意义。 一个分数除以整数表示把这个分数平均分成整数份，求每份是多少。 2. 分数除以整数的计算法则。 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的（ ）。 关键点提取： 分数除以整数(0除外)的计算方法概括为“两变一不变”：除号变乘号，除数变为它的倒数，被除数不变。 3. 注意。 （1）一个分数连续除以几个整数(0除外)，可以先转化为这个分数连续乘这几个整数的倒数，再计算。 （2）带分数除以整数(0除外)，需要先把带分数转化为假分数，再按照分数除以整数的方法计算。 【知识点三】一个数除以分数 1. 一个数除以分数的意义。 一个数除以分数表示一个数里面有几个另一个数。 2. 一个数除以分数的计算法则。 一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。 3. 推导：分数除法统一的计算法则。 除以一个不为0的数，等于（ ），用字母表示为：a÷b=a×。 注意：计算分数除法时，注意“两变一不变”，除数变成它的倒数；除号变成乘号；被除数不变。 【知识点四】商与被除数的大小关系 1. 一个数(0除外)除以小于1的数，商比原来的数（ ）。 2. 一个数(0除外)除以大于1的数，商比原来的数（ ）。 3. 一个数(0除外)除以等于1的数，商与原来的数（ ）。 【知识点五】分数混合运算 1. 分数连除的计算方法。 分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分的要约分。 2. 不含括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按照（ ）的顺序计算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 3. 含有括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算（ ），再算（ ）。 4. 整数的运算定律在分数混合运算中的运用。 在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算性质，使计算简便。 【知识点六】分数除法的基本应用题 1. 求一个数是（占）另一个数的几分之几。 求一个数是（占）另一个数的几分之几，直接用除法计算，即一个数÷另一个数（单位“1”）=分率。 2. 已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几。 求一个数比另一个数多或少几分之几，口诀是（ ）。 3. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”属于最基础的分数除法应用题，常常使用以下两种方法解决： 1. 方程法。 ①找准单位“1”的量，设为x； ②找出题目中的等量关系； ③列出方程求解； ④检验作答。 2. 算术法。 单位“1”未知，用除法，分量÷分率=单位“1”。 ①找出单位“1”； ②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几（分率）； ③列出除法算式，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。 4. 已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数（分数连除应用题） 分数连除应用一般在题目中会有两个及以上单位“1”，且都未知，要求我们找准不同分量对应的分率，进而求得最终结果。 5. 分数乘除混合应用题。 解题关键是找出单位“1”，分清单位“1”是否已知，如果单位“1”已知，用分数乘法计算，如果单位“1”未知，用分数除法计算。 6. 分量和分率区分问题。 （1）求平均每份是多少，即总数÷份数=每份数量。 （2）求每份占几分之几，即把总数看作单位“1”，用单位“1”÷份数=几分之几。 7. 已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数。 已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用（ ）=单位“1”。 8. 已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数。 已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用（ ）=单位“1”。 9. 已知两个量的和或差，其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量（分数除法中的和差倍问题）。 (1)设其中一个未知量为x，用含有x的式子表示另一个未知量； (2)根据“一个数±另一个数=和(差)”列出方程； (3)求出x的值，并根据两个数的倍数关系求出另一个数。 【知识点七】量率对应问题 1. 分数除法应用题从解题形式上来看，一般使用两种方法解决问题。 一种是方程法，即分析已知条件，找出等量关系式，再设未知数列方程解决问题，但列方程解决分数应用题较为抽象，不易为大多数同学理解，而且步骤相对较多，容易出错；有鉴于此，我们常常采用另外一种方法，即算术法，本篇内容介绍使用量率对应法列算式解决分数除法应用题。 2. 量率对应问题。 由于分数乘法应用题的学习，我们对分量、分率、单位“1”等概念已经有了充分的认识。在分数乘法应用题中，我们已知单位“1”，使用乘法计算，而在分数除法应用题中，我们未知单位“1”，使用除法计算，其中量率对应原则便是使用算术方法解决分数除法应用题的核心，首先要明确分量和分率各自的含义，其次要分析分量和分率是否一一对应，最后用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【知识点八】单位“1”转化问题 1. 关于单位“1”转化问题。 单位“1”作为一个抽象表示概念，在分数问题中作为基准量，如果出现动态变化时，是不能够直接使用量率对应法解决问题的，这时候，就需要根据条件动态调整单位“1”，确保分量与分率严格对应，这样的一类需要动态调整单位“1”的问题，我们把它叫做单位“1”转化问题。 2. 解题方法。 单位“1”转化问题，本质上是在量率对应问题的进基础上调整了单位“1”，因此，在分析分率条件时，比较抽象，难以理解，但是核心解题思路仍然是量率对应法，在实际解决问题时，可以多采用数形结合的方式进行理解，另外，注意抓取关键词，以作为区别普通量率对应问题的特征。 【预测考点01】倒数的认识 ( )与1互为倒数，0.4的倒数是( )，（a不等于0）的倒数是( )。 【对应练习】 1．0.25的倒数是( )，的倒数是( )，与( )互为倒数。 2．的倒数是( )，3的倒数是( )，0.6与( )互为倒数，( )的倒数是。 【预测考点02】分数除法基础计算（口算） 直接写得数。 （1）    （2）1.02－0.6＝    （3）240÷0.6＝    （4）    （5） （6）     （7）    （8）    （9）0.25×17×4＝    （10） 【对应练习】 1．直接写得数。 3.6＋4.4＝                   0.72÷0.8＝                     1－0.02＝          3.6÷1.2＝        0.125×40＝                     2．直接写得数。 266＋34＝          0.65×2＝         3.3－0.16＝                                          20－7.5＋2.5＝                     【预测考点03】商与被除数的大小关系 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( ) ( ) ( ) 【对应练习】 1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 15×( )15        13÷( )13      ÷( )×4 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ×( )     8÷( )8× 【预测考点04】分数除法基本应用题 1．小萱在学校踢毽子比赛中踢了60个。她踢毽子的数量是小琳的。小琳踢了多少个？ 2．果园里有180棵龙眼树，比荔枝树的棵数少，果园里有荔枝树多少棵？ 3．月星小学去年有64台计算机，今年比去年增加。今年有多少台计算机？ 【对应练习】 1．昆虫在飞行中振动翅膀的速度快于鸟类。蝗虫每秒能振动18次，是蜜蜂每秒振动次数的，蜜蜂每秒振动翅膀多少次？ 2．果园里有144棵桃树，桃树的棵数是梨树的，苹果树的棵数是梨树的，苹果树有多少棵？ 3．一个电动车厂三月份实际生产电动车4500辆，比原计划多生产。原计划生产电动车多少辆？ 【预测考点01】倒数的变式应用 若a、b互为倒数，则2024－3ab＝( )；若a没有倒数，b的倒数是它本身，则2024－3ab＝( )。 【对应练习】 1．、、均是不为0的自然数，且，、、这三个数相比较，最大的是( )，最小的是( )。 2．，( )最大，( )最小，( )等于( )。 【预测考点02】分数混合运算与简便计算 脱式计算。能简算的要简算。                                  【对应练习】 1．脱式计算。能简算的要简算。 29.5×－×9.5                     －（－） ÷[（－）×]                （＋－）÷ 2．脱式计算。能简算的要简算。                           【预测考点03】量率对应问题 明明看一本科普书，已经看了全书的，还有145页没有看，这本科普书一共有多少页？ 【对应练习】 1．花布和白布共长60米，花布的长度是白布的，白布长多少米？ 2．一个打字员打一篇稿件。第一天打了总页数的，第二天打了总页数的，第二天比第一天多打6页。这篇稿件有多少页？（列方程解决问题） 【预测考点01】复杂的分数简便计算 计算。 （＋＋）÷（＋＋） 【对应练习】 1．计算。 2．计算。 （1） （2） 【预测考点02】复杂的单位“1”转化问题 一本故事书，豆豆第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩63页没看。这本故事书共有多少页？ 【对应练习】 1．《弟子规》是依据孔子教诲编成的学童生活规范，形式为“三字一句”，核心思想是“儒家的孝悌仁爱”。学校举行“传经典·学国学”活动，小玲第一周背诵了总句数的，第二周背诵了余下的，还剩下192句没背，《弟子规》全文共有多少句？多少个字？ 2．一本故事书，小华从第一页开始看起，第一天看了总页数的多3页，第二天看了余下的少4页，还剩122页没有看。这本故事书一共有多少页？ 【预测考点03】工程问题 甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲、乙合作6小时完成了这项工作，如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时？ 【对应练习】 1．修一条路，甲队单独修6天完成，乙队单独修9天完成。甲队先修2天后，剩下的由乙队单独来修，乙队还要修多少天修完这条路？ 2．某游泳池有甲、乙两个进水管，一个丙排水管，单独开甲进水管放满游泳池需6个小时，单独开乙进水管放满游泳池需8个小时，单独开丙排水管排完满池的水需要12个小时。游泳池每天需要更换一部分水，先打开丙排水管排了3个小时水后，再同时开甲、乙两个进水管，几小时后游泳池水能满？ 一、填空题。 1．（2024·江西赣州·期末）1.2的倒数是( )；( )是的倒数；( )没有倒数。 2．（2024·河南郑州·期末）如果x、y互为倒数，那么хy＋45＝( )。 3．（2024·湖南湘西·期末）把米长的铁丝平均截成4段，每段是全长的( )，每段长( )米。 4．（2024·河南焦作·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )     ÷1.5( )      105÷( )105× 5．（2024·新疆阿克苏·期末）比4kg多是( )kg；( )kg的是6kg。 6．（2024·山东济宁·期末）为了有更好的学习体验，老师准备了一些关于介绍博物馆的卡片，让同学们轮流看。乐乐已经看了卡片总数的，还剩28张卡片没有看。老师一共准备了( )张卡片，乐乐已经看了( )张。 二、选择题。 7．（2024·甘肃临夏·期末）当a＞0时，下面的算式中，( )的得数最大。 A． B． C． D． 8．（2024·山东济宁·期末）一项工程，甲队单独要8天完成，乙队单独要6天完成，甲队的工作效率比乙队慢( )。 A． B． C． D． 9．（2024·湖南湘西·期末）李红的体重比赵明的体重多，则赵明的体重比李红的体重少( )。 A． B． C． D． 10．（2024·山东济宁·期末）在千秋展厅，有唐三彩相关展品。唐三彩烧制技艺和广彩瓷烧制技艺都是国家级非物质文化遗产。广彩瓷的烧制温度大约是800摄氏度， ，唐三彩的烧制温度大约是多少摄氏度？解决这个问题列式为800÷（1－），那么横线上应该补充的条件是( )。 A．是唐三彩烧制温度的 B．比唐三彩的烧制温度高 C．比唐三彩的烧制温度低 D．唐三彩的烧制温度是广彩瓷烧制温度的 三、计算题。 11．（2023·天津河东·期末）直接写结果。                                                            12．（2024·湖南湘西·期末）计算下面各题，能简算的要简算。           12.5×2.5×32                                  13．（2024·重庆·期末）解方程。                                    四、解答题。 14．（2024·重庆秀山·期末）黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”。黄河从源头向东流经青海、四川、甘肃、宁夏、内蒙古、山西、陕西、河南、山东等9个省区，最终在山东省注入渤海。在各省份中黄河青海段最长，长度约是2000千米，占黄河总长度的，黄河全长约多少千米？ 15．（2024·甘肃临夏·期末）张大爷养了280只鹅，鹅的数量比鸭多，张大爷养了多少只鸭？ 16．（2024·山东济宁·期末）乐乐参观博物馆一、二层两个展厅一共用了120分钟，其中参观一层展厅的时间是参观二层展厅的，参观二层展厅用了多少分钟？ 17．（2024·新疆阿克苏·期末）某水果店购进一批水果，第一天卖出总数的，第二天卖出240千克，还剩下240千克没有卖出。这个水果店一共购进多少千克水果？（列方程解答） 18．（2024·湖南永州·期末）一件工程甲单独做要12天完成，乙单独做要16天完成，甲乙先合作了4天，乙因有事退出，甲再接着做几天能完成任务的？