第2章 圆与方程（复习课件）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

单元复习课件 第2章 圆与方程 苏教版2019选修第一册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能将生活中的实际问题抽象为圆与方程的数学模型，通过建立坐标系、确定圆的方程，结合位置关系判定等知识，解决实际问题，体会数学的应用价值。 3.针对两圆的位置关系，能求解两圆的公共弦方程、公共弦长，以及两圆的公切线方程。 2. 能将圆与方程的知识与函数、不等式、三角函数等知识结合，解决综合性问题，例如利用圆的几何性质求最值，培养数形结合与转化化归的思维。 单元学习目标 单元知识图谱 1.圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于 的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C______ 半径为___ 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C____________ 半径r＝_________________ 定长 (a，b) r 考点串讲 ＞ ＝ ＜ 考点串讲 3.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)   相离 相切 相交 图形       量化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0 几何观点 d r d r d r < ＝ > > ＝ < 考点串讲 位置关系 图形 d r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 外离 外切 相交 内切 内含 d与r1,r2的关系 d r1 r2 4.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 考点串讲 5.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝ . (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝ . 2 · 考点串讲 考点1 与圆有关的距离问题 例1 ［北京2024高考真题］圆的圆心到 的距离 为( ) D A. B.2 C.3 D. 【解析】圆的标准方程为, 圆心坐标为 ，因此圆心到直线的距离 , 故选D. 考点串讲 考点2 圆的方程 例2 ［全国2022高考真题］设点在直线上，点和均在 上，则 的方程为_____________________. 【解析】方法一： 点在直线上， 设点为， 又因为点和均在 上， 点到两点的距离相等且为半径， ， ，解得， ，，的方程为 . 方法二：不妨设,，则线段的垂直平分线方程为， 即 . 联立解得即圆心， 圆的半径为， 的方程为 . 考点串讲 考点3 直线与圆的位置关系 例3 ［全国新课标Ⅰ］过点与圆相切的两条 直线的夹角为 ，则 ( ) B A.1 B. C. D. 【解析】设圆为圆，化简得, 圆心为 ,半径 . 如图，设 ,则 , ,易知 ,则 ,所以 .故选B. 考点串讲 例4 ［全国新高考Ⅰ卷］写出与圆和 都相切的一条 直线的方程_______________________________________________________________. 或或（答对其中之一即可） 【解析】方法一：圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为 ，半径为4. 因为 ， 所以两圆外切，有3条公切线.当公切线斜率不存在时，公切线方程为； 当公切线斜率存在时，设公切线方程为，则解得或 所以公切线方程为或 . 综上，与两圆都相切的直线方程为或或 . 13 方法二：由图可得，两圆外切，且均与直线相切.过两圆圆心的直线的方程为,可得与 的交点 为 . 由切线定理得，两圆另一公切线过点，设，由点到直线的距离公式可得 , 解得,即 . 由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线与垂直，设 ，由点到直线的距离公式可得 ,解得或（舍），即 . 14 考点4 圆与圆的位置关系 例5 ［浙江2020高考真题改编］已知直线与圆和 圆 均相切，则___，______，圆与圆 的位置关系是 ______. 相离 【解析】由题意，圆心,到直线的距离均等于半径， 即， ，所以 ，所以（舍）或者 ， 解得或（舍）, . 由题知,,,, . 由知，圆与圆 相离. 考点串讲 1.求圆的方程的两种方法 直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 待定 系数法 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值 题型一：求圆的方程 题型剖析 2.确定圆心位置的三种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上. (3)当两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 3.通过求圆的方程，体现了数学运算与逻辑推理的核心素养. 题型剖析 例1　求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程. 方法一　设所求圆的方程为x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0， 再把λ代入所设方程，得x2＋y2＋2x－2y－11＝0， 故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0. 题型剖析 18 得两圆的交点为A(1，－2)和B(2，－1). 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 故所求圆的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0. 题型剖析 1.直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d>r，则直线与圆相离. (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离. 2.圆与圆的位置关系：一般利用圆心距与两半径的和、差的绝对值的大小关系来判断两圆的位置关系. 3.直线与圆、圆与圆的位置关系的转化，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养. 题型二：直线与圆、圆与圆的位置关系 题型剖析 例2　已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且AB＝ ，求直线l的方程. (1)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)， 即kx－y＋3－2k＝0.示意图如图所示，作MC⊥AB于点C. 