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第三单元分数除法·单元复习篇【五大篇章】 问题层级 快速自检RQ 基础层 £1.倒数的认识与基本求法。 £2.分数除法的基本计算与口算。 £3.商与被除数的大小关系。 £4.商与被除数的大小关系。 £5.分数除法基本应用题。 进阶层 £1.倒数的变式应用。 £2.分数四则混合运算，并能熟练掌握分数混合运算应用题。 £3.利用方程法解决分数除法应用题，利用量率对应法解决分数除法应用题。 拓展层 £1.涉及奥数思维的复杂分数除法简便计算，以及几种比较常见的简便计算类型。 £2.单位“1”转换问题的解题方法。 我的疑难问题 1. 2. 3. 【知识点一】倒数的认识 1. 倒数的定义。 乘积是（1）的两个数互为倒数。 关键点提取： ①乘积是1→互为倒数的两个数的乘积是1。 ②两个数互为倒数→是两个数之间的关系，而不是一个或多个数。 ③互为倒数→指两个数是相互依存的，单独一个数不能称为倒数。 注意：判断两个数是否为倒数，就看它们的乘积是否为1。 2. 倒数的描述方式。 在描述倒数的过程中，要说谁是谁的倒数或者谁和谁互为倒数，不能单独说一个数是倒数。 3. 求四种数的倒数。 （1）求真（假）分数的倒数：交换（分子、分母）的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（0除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置。 4. 一个数的倒数与它本身的大小关系。 真分数的倒数（大于）它本身；假分数的倒数（等于或小于）它本身；整数(0、1除外)的倒数都小于它本身。 5. 注意：1的倒数是（1），（0）没有倒数。 【知识点二】分数除以整数 1. 分数除以整数的意义。 一个分数除以整数表示把这个分数平均分成整数份，求每份是多少。 2. 分数除以整数的计算法则。 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的（倒数）。 关键点提取： 分数除以整数(0除外)的计算方法概括为“两变一不变”：除号变乘号，除数变为它的倒数，被除数不变。 3. 注意。 （1）一个分数连续除以几个整数(0除外)，可以先转化为这个分数连续乘这几个整数的倒数，再计算。 （2）带分数除以整数(0除外)，需要先把带分数转化为假分数，再按照分数除以整数的方法计算。 【知识点三】一个数除以分数 1. 一个数除以分数的意义。 一个数除以分数表示一个数里面有几个另一个数。 2. 一个数除以分数的计算法则。 一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。 3. 推导：分数除法统一的计算法则。 除以一个不为0的数，等于（乘这个数的倒数），用字母表示为：a÷b=a×。 注意：计算分数除法时，注意“两变一不变”，除数变成它的倒数；除号变成乘号；被除数不变。 【知识点四】商与被除数的大小关系 1. 一个数(0除外)除以小于1的数，商比原来的数（大）。 2. 一个数(0除外)除以大于1的数，商比原来的数（小）。 3. 一个数(0除外)除以等于1的数，商与原来的数（相等）。 【知识点五】分数混合运算 1. 分数连除的计算方法。 分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分的要约分。 2. 不含括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按照（从左到右）的顺序计算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 3. 含有括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算（小括号里面的），再算（中括号里面的）。 4. 整数的运算定律在分数混合运算中的运用。 在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算性质，使计算简便。 【知识点六】分数除法的基本应用题 1. 求一个数是（占）另一个数的几分之几。 求一个数是（占）另一个数的几分之几，直接用除法计算，即一个数÷另一个数（单位“1”）=分率。 2. 已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几。 求一个数比另一个数多或少几分之几，口诀是（“作差除（以）比后”）。 3. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”属于最基础的分数除法应用题，常常使用以下两种方法解决： 1. 方程法。 ①找准单位“1”的量，设为x； ②找出题目中的等量关系； ③列出方程求解； ④检验作答。 2. 算术法。 单位“1”未知，用除法，分量÷分率=单位“1”。 ①找出单位“1”； ②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几（分率）； ③列出除法算式，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。 4. 已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数（分数连除应用题） 分数连除应用一般在题目中会有两个及以上单位“1”，且都未知，要求我们找准不同分量对应的分率，进而求得最终结果。 5. 分数乘除混合应用题。 解题关键是找出单位“1”，分清单位“1”是否已知，如果单位“1”已知，用分数乘法计算，如果单位“1”未知，用分数除法计算。 6. 分量和分率区分问题。 （1）求平均每份是多少，即总数÷份数=每份数量。 （2）求每份占几分之几，即把总数看作单位“1”，用单位“1”÷份数=几分之几。 7. 已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数。 已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用（分量÷（1+分率））=单位“1”。 8. 已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数。 已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用（分量÷（1－分率））=单位“1”。 9. 已知两个量的和或差，其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量（分数除法中的和差倍问题）。 (1)设其中一个未知量为x，用含有x的式子表示另一个未知量； (2)根据“一个数±另一个数=和(差)”列出方程； (3)求出x的值，并根据两个数的倍数关系求出另一个数。 【知识点七】量率对应问题 1. 分数除法应用题从解题形式上来看，一般使用两种方法解决问题。 一种是方程法，即分析已知条件，找出等量关系式，再设未知数列方程解决问题，但列方程解决分数应用题较为抽象，不易为大多数同学理解，而且步骤相对较多，容易出错；有鉴于此，我们常常采用另外一种方法，即算术法，本篇内容介绍使用量率对应法列算式解决分数除法应用题。 2. 量率对应问题。 由于分数乘法应用题的学习，我们对分量、分率、单位“1”等概念已经有了充分的认识。在分数乘法应用题中，我们已知单位“1”，使用乘法计算，而在分数除法应用题中，我们未知单位“1”，使用除法计算，其中量率对应原则便是使用算术方法解决分数除法应用题的核心，首先要明确分量和分率各自的含义，其次要分析分量和分率是否一一对应，最后用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【知识点八】单位“1”转化问题 1. 关于单位“1”转化问题。 单位“1”作为一个抽象表示概念，在分数问题中作为基准量，如果出现动态变化时，是不能够直接使用量率对应法解决问题的，这时候，就需要根据条件动态调整单位“1”，确保分量与分率严格对应，这样的一类需要动态调整单位“1”的问题，我们把它叫做单位“1”转化问题。 2. 解题方法。 单位“1”转化问题，本质上是在量率对应问题的进基础上调整了单位“1”，因此，在分析分率条件时，比较抽象，难以理解，但是核心解题思路仍然是量率对应法，在实际解决问题时，可以多采用数形结合的方式进行理解，另外，注意抓取关键词，以作为区别普通量率对应问题的特征。 【预测考点01】倒数的认识 ( )与1互为倒数，0.4的倒数是( )，（a不等于0）的倒数是( )。 【答案】 /0.625 /2.5/ 【分析】带分数求倒数需先化为假分数，再把分子、分母互换位置，据此解答第一空； 求小数的倒数，先把小数化成分数，再把分子、分母互换位置，据此解答第二空； 先计算出＝，再把分子、分母互换位置，据此解答第三空。 【详解】＝，的倒数是，所以与1互为倒数； 0.4＝，的倒数是，所以0.4的倒数是； ＝，的倒数是，所以的倒数是。 【对应练习】 1．0.25的倒数是( )，的倒数是( )，与( )互为倒数。 【答案】 4 【分析】对于真分数和假分数，直接交换分子和分母的位置，得到的新分数就是原分数的倒数。先把小数转化为分数，带分数转化为假分数。然后调换分子与分母的位置即可。 【详解】0.25＝ 的倒数就是分子分母互换位置后的数，即，也就是4。 它的倒数就是分子分母互换位置后的。 的倒数是分子分母互换位置后的。 0.25的倒数是4，的倒数是，与互为倒数。 2．的倒数是( )，3的倒数是( )，0.6与( )互为倒数，( )的倒数是。 【答案】 //1.4 / /0.8 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，将小数0.6化成真分数，带分数化成假分数，交换真分数、假分数分子和分母的位置，即可得到它的倒数；整数的倒数是这个整数分之一。 【详解】0.6＝ ＝ 的倒数是，3的倒数是，0.6与互为倒数，的倒数是。 【预测考点02】分数除法基础计算（口算） 直接写得数。 （1）    （2）1.02－0.6＝    （3）240÷0.6＝    （4）    （5） （6）     （7）    （8）    （9）0.25×17×4＝    （10） 【答案】（1）；（2）0.42；（3）400；（4）；（5）； （6）8；（7）；（8）；（9）17；（10）25 【详解】略 【对应练习】 1．直接写得数。 3.6＋4.4＝                   0.72÷0.8＝                    1－0.02＝          3.6÷1.2＝        0.125×40＝                    【答案】8；；0.9；；； 0.98；3；5；； 【详解】略 2．直接写得数。 266＋34＝          0.65×2＝         3.3－0.16＝                                         20－7.5＋2.5＝                     【答案】300；1.3；3.14；16； 0；；15；； 【详解】略 【预测考点03】商与被除数的大小关系 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( ) ( ) ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＝ 【分析】（1）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； （2）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； （3）除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，将两个算式算出结果，再进行大小比较。 【详解】（1），则，，所以； （2），所以； （3）。 【对应练习】 1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 15×( )15        13÷( )13      ÷( )×4 【答案】 ＜ ＞ ＝ 【分析】根据积的变化规律，一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于这个数本身； 根据商的变化规律，一个数（0除外）除以一个小于1的数（0除外），商大于这个数本身； 根据分数除法的运算法则，除以一个分数等于乘这个分数的倒数。 【详解】＜1，所以15×＜15； ＜1，所以13÷＞13； 的倒数是4，将÷转化为×4，所以÷＝×4。 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ×( )     8÷( )8× 【答案】 ＞ ＞ ＝ 【分析】一个非0的数除以一个小于1的数，结果大于这个数；一个非0的数乘一个大于1的数，结果大于这个数；一个数除以一个非0的数等于乘这个数的倒数；据此解答。 【详解】因为＜1，所以÷＞； 因为＞1，所以×＞； 因为的倒数是，所以8÷＝8×。 【预测考点04】分数除法基本应用题 1．小萱在学校踢毽子比赛中踢了60个。她踢毽子的数量是小琳的。小琳踢了多少个？ 【答案】80个 【分析】把小琳踢毽子的数量看作单位“1”，小萱踢毽子的数量是小琳的，对应的是小萱踢毽子的数量60个，求单位“1”，用60÷解答。 【详解】60÷ ＝60× ＝80（个） 答：小琳踢了80个。 2．果园里有180棵龙眼树，比荔枝树的棵数少，果园里有荔枝树多少棵？ 【答案】270棵 【分析】由题意可知，把荔枝树的棵数看作单位“1”，龙眼树的棵数比荔枝树少，则龙眼树是荔枝树的（1－），已知比一个数多或少几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用具体数值除以对应分率。据此解答。 【详解】180÷（1－） ＝180÷ ＝180× ＝270（棵） 答：果园里有荔枝树270棵。 3．月星小学去年有64台计算机，今年比去年增加。今年有多少台计算机？ 【答案】88台 【分析】从“今年比去年增加”可知，以去年为单位“1”，今年是去年的（1＋）。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。用去年的台数×（1＋），即可求出今年的台数。据此解答。 【详解】64×（1＋） ＝64× ＝88（台） 答：今年有88台计算机。 【对应练习】 1．昆虫在飞行中振动翅膀的速度快于鸟类。蝗虫每秒能振动18次，是蜜蜂每秒振动次数的，蜜蜂每秒振动翅膀多少次？ 【答案】236次 【分析】由题意可知：蜜蜂每秒振动翅膀的次数是单位“1”，求蜜蜂每秒振动翅膀的次数，单位“1”未知用除法计算，已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。18次所对应的分率是，用18÷可求出蜜蜂每秒振动翅膀的次数。 【详解】18÷ ＝18× ＝236（次） 答：蜜蜂每秒振动翅膀236次。 2．果园里有144棵桃树，桃树的棵数是梨树的，苹果树的棵数是梨树的，苹果树有多少棵？ 【答案】210棵 【分析】将梨树的数量看作单位“1”，桃树的棵数是梨树的，梨树的数量等于（144÷），苹果树的棵数是梨树的，所以苹果树的数量等于梨树的数量乘，据此列式解答。 【详解】 （棵） 答：苹果树有210棵。 3．一个电动车厂三月份实际生产电动车4500辆，比原计划多生产。原计划生产电动车多少辆？ 【答案】3750辆 【分析】把原计划生产电动车的数量看作单位“1”，实际生产电动车的数量相当于原计划生产电动车的数量的（1＋），根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，用实际生产电动车的数量除以（1＋），即可求出原计划生产电动车多少辆。 【详解】4500÷（1＋） ＝4500÷ ＝4500× ＝3750（辆） 答：原计划生产电动车3750辆。 【点睛】此题主要考查分数除法的应用，掌握已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数的计算方法，从而解决问题。 【预测考点01】倒数的变式应用 若a、b互为倒数，则2024－3ab＝( )；若a没有倒数，b的倒数是它本身，则2024－3ab＝( )。 【答案】 2021 2024 【分析】若a、b互为倒数：根据倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为1，所以当a、b互为倒数时，ab＝1。然后代入（2024－3ab）即可解答。 因为0没有倒数，所以由a没有倒数可知a＝0，又因为1的倒数是它本身，所以由b的倒数是它本身可知b＝1，代入（2024－3ab）即可解答。 【详解】若a、b互为倒数：ab＝1。 2024－3ab＝2024－3×1＝2024－3＝2021 若a没有倒数，b的倒数是它本身：a＝0，b＝1。 2024－3ab＝2024－3×0×1＝2024－0＝2024 【对应练习】 1．、、均是不为0的自然数，且，、、这三个数相比较，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 【分析】假设，分别确定a、b、c的值，比较即可。 【详解】 则， ， ， 因为，即，所以最大的是，最小的是。 【点睛】关键是熟悉乘法各部分之间的关系，乘积是1的两个数互为倒数。 2．，( )最大，( )最小，( )等于( )。 【答案】 B A C D 【分析】设＝1，根据倒数的意义分别求出A、B、C、D，再比较大小即可。 【详解】设＝1，则A是的倒数，＝，所以A＝；B是的倒数，即B＝；＝1，C是1的倒数，所以C＝1；D＝1。＞1＞，所以B最大，A最小，C等于D（或D等于C）。 【点睛】解决此类题可根据倒数的意义用设数法解决。 【预测考点02】分数混合运算与简便计算 脱式计算。能简算的要简算。                                【答案】； ；7 【分析】，先把除法转化为乘法，即，观察发现，可以把转化成，即原式变为，然后利用乘法分配律逆运算计算。 ，先算括号内的减法，再算除法。 ，先算括号内的加减法，然后算括号外的除法。 ，先算括号内的乘法，再算括号内的减法，最后算除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝7 【对应练习】 1．脱式计算。能简算的要简算。 29.5×－×9.5                    －（－） ÷[（－）×]                （＋－）÷ 【答案】 ； 9；19 【分析】（1）根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，把29.5×－×9.5变成（29.5－9.5）×进行简算； （2）先根据减法的性质a－（b－c）＝a－b＋c，把－（－）变成－＋，然后交换“－”和“＋”的位置，把算式变成＋－进行简算； （3）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （4）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，把（＋－）×24变成×24＋×24－×24进行简算。 【详解】（1）29.5×－×9.5                          ＝（29.5－9.5）×               ＝20×                           ＝                              （2）－（－） ＝－＋    ＝＋－   ＝2－   ＝      （3）÷[（－）×] ＝÷[（－）×] ＝÷[×] ＝÷ ＝×10 ＝9 （4）（＋－）÷ ＝（＋－）×24 ＝×24＋×24－×24 ＝9＋20－10 ＝19 2．脱式计算。能简算的要简算。                         【答案】；31.4 49； 【分析】÷＋×，把除法换算成乘法，原式化为：×＋×，再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：（＋）×，再进行计算。 3.14×12.5×，根据乘法结合律，原式化为：3.14×（12.5×），再进行计算。 （＋）×15×17，根据乘法分配律，原式化为：×15×17＋×15×17，再进行计算。 ÷[－（1－0.7）]，先计算小括号里的减法，再计算中括号里的减法，最后计算括号外的除法。 【详解】÷＋× ＝×＋× ＝（＋）× ＝1× ＝ 3.14×12.5× ＝3.14×（12.5×） ＝3.14×10 ＝31.4 （＋）×15×17 ＝×15×17＋×15×17 ＝34＋15 ＝49 ÷[－（1－0.7）] ＝÷[－0.3] ＝÷[－] ＝÷[－] ＝÷ ＝×10 ＝ 【预测考点03】量率对应问题 明明看一本科普书，已经看了全书的，还有145页没有看，这本科普书一共有多少页？ 【答案】261页 【分析】把这本科普书的总页数看作单位 “1”，已经看了全书的，那么未看页数占全书的1－＝；已知未看页数是145页，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算；根据分数除法法则，除以一个分数等于乘它的倒数，最后计算出这本科普书的总页数。 【详解】145÷（1－） ＝145÷ ＝145× ＝261（页） 答：这本科普书一共有261页。 【对应练习】 1．花布和白布共长60米，花布的长度是白布的，白布长多少米？ 【答案】48米 【分析】从题意分析可得：白布的长度看作单位“1”，则画布的长度是，60米为花布与白布的数量和，60米对应的分率就应是（1＋）。根据单位“1”的量＝数量和÷分率和，列式即可。据此解答。 【详解】60÷（1＋） ＝60÷ ＝60× ＝48（米） 答：白布长48米。 2．一个打字员打一篇稿件。第一天打了总页数的，第二天打了总页数的，第二天比第一天多打6页。这篇稿件有多少页？（列方程解决问题） 【答案】132页 【分析】根据题意，设这篇稿件有页；已知第一天打了总页数的，即第一天打了页；已知第二天打了总页数的，即第二天打了页； 根据“第二天比第一天多打6页”可得出等量关系：第二天打的页数－第一天打的页数＝第二天比第一天多打的页数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设这篇稿件有页。 －＝6 －＝6 ＝6 ＝6÷ ＝6×22 ＝132 答：这篇稿件有132页。 【预测考点01】复杂的分数简便计算 计算。 （＋＋）÷（＋＋） 【答案】1.04 【分析】观察原式，可以先把两个括号中的数拆成自然数与分数的和，由于分母99＝333＝119，因此，可以产生公因数（1＋3＋9），这样拆分后，整数部分可以分别组合计算，分数部分也便于寻找规律，从而简化计算，据此解答。 【详解】（1＋3＋9）÷（1＋3＋9） ＝[（1＋3＋9）＋（＋＋）]÷[（1＋3＋9）＋（＋＋）] ＝[13＋×（1＋3＋9）]÷[13＋×（1＋3＋9）] ＝[13×（1＋）]÷[13×（1＋）] ＝（1＋）÷（1＋） ＝÷ ＝× ＝1.04 【点睛】能够把两个括号中的数拆成自然数与分数的和、熟练运用商不变的规律是解决本题关键。 【对应练习】 1．计算。 【答案】1 【分析】把带分数化成假分数，同时把除法转化成乘法，然后根据乘法分配律的逆运算，把算式转化为，先计算乘法，再计算加法即可。 【详解】 ＝ ＝1 2．计算。 （1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）根据运算顺序，先计算括号里的加法，再根据乘法交换律和结合律，把式子转化为计算，最后再根据乘法分配律，把式子转化为计算即可。 （2）先计算23.5÷和7.5÷0.375的商，再根据减法的性质，把式子转化为38－，接下来把分数化成小数，最后根据运算顺序进行计算即可。 【详解】（1） （2）38－[23.5÷－（6.3－）＋7.5÷0.375]× ＝38－[23.5×－（6.3－）＋20]× ＝38－（23.5×－（6.3－）＋20）× ＝38－ ＝38－ ＝38－ ＝38－ ＝38－ ＝38－ ＝38－ ＝ 【预测考点02】复杂的单位“1”转化问题 一本故事书，豆豆第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩63页没看。这本故事书共有多少页？ 【答案】126页 【分析】把这本故事书的总页数看作单位“1”，第一天看了全书的，那么第一天看完后，余下的分率为1－＝；第二天看了余下的，这里把余下的页数看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少用乘法计算； 用单位“1”（总页数）减去第一天、第二天看的分率，得到剩下页数的分率；已知剩下63页，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 【详解】（1－）× ＝× ＝ 1－－ ＝－ ＝ ＝ 63÷ ＝63×2 ＝126（页） 答：这本故事书共有126页。 【对应练习】 1．《弟子规》是依据孔子教诲编成的学童生活规范，形式为“三字一句”，核心思想是“儒家的孝悌仁爱”。学校举行“传经典·学国学”活动，小玲第一周背诵了总句数的，第二周背诵了余下的，还剩下192句没背，《弟子规》全文共有多少句？多少个字？ 【答案】360句；1080个 【分析】把《弟子规》全文的总句数看作单位“1”，第一周背诵了总句数的，则剩余；第二周背诵了余下的，则第二周背诵了总句数的；用单位“1”分别减去第一周和第二周背诵的，计算出还剩下总句数的几分之几没有背诵；根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算；最后根据“三字一句”，用总句数乘3，所得结果即为一共有多少个字。 【详解】 总句数： （句） 总字数：360×3＝1080（个） 答：《弟子规》全文共有360句，1080个字。 2．一本故事书，小华从第一页开始看起，第一天看了总页数的多3页，第二天看了余下的少4页，还剩122页没有看。这本故事书一共有多少页？ 【答案】240页 【分析】本题可进行倒推，从题意可知，第二天看了余下的少4页，说明剩下没有看的比余下的多4页，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用除法求出第一天看后余下的页数，同理第一天看了后余下的比总页数的少3页，用除法可求出这本故事书的总页数。 【详解】 ＝ ＝ ＝177（页） ＝ ＝ ＝240（页） 答：这本故事书一共有240页。 【预测考点03】工程问题 甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲、乙合作6小时完成了这项工作，如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时？ 【答案】18小时 【分析】分析题目，把工作总量看作单位“1”，用1除以甲、乙合作的小时数即可得到甲、乙合作1小时可以完成几分之几，再用1除以甲单独做需要的小时数即可得到甲每小时可以完成几分之几，再用甲每小时做的几分之几乘（1＋）即可求出合作时甲每小时可以完成几分之几；再用甲、乙合作1小时可以完成几分之几减去合作时甲每小时可以完成几分之几即可得到合作时乙1小时可以完成几分之几，再用合作时乙1小时可以完成几分之几除以（1＋）即可得到乙单独做每小时可以完成几分之几；最后用1除以乙单独做每小时可以完成几分之几即可解答。 【详解】1÷6＝ 1÷11＝ ×（1＋） ＝× ＝ －＝ ÷（1＋） ＝÷ ＝× ＝ 1÷＝＝18（时） 答：乙单独做需要18小时。 【对应练习】 1．修一条路，甲队单独修6天完成，乙队单独修9天完成。甲队先修2天后，剩下的由乙队单独来修，乙队还要修多少天修完这条路？ 【答案】6天 【分析】把这条路的工作总量看成单位“1”；甲队单独修6天完成，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，计算出甲队的工作效率为1÷6＝；乙队单独修9天完成，同理，乙队的工作效率为1÷9＝；已知甲队工作时间是2天，根据“工作总量＝工作效率×工作时间”计算出甲队先修的工作量为×2＝；用工作总量“1”减去甲队已经修了的计算出剩下的工作量；根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，用剩下的工作总量除以乙的工作效率即为还要修的天数。 【详解】1÷6＝ 1÷9＝ ×2＝ （1－）÷ ＝×9 ＝6（天） 答：乙队还要修6天修完这条路。 2．某游泳池有甲、乙两个进水管，一个丙排水管，单独开甲进水管放满游泳池需6个小时，单独开乙进水管放满游泳池需8个小时，单独开丙排水管排完满池的水需要12个小时。游泳池每天需要更换一部分水，先打开丙排水管排了3个小时水后，再同时开甲、乙两个进水管，几小时后游泳池水能满？ 【答案】小时 【分析】把注满游泳池的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙、丙各自的工作效率； 已知丙排水管工作3小时，根据“工作量＝工作效率×工作时间”计算出丙排水管3小时的排水量；然后同时开甲、乙两个进水管，那么此时注满游泳池还需要注入的水量就为（因为排了的水，要注满就需要补充这部分）；甲、乙、丙同时工作的合作工效是（＋－），根据“合作工时＝合作工作量÷合作工效”，求出注满游泳池需要的时间。 【详解】1÷6＝ 1÷8＝ 1÷12＝ ×3＝ ÷（＋－） ＝÷（＋－） ＝÷ ＝× ＝（小时） 答：小时后游泳池水能满。 一、填空题。 1．（2024·江西赣州·期末）1.2的倒数是( )；( )是的倒数；( )没有倒数。 【答案】 /0.6 0 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。将小数和带分数都化成假分数，交换假分数分子和分母的位置，即可得到它的倒数。 【详解】1.2＝、＝；0乘任何数都得0，得不出1。 1.2的倒数是；是的倒数；0没有倒数。 2．（2024·河南郑州·期末）如果x、y互为倒数，那么хy＋45＝( )。 