又M(1,1)， 故直线l的方程为3x－4y＋6＝0. (2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2， 综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2. 题型剖析 21 1.求与圆有关的轨迹问题的四种方法 2.通过求圆的轨迹问题，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养. 题型三：轨迹问题 题型剖析 例3　如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM＝ 　PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程. 如图所示，以O1O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)，连接MO1，NO2，在Rt△PMO1中， 在Rt△PNO2中， 所以PM2＝2PN2， 所以(x＋2)2＋y2＋1＝2[(x－2)2＋y2]，整理得x2＋y2－12x＋3＝0， 即为所求点P的轨迹方程. 题型剖析 23 例4　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上. 题型四：利用数学式的几何意义解圆的最值问题 方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小. 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)， 即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2， 题型剖析 24 x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部， 所以点P与点E距离的最大值为P1E＝CE＋2， 点P与点E距离的最小值为P2E＝CE－2. (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； 所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51， 最小值为(5－2)2＋2＝11. 题型剖析 (3)求x＋y的最大值与最小值. 设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时， b取得最大值或最小值， 此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2， 题型剖析 26 1.［江苏连云港2025高二期末］以点为圆心，且与直线 相切的圆的方程 是( ) A A. B. C. D. 解析 因为点到直线的距离 ， 所以圆的半径为1，则圆的方程为 .故选A. 针对训练 27 2.［江苏南京六校2024高二期末］若直线与曲线 有两个交点，则实 数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 解析 直线过定点，曲线与轴负半轴交于点 ， 设直线与曲线（半圆）相切于点 ，如图所示. 若直线与曲线有两个交点，则 . ， 若与半圆（圆心，半径 ）相切， 则圆心到直线的距离满足，解得或 （舍），即 ，所以实数的取值范围为 .故选D. 针对训练 28 3.［江苏南京金陵中学2024高二期末］某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市 外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东 方向 处设立观测 点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过,,三点的圆为圆，规定圆 及其 内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐 标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西 方向行驶，则 ( ) BD A.观测点,之间的距离是 B.圆的方程为 C.小汽车行驶路线所在直线的方程为 D.小汽车会进入安全预警区 针对训练 29 解析 由题意，得,，则，即观测点, 之间的 距离是 ，故A错误； 设圆的方程为，因为圆经过,, 三点， 所以 解得 所以圆的方程为 ，故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是 ， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为 ，故C错误； 圆的标准方程为，圆心，半径 ， 圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确.故选 . 30 4.［江苏常州2025高二期中］在平面直角坐标系中，已知点，，点 为圆 上任意一点，记和的面积分别为和，则 的最小值是________. 解析 , 显然，当与圆相切且切点在 轴上方时，比值最小. 在中，， ， ，结合， 两点坐标， 易知 ， ， . 针对训练 31 5.［江苏盐城五校2024高二期末］已知圆过， 两点，且圆心在直线 上. （1）求圆 的方程； 【解】根据题意，设圆的圆心为，半径为 ，则有 解得 故圆的方程为 . （2）设点是直线上的动点，，是圆的两条切线，， 为切点，求四边形 面积的最小值. [答案] 根据题意，四边形 的面积 ， 而 ，当最小时，四边形 的面积最小， 而的最小值为点到直线 的距离，则 . 故的最小值为，因此四边形面积的最小值为 . 针对训练 32 感谢聆听! 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系． (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2______r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2______r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2______r2. 故圆心坐标为， 代入直线3x＋4y－1＝0，得λ＝－. 化为一般方程得x2＋y2－x＋y－＝0. 所以 解得 方法二　解方程组 因为A，B在圆上，且圆心在直线3x＋4y－1＝0上， 在Rt△MBC中，BC＝AB＝，MB＝2， 故MC＝＝1， 故由点到直线的距离公式得＝1， 解得k＝. 且AB＝2，所以符合题意. 2  PM2＝PO－1，  PN2＝PO－1. 又因为PM＝PN， 即PO－1＝2(PO－1)，即PO＋1＝2PO，  表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示， 可得＝2，解得k＝， 所以的最大值为，最小值为. (1)求的最大值和最小值； 又CE＝＝5， 所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2， $$