【答案】46 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，据此解题。 【详解】如果x、y互为倒数，那么xy＝1，那么хy＋45＝1＋45＝46。 3．（2024·湖南湘西·期末）把米长的铁丝平均截成4段，每段是全长的( )，每段长( )米。 【答案】 【分析】把铁丝的长度看作单位“1”，平均截成4段，求每段是全长的几分之几，用1÷4解答；求每段长度，用铁丝的长度÷平均截的段数，即用÷4解答。 【详解】1÷4＝ ÷4 ＝× ＝（米） 把米长的铁丝平均截成4段，每段是全长的，每段长米。 4．（2024·河南焦作·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )     ÷1.5( )      105÷( )105× 【答案】 ＜ ＜ ＞ 【分析】小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上相同，百分位上的数大的那个数就大……据此解答第一空； 一个数（0除外）除以一个大于1的数，商小于原数；据此解答第二空； 一个数（0除外）除以一个小于1的数，商大于原数；一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于原数；据此解答第三空。 【详解】1.＝1.432432……，＝1.4343……，两个循环小数整数部分、十分位、百分位的数都相同，千分位上2小于4，所以1.＜ 因为1.5＞1，所以÷1.5＜ 因为＜1，所以105÷＞105，105×＜105，所以105÷＞105× 5．（2024·新疆阿克苏·期末）比4kg多是( )kg；( )kg的是6kg。 【答案】 6 24 【分析】求比4kg多是多少kg，先算4kg的：4×＝2（kg）。比4kg多2kg，把它们相加即可。 求多少kg的是6kg，已知一个数的是6kg，求这个数用除法，即用6除以即可。 【详解】4＋4× ＝4＋2 ＝6（kg） 6÷＝6×4＝24（kg） 比4kg多是6kg；24kg的是6kg。 6．（2024·山东济宁·期末）为了有更好的学习体验，老师准备了一些关于介绍博物馆的卡片，让同学们轮流看。乐乐已经看了卡片总数的，还剩28张卡片没有看。老师一共准备了( )张卡片，乐乐已经看了( )张。 【答案】 126 98 【分析】把卡片总数看作单位“1”，已知看了总数的，那么没看的占总数的（1－） ，又已知没看的数量是28张，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，先求出总数，再求已看的数量。 【详解】1－＝ 28÷＝28×＝126（张） 126×＝98（张） 老师一共准备了126张卡片，乐乐已经看了98张。 二、选择题。 7．（2024·甘肃临夏·期末）当a＞0时，下面的算式中，( )的得数最大。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数除法的运算法则：除以一个分数等于乘这个分数的倒数。然后比较算式中因数（除a外）的大小，因为a＞0，根据“一个正数乘的数越大，结果越大”，据此分析各选项即可。 【详解】A．， B．， C．， D．， 140＞120＞90＞84，即。所以的得数最大。 故答案为：C 8．（2024·山东济宁·期末）一项工程，甲队单独要8天完成，乙队单独要6天完成，甲队的工作效率比乙队慢( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，根据“工作量÷工作时间＝工作效率”，分别求出甲队、乙队的工作效率，再用乙的工作效率减去甲的工作效率，求出工作效率差，再除以乙的工作效率即可解答。 【详解】1÷8＝ 1÷6＝ （－）÷ ＝（－）×6 ＝×6 ＝ 所以甲队的工作效率比乙队慢。 故答案为：C 9．（2024·湖南湘西·期末）李红的体重比赵明的体重多，则赵明的体重比李红的体重少( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把赵明的体重看作单位“1”，因为李红的体重比赵明的体重多，那么李红的体重是（1＋）。赵明比李红少的体重是（1＋－1），少的比例是少的体重除以李红的体重，据此解答即可。 【详解】把赵明的体重看作单位“1”。 （1＋－1）÷（1＋） ＝÷ ＝× ＝ ＝ 赵明的体重比李红的体重少。 故答案为：C 10．（2024·山东济宁·期末）在千秋展厅，有唐三彩相关展品。唐三彩烧制技艺和广彩瓷烧制技艺都是国家级非物质文化遗产。广彩瓷的烧制温度大约是800摄氏度， ，唐三彩的烧制温度大约是多少摄氏度？解决这个问题列式为800÷（1－），那么横线上应该补充的条件是( )。 A．是唐三彩烧制温度的 B．比唐三彩的烧制温度高 C．比唐三彩的烧制温度低 D．唐三彩的烧制温度是广彩瓷烧制温度的 【答案】C 【分析】（1）把唐三彩的烧制温度看作单位“1”，广彩瓷的烧制温度是唐三彩烧制温度的，唐三彩的烧制温度＝广彩瓷的烧制温度÷； （2）把唐三彩的烧制温度看作单位“1”，广彩瓷的烧制温度比唐三彩的烧制温度高，唐三彩的烧制温度＝广彩瓷的烧制温度÷（1＋）； （3）把唐三彩的烧制温度看作单位“1”，广彩瓷的烧制温度比唐三彩的烧制温度低，唐三彩的烧制温度＝广彩瓷的烧制温度÷（1－）； （4）把广彩瓷的烧制温度看作单位“1”，唐三彩的烧制温度是广彩瓷烧制温度的，唐三彩的烧制温度＝广彩瓷的烧制温度×，据此解答。 【详解】A．800÷ ＝800×5 ＝4000（摄氏度） 所以，唐三彩的烧制温度大约是4000摄氏度。 B．800÷（1＋） ＝800÷ ＝800× ≈667（摄氏度） 所以，唐三彩的烧制温度大约是667摄氏度。 C．800÷（1－） ＝800÷ ＝800× ＝1000（摄氏度） 所以，唐三彩的烧制温度大约是1000摄氏度。 D．800×＝160（摄氏度） 所以，唐三彩的烧制温度大约是160摄氏度。 故答案为：C 三、计算题。 11．（2023·天津河东·期末）直接写结果。                                                            【答案】 ；；；0.9；2； 230；0；2.8；；5 【详解】略 12．（2024·湖南湘西·期末）计算下面各题，能简算的要简算。           12.5×2.5×32                                  【答案】7；1000；3； 8；23； 【分析】3.25－＋4.75－，根据带符号搬家，原式化为：3.25＋4.75－－，再根据加法结合律和减法性质，原式化为：（3.25＋4.75）－（＋），再进行计算。 12.5×2.5×32，把32化为8×4，原式化为：12.5×2.5×8×4，再根据乘法交换律，原式化为：12.5×8×2.5×4，再根据乘法结合律，原式化为：（12.5×8）×（2.5×4），再进行计算。 ，先计算小括号里的加法，再计算中括号里的乘法，最后计算括号外的除法。 ×2.3＋7.7×0.8，把分数化成小数，＝0.8，原式化为：0.8×2.3＋7.7×0.8，再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：0.8×（2.3＋7.7），再进行计算。 （－＋）×36，根据乘法分配律，原式化为：×36－×36＋×36，再进行计算。 4.7×＋5.3÷，把除法换算成乘法，原式化为：4.7×＋5.3×，再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：（4.7＋5.3）×，再进行计算。 【详解】3.25－＋4.75－ ＝3.25＋4.75－－ ＝（3.25＋4.75）－（＋） ＝8－1 ＝7 12.5×2.5×32 ＝12.5×2.5×8×4 ＝12.5×8×2.5×4 ＝（12.5×8）×（2.5×4） ＝100×10 ＝1000 ＝÷[（＋）×] ＝÷[×] ＝÷ ＝× ＝3 ×2.3＋7.7×0.8 ＝0.8×2.3＋7.7×0.8 ＝0.8×（2.3＋7.7） ＝0.8×10 ＝8 （－＋）×36 ＝×36－×36＋×36 ＝24－16＋15 ＝8＋15 ＝23 4.7×＋5.3÷ ＝4.7×＋5.3× ＝（4.7＋5.3）× ＝10× ＝ 13．（2024·重庆·期末）解方程。                                  【答案】； ； 【分析】，根据等式的性质1，在两边同时加即可解答。 ，根据等式的性质1，在两边同时减，，即，再根据等式性质2，两边同时除以2即可。 ，先计算方程右边，再根据等式的性质1，在两边同时加即可解答。 ，根据等式的性质1，在两边同时减和同时加0.25即可解答。 【详解】 解： 解： 解： 解： 四、解答题。 14．（2024·重庆秀山·期末）黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”。黄河从源头向东流经青海、四川、甘肃、宁夏、内蒙古、山西、陕西、河南、山东等9个省区，最终在山东省注入渤海。在各省份中黄河青海段最长，长度约是2000千米，占黄河总长度的，黄河全长约多少千米？ 【答案】5500千米 【分析】已知黄河青海段长约2000千米，占黄河总长度的，把黄河的总长度看作单位“1”，单位“1”未知，用黄河青海段的长度除以，求出黄河的总长度。 【详解】2000÷ ＝2000× ＝5500（千米） 答：黄河全长约5500千米。 15．（2024·甘肃临夏·期末）张大爷养了280只鹅，鹅的数量比鸭多，张大爷养了多少只鸭？ 【答案】200只 【分析】把鸭的数量看作单位“1”，鹅的数量是鸭的（1＋），对应的是鹅的数量，求出单位“1”，用鹅的数量÷（1＋），即可求出鸭的数量。 【详解】280÷（1＋） ＝280÷ ＝280× ＝200（只） 答：张大爷养了200只鸭。 16．（2024·山东济宁·期末）乐乐参观博物馆一、二层两个展厅一共用了120分钟，其中参观一层展厅的时间是参观二层展厅的，参观二层展厅用了多少分钟？ 【答案】75分钟 【分析】将参观二层展厅的时间看作单位“1”，总时间占参观二层时间的（1＋），总时间÷对应分率＝参观二层展厅的时间，据此列式解答。 【详解】120÷（1＋） ＝120÷ ＝120× ＝75（分钟） 答：参观二层展厅用了75分钟。 17．（2024·新疆阿克苏·期末）某水果店购进一批水果，第一天卖出总数的，第二天卖出240千克，还剩下240千克没有卖出。这个水果店一共购进多少千克水果？（列方程解答） 【答案】960千克 【分析】设这个水果店一共购进x千克水果；把购进水果的总重量看作单位“1”，第一天卖出总数的，则第一天卖出x千克；用购进水果的总重量－第一天卖出水果的重量－第二天卖出水果的重量＝剩下没卖出水果的重量，列方程：x－x－240＝240，解方程，即可解答。 【详解】解：设这个水果店一共购进x千克水果。 x－x－240＝240 x－240＝240 x＝240＋240 x＝480 x＝480÷ x＝480×2 x＝960 答：这个水果店一共购进960千克水果。 18．（2024·湖南永州·期末）一件工程甲单独做要12天完成，乙单独做要16天完成，甲乙先合作了4天，乙因有事退出，甲再接着做几天能完成任务的？ 【答案】1天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙各自的工作效率，两队的工作效率相加即是工作效率和； 甲乙先合作了4天，根据“合作工作总量＝工作效率和×合作时间”求出两队合作完成的工作量； 求乙因有事退出，甲再接着做几天能完成任务的，用减去两队合作完成的工作量，即是甲还需完成的工作量，根据“工作量÷工作效率＝工作时间”，求出甲需要的天数。 【详解】1÷12＝ 1÷16＝ （＋）×4 ＝（＋）×4 ＝×4 ＝ （－）÷ ＝（－）÷ ＝÷ ＝1（天） 答：甲再接着做1天能完成任务的。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$六上第三单元 分数除法 1.倒数的认识 2.分数除法 3.解决问题 分数除以整数 一个数除以分数 四则混合运算 （1）含义： （2）求法： 乘积是1的两个数互为倒数 A.求真分数，假分数的倒数 B.求整数的倒数 交换分子分母的位置 先把整数（0除外）看做分母是1的假分数 交换分子分母位置 D.特殊情况 1的倒数是1,0没有倒数 分数除以整数（0除外）等于分数乘以这个数的倒数 等于乘以这个数的倒数 与整数同 （1）已知一个数的几分之几是多少，求这个数 （2）已知比一个数多/少几分之几的数是多少，求这个数 （3）已知两个数的和（差）及这两个数的倍数关系，求这两个数 单位1=部分量÷分率 （4）工程问题 工作总量=工作效率x工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 部分量=单位1x分率 单位1=部分量÷（1±分率） 部分量=单位1x（1±分率） C.小数的倒数 先化成分数再求 第 1 页 共 17 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 17 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第三单元分数除法·单元复习篇【五大篇章】 问题层级 快速自检 基础层 1.倒数的认识与基本求法。 2.分数除法的基本计算与口算。 3.商与被除数的大小关系。 4.商与被除数的大小关系。 5.分数除法基本应用题。 进阶层 1.倒数的变式应用。 2.分数四则混合运算，并能熟练掌握分数混合运算应用题。 3.利用方程法解决分数除法应用题，利用量率对应法解决分数除法应 用题。 拓展层 1.涉及奥数思维的复杂分数除法简便计算，以及几种比较常见的简便 计算类型。 2.单位“1”转换问题的解题方法。 我的疑难问题 1. 2. 3. 第 3 页 共 17 页 【知识点一】倒数的认识 1. 倒数的定义。 乘积是（ ）的两个数互为倒数。 关键点提取： ①乘积是 1→互为倒数的两个数的乘积是 1。 ②两个数互为倒数→是两个数之间的关系，而不是一个或多个数。 ③互为倒数→指两个数是相互依存的，单独一个数不能称为倒数。 注意：判断两个数是否为倒数，就看它们的乘积是否为 1。 2. 倒数的描述方式。 第 4 页 共 17 页 在描述倒数的过程中，要说谁是谁的倒数或者谁和谁互为倒数，不能单独说一个数是倒数。 3. 求四种数的倒数。 （1）求真（假）分数的倒数：交换（ ）的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（0除外）看作分母是 1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置。 4. 一个数的倒数与它本身的大小关系。 真分数的倒数（ ）它本身；假分数的倒数（ ）它本身；整数(0、1除外)的倒 数都小于它本身。 5. 注意：1的倒数是（ ），（ ）没有倒数。 【知识点二】分数除以整数 1. 分数除以整数的意义。 一个分数除以整数表示把这个分数平均分成整数份，求每份是多少。 2. 分数除以整数的计算法则。 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的（ ）。 关键点提取： 分数除以整数(0 除外)的计算方法概括为“两变一不变”：除号变乘号，除数变为它的倒数， 被除数不变。 3. 注意。 （1）一个分数连续除以几个整数(0除外)，可以先转化为这个分数连续乘这几个整数的倒数， 再计算。 （2）带分数除以整数(0除外)，需要先把带分数转化为假分数，再按照分数除以整数的方法计 算。 【知识点三】一个数除以分数 1. 一个数除以分数的意义。 一个数除以分数表示一个数里面有几个另一个数。 2. 一个数除以分数的计算法则。 一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。 3. 推导：分数除法统一的计算法则。 第 5 页 共 17 页 除以一个不为 0的数，等于（ ），用字母表示为：a÷b=a× 1 b 。 注意：计算分数除法时，注意“两变一不变”，除数变成它的倒数；除号变成乘号；被除数不 变。 【知识点四】商与被除数的大小关系 1. 一个数(0除外)除以小于 1的数，商比原来的数（ ）。 2. 一个数(0除外)除以大于 1的数，商比原来的数（ ）。 3. 一个数(0除外)除以等于 1的数，商与原来的数（ ）。 【知识点五】分数混合运算 1. 分数连除的计算方法。 分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分的要约分。 2. 不含括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按照（ ）的顺序计算；如果 含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 3. 含有括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算（ ），再算 （ ）。 4. 整数的运算定律在分数混合运算中的运用。 在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算性质，使计算 简便。 【知识点六】分数除法的基本应用题 1. 求一个数是（占）另一个数的几分之几。 求一个数是（占）另一个数的几分之几，直接用除法计算，即一个数÷另一个数（单位“1”） =分率。 2. 已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几。 求一个数比另一个数多或少几分之几，口诀是（ ）。 3. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”属于最基础的分数除法应用题，常常使用以下两 种方法解决： 第 6 页 共 17 页 1. 方程法。 ①找准单位“1”的量，设为 x； ②找出题目中的等量关系； ③列出方程求解； ④检验作答。 2. 算术法。 单位“1”未知，用除法，分量÷分率=单位“1”。 ①找出单位“1”； ②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几（分率）； ③列出除法算式，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。 4. 已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数（分数连除应用题） 分数连除应用一般在题目中会有两个及以上单位“1”，且都未知，要求我们找准不同分量对 应的分率，进而求得最终结果。 5. 分数乘除混合应用题。 解题关键是找出单位“1”，分清单位“1”是否已知，如果单位“1”已知，用分数乘法计算， 如果单位“1”未知，用分数除法计算。 6. 分量和分率区分问题。 （1）求平均每份是多少，即总数÷份数=每份数量。 （2）求每份占几分之几，即把总数看作单位“1”，用单位“1”÷份数=几分之几。 7. 已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数。 已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用（ ）=单位“1”。 8. 已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数。 已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用（ ）=单位“1”。 9. 已知两个量的和或差，其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量（分数除法中的和 差倍问题）。 (1)设其中一个未知量为 x，用含有 x的式子表示另一个未知量； (2)根据“一个数±另一个数=和(差)”列出方程； (3)求出 x的值，并根据两个数的倍数关系求出另一个数。 第 7 页 共 17 页 【知识点七】量率对应问题 1. 分数除法应用题从解题形式上来看，一般使用两种方法解决问题。 一种是方程法，即分析已知条件，找出等量关系式，再设未知数列方程解决问题，但列方程解 决分数应用题较为抽象，不易为大多数同学理解，而且步骤相对较多，容易出错；有鉴于此， 我们常常采用另外一种方法，即算术法，本篇内容介绍使用量率对应法列算式解决分数除法应 用题。 2. 量率对应问题。 由于分数乘法应用题的学习，我们对分量、分率、单位“1”等概念已经有了充分的认识。在分 数乘法应用题中，我们已知单位“1”，使用乘法计算，而在分数除法应用题中，我们未知单位“1”， 使用除法计算，其中量率对应原则便是使用算术方法解决分数除法应用题的核心，首先要明确 分量和分率各自的含义，其次要分析分量和分率是否一一对应，最后用对应分量÷对应分率= 单位“1”。 【知识点八】单位“1”转化问题 1. 关于单位“1”转化问题。 单位“1”作为一个抽象表示概念，在分数问题中作为基准量，如果出现动态变化时，是不能 够直接使用量率对应法解决问题的，这时候，就需要根据条件动态调整单位“1”，确保分量 与分率严格对应，这样的一类需要动态调整单位“1”的问题，我们把它叫做单位“1”转化问 题。 2. 解题方法。 单位“1”转化问题，本质上是在量率对应问题的进基础上调整了单位“1”，因此，在分析分 率条件时，比较抽象，难以理解，但是核心解题思路仍然是量率对应法，在实际解决问题时， 可以多采用数形结合的方式进行理解，另外，注意抓取关键词，以作为区别普通量率对应问题 的特征。 第 8 页 共 17 页 【预测考点 01】倒数的认识 ( )与 1 35互为倒数，0.4的倒数是( )， 2 5 a （a不等于 0）的倒数是( )。 【对应练习】 1．0.25的倒数是( )， 32 4的倒数是( )， 7 9与( )互为倒数。 2． 57 的倒数是( )，3的倒数是( )，0.6与( )互为倒数，( )的 倒数是 11 4。 【预测考点 02】分数除法基础计算（口算） 直接写得数。 （1） 7 510   （2）1.02－0.6＝ （3）240÷0.6＝ （4） 4 4 9   （5） 5 5 41 9 11 9    （6） 36 4   （7） 71 1 6    （8） 8 16 9 15   （9）0.25×17×4＝ （10） 1 15 5 5 5     【对应练习】 1．直接写得数。 3.6＋4.4＝ 3 0.65 ＋ ＝ 0.72÷0.8＝ 1 12 5  ＝ 5 4 6 5  ＝ 1－0.02＝ 3.6÷1.2＝ 0.125×40＝ 13 3  ＝ 1 12 2 3 3    ＝ 2．直接写得数。 266＋34＝ 0.65×2＝ 3.3－0.16＝ 420 5   5 5 8 4   10 20 3    1 1 2 8   20－7.5＋2.5＝ 6 2 7   8 3 9 4   【预测考点 03】商与被除数的大小关系 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5 1÷ 6 3 ( ) 5 1×6 3 4 9 ( ) 4 2÷ 9 7 7 5÷ 10 2 ( ) 7 2×10 5 第 9 页 共 17 页 【对应练习】 1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 15× 35 ( )15 13÷ 2 3 ( )13 78 ÷ 1 4 ( ) 7 8 ×4 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5 2 9 3  ( ) 59 7 10 × 6 5 ( ) 7 10 8÷ 4 5 ( )8× 5 4 【预测考点 04】分数除法基本应用题 1．小萱在学校踢毽子比赛中踢了 60个。她踢毽子的数量是小琳的 3 4 。小琳踢了多少个？ 2．果园里有 180棵龙眼树，比荔枝树的棵数少 13，果园里有荔枝树多少棵？ 3．月星小学去年有 64台计算机，今年比去年增加 38。今年有多少台计算机？ 【对应练习】 1．昆虫在飞行中振动翅膀的速度快于鸟类。蝗虫每秒能振动 18次，是蜜蜂每秒振动次数的 9 118 ， 蜜蜂每秒振动翅膀多少次？ 2．果园里有 144棵桃树，桃树的棵数是梨树的 47 ，苹果树的棵数是梨树的 5 6 ，苹果树有多少 棵？ 第 10 页 共 17 页 3．一个电动车厂三月份实际生产电动车 4500辆，比原计划多生产 15。原计划生产电动车多少 辆？ 【预测考点 01】倒数的变式应用 若 a、b互为倒数，则 2024－3ab＝( )；若 a没有倒数，b的倒数是它本身，则 2024－ 3ab＝( )。 【对应练习】 1．a、b、c均是不为 0的自然数，且 6 5 1 5 6 5 a b c  ＝ ＝ ，a、b、c这三个数相比较，最大的是 ( )，最小的是( )。 2． 1 2 51 0 2 3 5 A B C D       ，( )最大，( )最小，( )等于( )。 【预测考点 02】分数混合运算与简便计算 脱式计算。能简算的要简算。 7 10 7 12 12 9 9    2 1 3 4 3 4 5 15              5 7 5 1 3 6 8 12 8         7 4 2 5 9 9 5 6        第 11 页 共 17 页 【对应练习】 1．脱式计算。能简算的要简算。 29.5× 340－ 3 40 ×9.5 19 13－（ 7 8 － 7 13） 9 10 ÷[（ 5 6 － 2 3 ）× 35 ] （ 3 8＋ 5 6 － 5 12）÷ 1 24 2．脱式计算。能简算的要简算。 5 5 4 6 9 6 9 5    43.14 12.5 5   2 1( ) 15 17 15 17    7 2[ (1 0.7)] 11 5    【预测考点 03】量率对应问题 明明看一本科普书，已经看了全书的 4 9 ，还有 145页没有看，这本科普书一共有多少页？ 第 12 页 共 17 页 【对应练习】 1．花布和白布共长 60米，花布的长度是白布的 14 ，白布长多少米？ 2．一个打字员打一篇稿件。第一天打了总页数的 511，第二天打了总页数的 1 2 ，第二天比第一 天多打 6页。这篇稿件有多少页？（列方程解决问题） 【预测考点 01】复杂的分数简便计算 计算。 （ 51 11 ＋ 13 99 ＋ 19 33 ）÷（ 11 11 ＋3 5 99 ＋ 59 33 ） 【对应练习】 1．计算。 2008 12008 2008 2009 2010  ＋ 第 13 页 共 17 页 2．计算。 （1） 9 47 49 1 2 7 252 13 49 47 3 3 13 49    ＋ ＋（ ＋ ） （2） 2 37 838 23.5 2 6.3 5 7.5 0.375 3 40 45          （ ）＋ 【预测考点 02】复杂的单位“1”转化问题 一本故事书，豆豆第一天看了全书的 1 4 ，第二天看了余下的 1 3，还剩 63页没看。这本故事书 共有多少页？ 【对应练习】 1．《弟子规》是依据孔子教诲编成的学童生活规范，形式为“三字一句”，核心思想是“儒家的 孝悌仁爱”。学校举行“传经典·学国学”活动，小玲第一周背诵了总句数的 15，第二周背诵了余 下的 1 3，还剩下 192句没背，《弟子规》全文共有多少句？多少个字？ 2．一本故事书，小华从第一页开始看起，第一天看了总页数的 14多 3页，第二天看了余下的 1 3 少 4页，还剩 122页没有看。这本故事书一共有多少页？ 第 14 页 共 17 页 【预测考点 03】工程问题 甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高 1 10 ，乙的工作效率 比单独做时提高 1 5，甲、乙合作 6小时完成了这项工作，如果甲单独做需要 11小时，那么乙 单独做需要几小时？ 【对应练习】 1．修一条路，甲队单独修 6天完成，乙队单独修 9天完成。甲队先修 2天后，剩下的由乙队 单独来修，乙队还要修多少天修完这条路？ 2．某游泳池有甲、乙两个进水管，一个丙排水管，单独开甲进水管放满游泳池需 6个小时， 单独开乙进水管放满游泳池需 8个小时，单独开丙排水管排完满池的水需要 12个小时。游泳 池每天需要更换一部分水，先打开丙排水管排了 3个小时水后，再同时开甲、乙两个进水管， 几小时后游泳池水能满？ 第 15 页 共 17 页 一、填空题。 1．（2024·江西赣州·期末）1.2的倒数是( )；( )是 213的倒数；( )没有 倒数。 2．（2024·河南郑州·期末）如果 x、y互为倒数，那么хy＋45＝( )。 3．（2024·湖南湘西·期末）把 45 米长的铁丝平均截成 4段，每段是全长的( )，每段长 ( )米。 4．（2024·河南焦作·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 1.432  ( )1.43  12 ÷1.5( ) 1 2 105÷ 2 3 ( )105× 2 3 5．（2024·新疆阿克苏·期末）比 4kg多 12 是( )kg；( )kg的 1 4是 6kg。 6．（2024·山东济宁·期末）为了有更好的学习体验，老师准备了一些关于介绍博物馆的卡片， 让同学们轮流看。乐乐已经看了卡片总数的 7 9，还剩 28张卡片没有看。老师一共准备了 ( )张卡片，乐乐已经看了( )张。 二、选择题。 7．（2024·甘肃临夏·期末）当 a＞0时，下面的算式中，( )的得数最大。 A． 7 8 a  B． 67 a C． 3 4 a  D． 45 a 8．（2024·山东济宁·期末）一项工程，甲队单独要 8天完成，乙队单独要 6天完成，甲队的 工作效率比乙队慢( )。 A． 12 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 5 9．（2024·湖南湘西·期末）李红的体重比赵明的体重多 1 6 ，则赵明的体重比李红的体重少 ( )。 A． 15 B． 1 6 C． 1 7 D． 1 8 10．（2024·山东济宁·期末）在千秋展厅，有唐三彩相关展品。唐三彩烧制技艺和广彩瓷烧制 技艺都是国家级非物质文化遗产。广彩瓷的烧制温度大约是 800摄氏度， ，唐三彩的烧制温 度大约是多少摄氏度？解决这个问题列式为 800÷（1－ 15），那么横线上应该补充的条件是 第 16 页 共 17 页 ( )。 A．是唐三彩烧制温度的 15 B．比唐三彩的烧制温度高 1 5 C．比唐三彩的烧制温度低 15 D．唐三彩的烧制温度是广彩瓷烧制温度的 1 5 三、计算题。 11．（2023·天津河东·期末）直接写结果。 5 4 8 5   21 5   3 2 7 7   13.6 4   1 1 2 4   23 0.1  5 0 6   3.4 0.6  2 1 3 9   52 4 8    12．（2024·湖南湘西·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 7 23.25 4.75 9 9    12.5×2.5×32 4 1 2 4 5 3 5 11          4 2.3 7.7 0.8 5  2 4 5 36 3 9 12        7 154.7 5.3 15 7   13．（2024·重庆·期末）解方程。 2 1 5 2 x   3 2 1 7 x  7 31 0.9 5 5 x    2 10.25 1 3 3 x    第 17 页 共 17 页 四、解答题。 14．（2024·重庆秀山·期末）黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”。黄河 从源头向东流经青海、四川、甘肃、宁夏、内蒙古、山西、陕西、河南、山东等 9个省区，最 终在山东省注入渤海。在各省份中黄河青海段最长，长度约是 2000千米，占黄河总长度的 411， 黄河全长约多少千米？ 15．（2024·甘肃临夏·期末）张大爷养了 280只鹅，鹅的数量比鸭多 25 ，张大爷养了多少只鸭？ 16．（2024·山东济宁·期末）乐乐参观博物馆一、二层两个展厅一共用了 120分钟，其中参观 一层展厅的时间是参观二层展厅的 3 5，参观二层展厅用了多少分钟？ 17．（2024·新疆阿克苏·期末）某水果店购进一批水果，第一天卖出总数的 12 ，第二天卖出 240 千克，还剩下 240千克没有卖出。这个水果店一共购进多少千克水果？（列方程解答） 18．（2024·湖南永州·期末）一件工程甲单独做要 12天完成，乙单独做要 16天完成，甲乙先 合作了 4天，乙因有事退出，甲再接着做几天能完成任务的 2 3 ？ 第 1 页 共 40 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 40 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第三单元分数除法·单元复习篇【五大篇章】 问题层级 快速自检 基础层 1.倒数的认识与基本求法。 2.分数除法的基本计算与口算。 3.商与被除数的大小关系。 4.商与被除数的大小关系。 5.分数除法基本应用题。 进阶层 1.倒数的变式应用。 2.分数四则混合运算，并能熟练掌握分数混合运算应用题。 3.利用方程法解决分数除法应用题，利用量率对应法解决分数除法应 用题。 拓展层 1.涉及奥数思维的复杂分数除法简便计算，以及几种比较常见的简便 计算类型。 2.单位“1”转换问题的解题方法。 我的疑难问题 1. 2. 3. 第 3 页 共 40 页 【知识点一】倒数的认识 1. 倒数的定义。 乘积是（1）的两个数互为倒数。 关键点提取： ①乘积是 1→互为倒数的两个数的乘积是 1。 ②两个数互为倒数→是两个数之间的关系，而不是一个或多个数。 ③互为倒数→指两个数是相互依存的，单独一个数不能称为倒数。 注意：判断两个数是否为倒数，就看它们的乘积是否为 1。 2. 倒数的描述方式。 第 4 页 共 40 页 在描述倒数的过程中，要说谁是谁的倒数或者谁和谁互为倒数，不能单独说一个数是倒数。 3. 求四种数的倒数。 （1）求真（假）分数的倒数：交换（分子、分母）的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（0除外）看作分母是 1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置。 4. 一个数的倒数与它本身的大小关系。 真分数的倒数（大于）它本身；假分数的倒数（等于或小于）它本身；整数(0、1除外)的倒数 都小于它本身。 5. 注意：1的倒数是（1），（0）没有倒数。 【知识点二】分数除以整数 1. 分数除以整数的意义。 一个分数除以整数表示把这个分数平均分成整数份，求每份是多少。 2. 分数除以整数的计算法则。 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的（倒数）。 关键点提取： 分数除以整数(0 除外)的计算方法概括为“两变一不变”：除号变乘号，除数变为它的倒数， 被除数不变。 3. 注意。 （1）一个分数连续除以几个整数(0除外)，可以先转化为这个分数连续乘这几个整数的倒数， 再计算。 （2）带分数除以整数(0除外)，需要先把带分数转化为假分数，再按照分数除以整数的方法计 算。 【知识点三】一个数除以分数 1. 一个数除以分数的意义。 一个数除以分数表示一个数里面有几个另一个数。 2. 一个数除以分数的计算法则。 一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。 3. 推导：分数除法统一的计算法则。 第 5 页 共 40 页 除以一个不为 0的数，等于（乘这个数的倒数），用字母表示为：a÷b=a× 1 b 。 注意：计算分数除法时，注意“两变一不变”，除数变成它的倒数；除号变成乘号；被除数不 变。 【知识点四】商与被除数的大小关系 1. 一个数(0除外)除以小于 1的数，商比原来的数（大）。 2. 一个数(0除外)除以大于 1的数，商比原来的数（小）。 3. 一个数(0除外)除以等于 1的数，商与原来的数（相等）。 【知识点五】分数混合运算 1. 分数连除的计算方法。 分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分的要约分。 2. 不含括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按照（从左到右）的顺序计算；如果 含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 3. 含有括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算（小括号里面的），再算 （中括号里面的）。 4. 整数的运算定律在分数混合运算中的运用。 在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算性质，使计算 简便。 【知识点六】分数除法的基本应用题 1. 求一个数是（占）另一个数的几分之几。 求一个数是（占）另一个数的几分之几，直接用除法计算，即一个数÷另一个数（单位“1”） =分率。 2. 已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几。 求一个数比另一个数多或少几分之几，口诀是（“作差除（以）比后”）。 3. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”属于最基础的分数除法应用题，常常使用以下两 种方法解决： 第 6 页 共 40 页 1. 方程法。 ①找准单位“1”的量，设为 x； ②找出题目中的等量关系； ③列出方程求解； ④检验作答。 2. 算术法。 单位“1”未知，用除法，分量÷分率=单位“1”。 ①找出单位“1”； ②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几（分率）； ③列出除法算式，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。 4. 已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数（分数连除应用题） 分数连除应用一般在题目中会有两个及以上单位“1”，且都未知，要求我们找准不同分量对 应的分率，进而求得最终结果。 5. 分数乘除混合应用题。 解题关键是找出单位“1”，分清单位“1”是否已知，如果单位“1”已知，用分数乘法计算， 如果单位“1”未知，用分数除法计算。 6. 分量和分率区分问题。 （1）求平均每份是多少，即总数÷份数=每份数量。 （2）求每份占几分之几，即把总数看作单位“1”，用单位“1”÷份数=几分之几。 7. 已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数。 已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用（分量÷（1+分率））=单位“1”。 8. 已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数。 已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用（分量÷（1－分率））=单位“1”。 9. 已知两个量的和或差，其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量（分数除法中的和 差倍问题）。 (1)设其中一个未知量为 x，用含有 x的式子表示另一个未知量； (2)根据“一个数±另一个数=和(差)”列出方程； (3)求出 x的值，并根据两个数的倍数关系求出另一个数。 第 7 页 共 40 页 【知识点七】量率对应问题 1. 分数除法应用题从解题形式上来看，一般使用两种方法解决问题。 一种是方程法，即分析已知条件，找出等量关系式，再设未知数列方程解决问题，但列方程解 决分数应用题较为抽象，不易为大多数同学理解，而且步骤相对较多，容易出错；有鉴于此， 我们常常采用另外一种方法，即算术法，本篇内容介绍使用量率对应法列算式解决分数除法应 用题。 2. 量率对应问题。 由于分数乘法应用题的学习，我们对分量、分率、单位“1”等概念已经有了充分的认识。在分 数乘法应用题中，我们已知单位“1”，使用乘法计算，而在分数除法应用题中，我们未知单位“1”， 使用除法计算，其中量率对应原则便是使用算术方法解决分数除法应用题的核心，首先要明确 分量和分率各自的含义，其次要分析分量和分率是否一一对应，最后用对应分量÷对应分率= 单位“1”。 【知识点八】单位“1”转化问题 1. 关于单位“1”转化问题。 单位“1”作为一个抽象表示概念，在分数问题中作为基准量，如果出现动态变化时，是不能 够直接使用量率对应法解决问题的，这时候，就需要根据条件动态调整单位“1”，确保分量 与分率严格对应，这样的一类需要动态调整单位“1”的问题，我们把它叫做单位“1”转化问 题。 2. 解题方法。 单位“1”转化问题，本质上是在量率对应问题的进基础上调整了单位“1”，因此，在分析分 率条件时，比较抽象，难以理解，但是核心解题思路仍然是量率对应法，在实际解决问题时， 可以多采用数形结合的方式进行理解，另外，注意抓取关键词，以作为区别普通量率对应问题 的特征。 第 8 页 共 40 页 【预测考点 01】倒数的认识 ( )与 1 35互为倒数，0.4的倒数是( )， 2 5 a （a不等于 0）的倒数是( )。 【答案】 5 8 /0.625 5 2 /2.5/ 12 2 5 2a 【分析】带分数求倒数需先化为假分数，再把分子、分母互换位置，据此解答第一空； 求小数的倒数，先把小数化成分数，再把分子、分母互换位置，据此解答第二空； 先计算出 2 5 a ＝ 2 5 a ，再把分子、分母互换位置，据此解答第三空。 【详解】 31 5＝ 8 5， 8 5的倒数是 5 8 ，所以 5 8 与 1 35互为倒数； 0.4＝ 25 ， 2 5 的倒数是 5 2，所以 0.4的倒数是 5 2； 2 5 a ＝ 2 5 a ， 2 5 a 的倒数是 5 2a ，所以 2 5 a 的倒数是 5 2a 。 【对应练习】 1．0.25的倒数是( )， 32 4的倒数是( )， 7 9与( )互为倒数。 【答案】 4 411 9 7 【分析】对于真分数和假分数，直接交换分子和分母的位置，得到的新分数就是原分数的倒数。 先把小数转化为分数，带分数转化为假分数。然后调换分子与分母的位置即可。 【详解】0.25＝ 14 1 4 的倒数就是分子分母互换位置后的数，即 4 1 ，也就是 4。 3 112 4 4  它的倒数就是分子分母互换位置后的 4 11。 7 9的倒数是分子分母互换位置后的 9 7 。 0.25的倒数是 4， 32 4的倒数是 4 11， 7 9与 9 7 互为倒数。 第 9 页 共 40 页 2． 57 的倒数是( )，3的倒数是( )，0.6与( )互为倒数，( )的 倒数是 11 4。 【答案】 7 5 / 21 5 /1.4 1 3 5 3 / 21 3 4 5 /0.8 【分析】乘积是 1的两个数互为倒数，将小数 0.6化成真分数，带分数 114化成假分数，交换真 分数、假分数分子和分母的位置，即可得到它的倒数；整数的倒数是这个整数分之一。 【详解】0.6＝ 35 11 4＝ 5 4 5 7 的倒数是 7 5 ，3的倒数是 1 3，0.6与 5 3互为倒数， 4 5 的倒数是 11 4。 【预测考点 02】分数除法基础计算（口算） 直接写得数。 （1） 7 510   （2）1.02－0.6＝ （3）240÷0.6＝ （4） 4 4 9   （5） 5 5 41 9 11 9    （6） 36 4   （7） 71 1 6    （8） 8 16 9 15   （9）0.25×17×4＝ （10） 1 15 5 5 5     【答案】（1） 72；（2）0.42；（3）400；（4） 1 9 ；（5） 61 11 ； （6）8；（7） 1 7；（8） 5 6 ；（9）17；（10）25 【详解】略 【对应练习】 1．直接写得数。 3.6＋4.4＝ 3 0.65 ＋ ＝ 0.72÷0.8＝ 1 12 5  ＝ 5 4 6 5  ＝ 1－0.02＝ 3.6÷1.2＝ 0.125×40＝ 13 3  ＝ 1 12 2 3 3    ＝ 【答案】8；1.2；0.9； 310； 2 3 ； 0.98；3；5；9； 1 9 【详解】略 2．直接写得数。 第 10 页 共 40 页 266＋34＝ 0.65×2＝ 3.3－0.16＝ 420 5   5 5 8 4   10 20 3    1 1 2 8   20－7.5＋2.5＝ 6 2 7   8 3 9 4   【答案】300；1.3；3.14；16； 12 0； 38；15； 3 7 ； 2 3 【详解】略 【预测考点 03】商与被除数的大小关系 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5 1÷ 6 3 ( ) 5 1×6 3 4 9 ( ) 4 2÷ 9 7 7 5÷ 10 2 ( ) 7 2×10 5 【答案】 ＞ ＜ ＝ 【分析】（1）一个数（0除外）除以小于 1的数，商比原来的数大；一个数（0除外）乘小于 1的数，积比原来的数小； （2）一个数（0除外）除以小于 1的数，商比原来的数大； （3）除以一个不为 0的数，等于乘这个数的倒数，将两个算式算出结果，再进行大小比较。 【详解】（1） 1 13  ，则 5 1 5÷ 6 3 6  ， 5 1 5× 6 3 6  ，所以 5 1 5 1÷ 6 3 6 3   ； （2） 2 1 7  ，所以 4 4 2÷ 9 9 7  ； （3） 7 5 7 2÷ 10 2 10 5   。 【对应练习】 1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 15× 35 ( )15 13÷ 2 3 ( )13 78 ÷ 1 4 ( ) 7 8 ×4 【答案】 ＜ ＞ ＝ 【分析】根据积的变化规律，一个数（0除外）乘一个小于 1的数，积小于这个数本身； 根据商的变化规律，一个数（0除外）除以一个小于 1的数（0除外），商大于这个数本身； 根据分数除法的运算法则，除以一个分数等于乘这个分数的倒数。 【详解】 3 5＜1，所以 15× 3 5＜15； 2 3＜1，所以 13÷ 2 3＞13； 第 11 页 共 40 页 1 4的倒数是 4，将 7 8 ÷ 1 4转化为 7 8 ×4，所以 7 8 ÷ 1 4＝ 7 8 ×4。 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5 2 9 3  ( ) 59 7 10 × 6 5 ( ) 7 10 8÷ 4 5 ( )8× 5 4 【答案】 ＞ ＞ ＝ 【分析】一个非 0的数除以一个小于 1的数，结果大于这个数；一个非 0的数乘一个大于 1 的数，结果大于这个数；一个数除以一个非 0的数等于乘这个数的倒数；据此解答。 【详解】因为 2 3 ＜1，所以 59 ÷ 2 3 ＞ 5 9； 因为 6 5＞1，所以 7 10 × 6 5＞ 7 10； 因为 4 5 的倒数是 5 4，所以 8÷ 4 5 ＝8× 5 4。 【预测考点 04】分数除法基本应用题 1．小萱在学校踢毽子比赛中踢了 60个。她踢毽子的数量是小琳的 3 4 。小琳踢了多少个？ 【答案】80个 【分析】把小琳踢毽子的数量看作单位“1”，小萱踢毽子的数量是小琳的 3 4 ，对应的是小萱踢 毽子的数量 60个，求单位“1”，用 60÷ 3 4 解答。 【详解】60÷ 3 4 ＝60× 4 3 ＝80（个） 答：小琳踢了 80个。 2．果园里有 180棵龙眼树，比荔枝树的棵数少 13，果园里有荔枝树多少棵？ 【答案】270棵 【分析】由题意可知，把荔枝树的棵数看作单位“1”，龙眼树的棵数比荔枝树少 13，则龙眼树 是荔枝树的（1－ 13），已知比一个数多或少几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用具 体数值除以对应分率。据此解答。 【详解】180÷（1－ 13） 第 12 页 共 40 页 ＝180÷ 2 3 ＝180× 3 2 ＝270（棵） 答：果园里有荔枝树 270棵。 3．月星小学去年有 64台计算机，今年比去年增加 38。今年有多少台计算机？ 【答案】88台 【分析】从“今年比去年增加 38 ”可知，以去年为单位“1”，今年是去年的（1＋ 3 8）。根据求一 个数的几分之几是多少，用乘法计算。用去年的台数×（1＋ 38），即可求出今年的台数。据此 解答。 【详解】64×（1＋ 38） ＝64× 11 8 ＝88（台） 答：今年有 88台计算机。 【对应练习】 1．昆虫在飞行中振动翅膀的速度快于鸟类。蝗虫每秒能振动 18次，是蜜蜂每秒振动次数的 9 118 ， 蜜蜂每秒振动翅膀多少次？ 【答案】236次 【分析】由题意可知：蜜蜂每秒振动翅膀的次数是单位“1”，求蜜蜂每秒振动翅膀的次数，单 位“1”未知用除法计算，已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知 量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。18次所对应的分率是 9 118 ，用 18÷ 9 118 可求出蜜蜂每秒 振动翅膀的次数。 【详解】18÷ 9 118 ＝18×1189 ＝236（次） 答：蜜蜂每秒振动翅膀 236次。 第 13 页 共 40 页 2．果园里有 144棵桃树，桃树的棵数是梨树的 47 ，苹果树的棵数是梨树的 5 6 ，苹果树有多少 棵？ 【答案】210棵 【分析】将梨树的数量看作单位“1”，桃树的棵数是梨树的 47 ，梨树的数量等于（144÷ 4 7 ）， 苹果树的棵数是梨树的 5 6 ，所以苹果树的数量等于梨树的数量乘 5 6 ，据此列式解答。 【详解】 4 5144 7 6   7 5144 4 6    210 （棵） 答：苹果树有 210棵。 3．一个电动车厂三月份实际生产电动车 4500辆，比原计划多生产 15。原计划生产电动车多少 辆？ 【答案】3750辆 【分析】把原计划生产电动车的数量看作单位“1”，实际生产电动车的数量相当于原计划生产 电动车的数量的（1＋ 15），根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数， 用除法，用实际生产电动车的数量除以（1＋ 15），即可求出原计划生产电动车多少辆。 【详解】4500÷（1＋ 15） ＝4500÷ 65 ＝4500× 5 6 ＝3750（辆） 答：原计划生产电动车 3750辆。 【点睛】此题主要考查分数除法的应用，掌握已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数 的计算方法，从而解决问题。 【预测考点 01】倒数的变式应用 若 a、b互为倒数，则 2024－3ab＝( )；若 a没有倒数，b的倒数是它本身，则 2024－ 第 14 页 共 40 页 3ab＝( )。 【答案】 2021 2024 【分析】若 a、b互为倒数：根据倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为 1，所以当 a、b互 为倒数时，ab＝1。然后代入（2024－3ab）即可解答。 因为 0没有倒数，所以由 a没有倒数可知 a＝0，又因为 1的倒数是它本身，所以由 b的倒数 是它本身可知 b＝1，代入（2024－3ab）即可解答。 【详解】若 a、b互为倒数：ab＝1。 2024－3ab＝2024－3×1＝2024－3＝2021 若 a没有倒数，b的倒数是它本身：a＝0，b＝1。 2024－3ab＝2024－3×0×1＝2024－0＝2024 【对应练习】 1．a、b、c均是不为 0的自然数，且 6 5 1 5 6 5 a b c  ＝ ＝ ，a、b、c这三个数相比较，最大的是 ( )，最小的是( )。 【答案】 c a 【分析】假设 6 5 1 1 5 6 5 a b c  ＝ ＝ ＝ ，分别确定 a、b、c的值，比较即可。 【详解】 6 5 1 1 5 6 5 a b c  ＝ ＝ ＝ 则 6 1 5 a  ， 5 6 a  5 1 6 b ＝ ， 6 5 b  1 1 5 c ＝ ， 5c  因为 6 55 5 6 ＞ ＞ ，即 c b a  ，所以最大的是 c，最小的是 a。 【点睛】关键是熟悉乘法各部分之间的关系，乘积是 1的两个数互为倒数。 2． 1 2 51 0 2 3 5 A B C D       ，( )最大，( )最小，( )等于( )。 【答案】 B A C D 【分析】设 1 2 51 0 2 3 5 A B C D       ＝1，根据倒数的意义分别求出 A、B、C、D，再比较大 小即可。 【详解】设 1 2 51 0 2 3 5 A B C D       ＝1，则 A是 11 2的倒数， 11 2＝ 3 2 ，所以 A＝ 2 3 ；B是 2 3 的 第 15 页 共 40 页 倒数，即 B＝ 3 2 ； 5 5＝1，C是 1的倒数，所以 C＝1；D＝1。 3 2 ＞1＞ 2 3 ，所以 B最大，A最小， C等于 D（或 D等于 C）。 【点睛】解决此类题可根据倒数的意义用设数法解决。 【预测考点 02】分数混合运算与简便计算 脱式计算。能简算的要简算。 7 10 7 12 12 9 9    2 1 3 4 3 4 5 15              5 7 5 1 3 6 8 12 8         7 4 2 5 9 9 5 6        【答案】 7 12； 5 4 31 9 ；7 【分析】 7 10 7 12 12 9 9    ，先把除法转化为乘法，即 7 1 9 12  ，观察发现，可以把 7 1 9 12  转化成 1 7 9 12  ， 即原式变为 7 10 1 7 12 9 9 12    ，然后利用乘法分配律逆运算计算。 2 1 3 4 3 4 5 15              ，先算括号内的减法，再算除法。 5 7 5 1 3 6 8 12 8         ，先算括号内的加减法，然后算括号外的除法。 7 4 2 5 9 9 5 6        ，先算括号内的乘法，再算括号内的减法，最后算除法。 【详解】 7 10 7 12 12 9 9    ＝ 7 10 7 1 12 9 9 12    ＝ 7 10 1 7 12 9 9 12    ＝ 7 10 1 12 9 9       ＝ 7 1 12  ＝ 7 12 2 1 3 4 3 4 5 15              ＝ 8 3 9 4 12 12 15 15              ＝ 5 1 12 3  第 16 页 共 40 页 ＝ 5 3 12  ＝ 5 4 5 7 5 1 3 6 8 12 8         ＝ 20 21 10 1 3 24 24 24 8         ＝ 41 10 1 3 24 24 8        ＝ 31 1 3 24 8   ＝ 31 8 3 24   ＝ 31 3 3  ＝ 31 3 1 3  ＝ 31 9 7 4 2 5 9 9 5 6        ＝ 7 4 1 9 9 3       ＝ 7 4 3 9 9 9       ＝ 7 1 9 9  ＝ 7 9 9  ＝7 【对应练习】 1．脱式计算。能简算的要简算。 29.5× 340－ 3 40 ×9.5 19 13－（ 7 8 － 7 13） 9 10 ÷[（ 5 6 － 2 3 ）× 35 ] （ 3 8＋ 5 6 － 5 12）÷ 1 24 【答案】 3 2 ； 11 8 9；19 第 17 页 共 40 页 【分析】（1）根据乘法分配律 a×c＋b×c＝（a＋b）×c，把 29.5× 340－ 3 40 ×9.5变成（29.5－9.5） × 340进行简算； （2）先根据减法的性质 a－（b－c）＝a－b＋c，把1913－（ 7 8 － 7 13）变成 19 13－ 7 8 ＋ 7 13，然后交 换“－ 78 ”和“＋ 7 13 ”的位置，把算式变成 19 13＋ 7 13－ 7 8 进行简算； （3）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （4）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，把（ 38＋ 5 6 － 5 12）×24 变成 3 8 ×24＋ 5 6 ×24－ 5 12 ×24进行简算。 【详解】（1）29.5× 340－ 3 40 ×9.5 ＝（29.5－9.5）× 340 ＝20× 340 ＝ 3 2 （2）1913－（ 7 8 － 7 13） ＝ 19 13－ 7 8 ＋ 7 13 ＝ 19 13＋ 7 13－ 7 8 ＝2－ 78 ＝ 11 8 （3） 9 10 ÷[（ 5 6 － 2 3 ）× 35 ] ＝ 9 10 ÷[（ 5 6 － 4 6 ）× 3 5 ] ＝ 9 10 ÷[ 1 6 × 35 ] ＝ 9 10 ÷ 1 10 ＝ 9 10 ×10 ＝9 第 18 页 共 40 页 （4）（ 38＋ 5 6 － 5 12）÷ 1 24 ＝（ 3 8＋ 5 6 － 5 12）×24 ＝ 3 8 ×24＋ 5 6 ×24－ 5 12 ×24 ＝9＋20－10 ＝19 2．脱式计算。能简算的要简算。 5 5 4 6 9 6 9 5    43.14 12.5 5   2 1( ) 15 17 15 17    7 2[ (1 0.7)] 11 5    【答案】 6 5；31.4 49； 7011 【分析】 5 9 ÷ 5 6＋ 4 9 × 6 5 ，把除法换算成乘法，原式化为： 5 9 × 6 5 ＋ 4 9 × 6 5 ，再根据乘法分配律的 逆运算，原式化为：（ 5 9＋ 4 9 ）× 6 5 ，再进行计算。 3.14×12.5× 45 ，根据乘法结合律，原式化为：3.14×（12.5× 4 5），再进行计算。 （ 2 15＋ 1 17 ）×15×17，根据乘法分配律，原式化为： 215 ×15×17＋ 1 17 ×15×17，再进行计算。 7 11÷[ 2 5 －（1－0.7）]，先计算小括号里的减法，再计算中括号里的减法，最后计算括号外的除 法。 【详解】 5 9 ÷ 5 6＋ 4 9 × 6 5 ＝ 5 9 × 6 5 ＋ 4 9 × 6 5 ＝（ 5 9＋ 4 9 ）× 6 5 ＝1× 65 ＝ 6 5 3.14×12.5× 45 ＝3.14×（12.5× 45 ） 第 19 页 共 40 页 ＝3.14×10 ＝31.4 （ 2 15＋ 1 17 ）×15×17 ＝ 2 15 ×15×17＋ 1 17 ×15×17 ＝34＋15 ＝49 7 11÷[ 2 5 －（1－0.7）] ＝ 7 11÷[ 2 5 －0.3] ＝ 7 11÷[ 2 5 － 3 10 ] ＝ 7 11÷[ 4 10－ 3 10 ] ＝ 7 11÷ 1 10 ＝ 7 11×10 ＝ 70 11 【预测考点 03】量率对应问题 明明看一本科普书，已经看了全书的 4 9 ，还有 145页没有看，这本科普书一共有多少页？ 【答案】261页 【分析】把这本科普书的总页数看作单位 “1”，已经看了全书的 49 ，那么未看页数占全书的 1 － 4 9 ＝ 5 9；已知未看页数是 145页，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算； 根据分数除法法则，除以一个分数等于乘它的倒数，最后计算出这本科普书的总页数。 【详解】145÷（1－ 49 ） ＝145÷ 59 ＝145× 95 ＝261（页） 答：这本科普书一共有 261页。 第 20 页 共 40 页 【对应练习】 1．花布和白布共长 60米，花布的长度是白布的 14 ，白布长多少米？ 【答案】48米 【分析】从题意分析可得：白布的长度看作单位“1”，则画布的长度是 14，60米为花布与白布 的数量和，60米对应的分率就应是（1＋ 14）。根据单位“1”的量＝数量和÷分率和，列式即可。 据此解答。 【详解】60÷（1＋ 14） ＝60÷ 54 ＝60× 45 ＝48（米） 答：白布长 48米。 2．一个打字员打一篇稿件。第一天打了总页数的 511，第二天打了总页数的 1 2 ，第二天比第一 天多打 6页。这篇稿件有多少页？（列方程解决问题） 【答案】132页 【分析】根据题意，设这篇稿件有 x页；已知第一天打了总页数的 5 11，即第一天打了 5 11 x页； 已知第二天打了总页数的 1 2 ，即第二天打了 1 2 x页； 根据“第二天比第一天多打 6页”可得出等量关系：第二天打的页数－第一天打的页数＝第二天 比第一天多打的页数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设这篇稿件有 x页。 1 2 x－ 5 11 x＝6 11 22 x－ 10 22 x＝6 1 22 x＝6 x＝6÷ 122 x＝6×22 x＝132 第 21 页 共 40 页 答：这篇稿件有 132页。 【预测考点 01】复杂的分数简便计算 计算。 （ 51 11 ＋ 13 99 ＋ 19 33 ）÷（ 11 11 ＋3 5 99 ＋ 59 33 ） 【答案】1.04 【分析】观察原式，可以先把两个括号中的数拆成自然数与分数的和，由于分母 99＝333＝ 119，因此，可以产生公因数（1＋3＋9），这样拆分后，整数部分可以分别组合计算，分数 部分也便于寻找规律，从而简化计算，据此解答。 【详解】（1 511＋3 1 99＋9 1 33）÷（1 1 11 ＋3 5 99 ＋9 533） ＝[（1＋3＋9）＋（ 511＋ 1 99＋ 1 33）]÷[（1＋3＋9）＋（ 1 11 ＋ 5 99 ＋ 5 33）] ＝[13＋ 511×（1＋3＋9）]÷[13＋ 1 11 ×（1＋3＋9）] ＝[13×（1＋ 511）]÷[13×（1＋ 1 11 ）] ＝（1＋ 511）÷（1＋ 1 11 ） ＝ 104 99 ÷ 100 99 ＝ 104 99 × 99 100 ＝1.04 【点睛】能够把两个括号中的数拆成自然数与分数的和、熟练运用商不变的规律是解决本题关 键。 【对应练习】 1．计算。 2008 12008 2008 2009 2010  ＋ 【答案】1 【分析】把带分数化成假分数，同时把除法转化成乘法，然后根据乘法分配律的逆运算 第 22 页 共 40 页  a b a c a b c      ，把算式转化为   2009 12008 2008 2009 1 2010    ＋ ，先计算乘法，再计算加法即可。 【详解】 2008 12008 2008 2009 2010  ＋ 2008 2009 2008 12008 2009 2010     ＋ 2009 12008 2008 2009 2008 2010    ＝ ＋   2009 12008 2008 2009 1 2010     ＋ ＝ 2009 1 2010 2010 ＋ ＝1 2．计算。 （1） 9 47 49 1 2 7 252 13 49 47 3 3 13 49    ＋ ＋（ ＋ ） （2） 2 37 838 23.5 2 6.3 5 7.5 0.375 3 40 45          （ ）＋ 【答案】（1） 9449 ；（2） 1732 18 【分析】（1）根据运算顺序，先计算括号里的加法，再根据乘法交换律和结合律，把式子转 化为 9 47 47 1 47 252 13 49 49 3 39 49    ＋ （ ）＋ 计算，最后再根据乘法分配律，把式子转化为 47 9 2 25 49 13 3 39      ＋ ＋ 计算即可。 （2）先计算 23.5÷ 22 3 和 7.5÷0.375的商，再根据减法的性质，把式子转化为 38－ 141 37 86.3 5 20 16 40 45       ＋ ＋ ，接下来把分数化成小数，最后根据运算顺序进行计算即可。 【详解】（1） 9 47 49 1 2 7 252 13 49 47 3 3 13 49         ＋ ＋ ＋ 9 47 47 1 47 252 13 49 49 3 39 49    ＝ ＋ ＋ 9 47 47 1 47 252 13 49 49 3 39 49    ＝ ＋ （ ）＋ 47 9 2 25 49 13 3 39      ＝ ＋ ＋ 227 26 3 3 47 949 399 5     ＝ ＋ ＋ 3 53 39 47 25 49 9      ＝ ＋ 47 78 49 39 ＝ 第 23 页 共 40 页 94 49 ＝ （2）38－[23.5÷ 22 3 －（6.3－ 375 40 ）＋7.5÷0.375]× 845 ＝38－[23.5× 38－（6.3－ 375 40 ）＋20]× 845 ＝38－（23.5× 38－（6.3－ 375 40 ）＋20）× 845 ＝38－ 47 3 37 86.3 5 20 2 8 40 45        （ ）＋ ＝38－ 141 37 86.3 5 20 16 40 45       ＋ ＋ ＝38－   88.8125 6.3 5.925 20 45  ＋ ＋ ＝38－   82.5125 5.925 20 45 ＋ ＋ ＝38－   88.4375 20 45 ＋ ＝38－ 828.4375 45  ＝38－ 91 18 ＝ 1732 18 【预测考点 02】复杂的单位“1”转化问题 一本故事书，豆豆第一天看了全书的 1 4 ，第二天看了余下的 1 3，还剩 63页没看。这本故事书 共有多少页？ 【答案】126页 【分析】把这本故事书的总页数看作单位“1”，第一天看了全书的 14，那么第一天看完后，余 下的分率为 1－ 14＝ 3 4；第二天看了余下的 1 3，这里把余下的页数看作单位“1”，求一个数的几 分之几是多少用乘法计算； 用单位“1”（总页数）减去第一天、第二天看的分率，得到剩下页 数的分率；已知剩下 63页，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 【详解】（1－ 14）× 1 3 ＝ 3 4 × 1 3 ＝ 1 4 第 24 页 共 40 页 1－ 14－ 1 4 ＝ 3 4－ 1 4 ＝ 2 4 ＝ 1 2 63÷ 12 ＝63×2 ＝126（页） 答：这本故事书共有 126页。 【对应练习】 1．《弟子规》是依据孔子教诲编成的学童生活规范，形式为“三字一句”，核心思想是“儒家的 孝悌仁爱”。学校举行“传经典·学国学”活动，小玲第一周背诵了总句数的 15，第二周背诵了余 下的 1 3，还剩下 192句没背，《弟子规》全文共有多少句？多少个字？ 【答案】360句；1080个 【分析】把《弟子规》全文的总句数看作单位“1”，第一周背诵了总句数的 15，则剩余 1 41 5 5   ； 第二周背诵了余下的 1 3，则第二周背诵了总句数的 4 1 4 5 3 15   ；用单位“1”分别减去第一周和第二 周背诵的，计算出还剩下总句数的几分之几没有背诵；根据已知一个数的几分之几是多少，求 这个数，用除法计算；最后根据“三字一句”，用总句数乘 3，所得结果即为一共有多少个字。 【详解】 1 1 11 1 5 5 3         4 4 1 5 5 3    4 4 5 15   8 15  总句数： 8192 15  15192 8   360 （句） 第 25 页 共 40 页 总字数：360×3＝1080（个） 答：《弟子规》全文共有 360句，1080个字。 2．一本故事书，小华从第一页开始看起，第一天看了总页数的 14多 3页，第二天看了余下的 1 3 少 4页，还剩 122页没有看。这本故事书一共有多少页？ 【答案】240页 【分析】本题可进行倒推，从题意可知，第二天看了余下的 1 3少 4页，说明剩下没有看的比余 下的 11 3      多 4页，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用除法求出第 一天看后余下的页数，同理第一天看了后余下的比总页数的 11 4      少 3页，用除法可求出这本 故事书的总页数。 【详解】   1122 4 1 3        ＝ 2118 3  ＝ 3118 2  ＝177（页）   1177 3 1 4       ＋ ＝ 3180 4  ＝ 4180 3  ＝240（页） 答：这本故事书一共有 240页。 【预测考点 03】工程问题 甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高 1 10 ，乙的工作效率 比单独做时提高 1 5，甲、乙合作 6小时完成了这项工作，如果甲单独做需要 11小时，那么乙 单独做需要几小时？ 【答案】18小时 【分析】分析题目，把工作总量看作单位“1”，用 1除以甲、乙合作的小时数即可得到甲、乙 合作 1小时可以完成几分之几，再用 1除以甲单独做需要的小时数即可得到甲每小时可以完成 第 26 页 共 40 页 几分之几，再用甲每小时做的几分之几乘（1＋ 1 10 ）即可求出合作时甲每小时可以完成几分之 几；再用甲、乙合作 1小时可以完成几分之几减去合作时甲每小时可以完成几分之几即可得到 合作时乙 1小时可以完成几分之几，再用合作时乙 1小时可以完成几分之几除以（1＋ 15）即 可得到乙单独做每小时可以完成几分之几；最后用 1除以乙单独做每小时可以完成几分之几即 可解答。 【详解】1÷6＝ 1 6 1÷11＝ 1 11 1 11 ×（1＋ 1 10 ） ＝ 1 11 × 11 10 ＝ 1 10 1 6 － 1 10 ＝ 1 15 1 15 ÷（1＋ 15） ＝ 1 15 ÷ 65 ＝ 1 15 × 5 6 ＝ 1 18 1÷ 1 18 ＝1 18 ＝18（时） 答：乙单独做需要 18小时。 【对应练习】 1．修一条路，甲队单独修 6天完成，乙队单独修 9天完成。甲队先修 2天后，剩下的由乙队 单独来修，乙队还要修多少天修完这条路？ 【答案】6天 【分析】把这条路的工作总量看成单位“1”；甲队单独修 6天完成，根据“工作效率＝工作总量 ÷工作时间”，计算出甲队的工作效率为 1÷6＝ 16 ；乙队单独修 9天完成，同理，乙队的工作效 率为 1÷9＝ 19；已知甲队工作时间是 2天，根据“工作总量＝工作效率×工作时间”计算出甲队先 第 27 页 共 40 页 修的工作量为 1 6 ×2＝ 1 3；用工作总量“1”减去甲队已经修了的计算出剩下的工作量；根据“工作 时间＝工作总量÷工作效率”，用剩下的工作总量除以乙的工作效率即为还要修的天数。 【详解】1÷6＝ 16 1÷9＝ 19 1 6 ×2＝ 1 3 （1－ 13）÷ 1 9 ＝ 2 3 ×9 ＝6（天） 答：乙队还要修 6天修完这条路。 2．某游泳池有甲、乙两个进水管，一个丙排水管，单独开甲进水管放满游泳池需 6个小时， 单独开乙进水管放满游泳池需 8个小时，单独开丙排水管排完满池的水需要 12个小时。游泳 池每天需要更换一部分水，先打开丙排水管排了 3个小时水后，再同时开甲、乙两个进水管， 几小时后游泳池水能满？ 【答案】 6 5 小时 【分析】把注满游泳池的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别 求出甲、乙、丙各自的工作效率； 已知丙排水管工作 3小时，根据“工作量＝工作效率×工作时间”计算出丙排水管 3小时的排水 量；然后同时开甲、乙两个进水管，那么此时注满游泳池还需要注入的水量就为 1 4（因为排了 1 4的水，要注满就需要补充这部分）；甲、乙、丙同时工作的合作工效是（ 1 6 ＋ 1 8－ 1 12），根 据“合作工时＝合作工作量÷合作工效”，求出注满游泳池需要的时间。 【详解】1÷6＝ 16 1÷8＝ 18 1÷12＝ 1 12 1 12 ×3＝ 1 4 1 4 ÷（ 1 6 ＋ 1 8－ 1 12） 第 28 页 共 40 页 ＝ 1 4 ÷（ 4 24＋ 3 24－ 2 24） ＝ 1 4 ÷ 5 24 ＝ 1 4 × 24 5 ＝ 6 5 （小时） 答： 6 5 小时后游泳池水能满。 第 29 页 共 40 页 一、填空题。 1．（2024·江西赣州·期末）1.2的倒数是( )；( )是 213的倒数；( )没有 倒数。 【答案】 5 6 3 5 /0.6 0 【分析】乘积是 1的两个数互为倒数。将小数和带分数都化成假分数，交换假分数分子和分母 的位置，即可得到它的倒数。 【详解】1.2＝ 65、 21 3＝ 5 3；0乘任何数都得 0，得不出 1。 1.2的倒数是 5 6 ； 3 5是 21 3的倒数；0没有倒数。 2．（2024·河南郑州·期末）如果 x、y互为倒数，那么хy＋45＝( )。 【答案】46 【分析】乘积是 1的两个数互为倒数，据此解题。 【详解】如果 x、y互为倒数，那么 xy＝1，那么хy＋45＝1＋45＝46。 3．（2024·湖南湘西·期末）把 45 米长的铁丝平均截成 4段，每段是全长的( )，每段长 ( )米。 【答案】 1 4 1 5 【分析】把铁丝的长度看作单位“1”，平均截成 4段，求每段是全长的几分之几，用 1÷4解答； 求每段长度，用铁丝的长度÷平均截的段数，即用 45 ÷4解答。 【详解】1÷4＝ 14 4 5 ÷4 ＝ 4 5 × 1 4 ＝ 1 5（米） 把 4 5 米长的铁丝平均截成 4段，每段是全长的 1 4 ，每段长 1 5米。 4．（2024·河南焦作·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 第 30 页 共 40 页 1.432  ( )1.43  12 ÷1.5( ) 1 2 105÷ 2 3 ( )105× 2 3 【答案】 ＜ ＜ ＞ 【分析】小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相 同，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上相同，百分位上的数大的那个数就大……据 此解答第一空； 一个数（0除外）除以一个大于 1的数，商小于原数；据此解答第二空； 一个数（0除外）除以一个小于 1的数，商大于原数；一个数（0除外）乘一个小于 1的数， 积小于原数；据此解答第三空。 【详解】1. . .432＝1.432432……，1.43 ＝1.4343……，两个循环小数整数部分、十分位、百分位 的数都相同，千分位上 2小于 4，所以 1. . .432＜1.43  因为 1.5＞1，所以 12 ÷1.5＜ 1 2 因为 2 3 ＜1，所以 105÷ 2 3 ＞105，105× 2 3 ＜105，所以 105÷ 2 3 ＞105× 2 3 5．（2024·新疆阿克苏·期末）比 4kg多 12 是( )kg；( )kg的 1 4是 6kg。 【答案】 6 24 【分析】求比 4kg多 12 是多少 kg，先算 4kg的 1 2 ：4× 1 2 ＝2（kg）。比 4kg多 2kg，把它们相 加即可。 求多少 kg的 14 是 6kg，已知一个数的 1 4是 6kg，求这个数用除法，即用 6除以 1 4即可。 【详解】4＋4× 12 ＝4＋2 ＝6（kg） 6÷ 14＝6×4＝24（kg） 比 4kg多 12 是 6kg；24kg的 1 4 是 6kg。 6．（2024·山东济宁·期末）为了有更好的学习体验，老师准备了一些关于介绍博物馆的卡片， 让同学们轮流看。乐乐已经看了卡片总数的 7 9，还剩 28张卡片没有看。老师一共准备了 ( )张卡片，乐乐已经看了( )张。