第02讲 集合间的基本关系（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第02讲 集合间的基本关系 【人教A版】 模块一 集合的子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 子集、真子集的确定】 【例1】（24-25高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 【变式1.2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【变式1.3】（25-26高一上·全国·课堂例题）写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ (1) (2) (3) 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式2.1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【变式2.2】（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 模块二 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3.1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式3.2】（24-25高一上·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【变式3.3】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【变式4.1】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式4.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）由a，，1组成的集合中有3个元素，该集合和由，，0组成的集合是同一个集合，求的值． 【变式4.3】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【变式5.1】（24-25高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5.3】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 模块三 集合间关系的性质 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型6 判断集合间的关系】 【例6】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【变式6.3】（24-25高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【题型7 根据集合的关系求参数】 【例7】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式7.2】（24-25高一上·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【变式7.3】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【题型8 集合关系中的新定义问题】 【例8】（24-25高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 【变式8.1】（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【变式8.2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 【变式8.3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．16 B．15 C．4 D．8 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若①；②；③中有且只有一个正确，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 5．（24-25高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）设，，，那么集合M，P，Q的关系是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知集合，，若，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 11．（24-25高一上·河南·阶段练习）若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（    ） A．3数集A有6个非空真子集 B．4数集B有6个2子集 C．若集合，则C的等和子集有2个 D．若集合，则D的等和子集有24个 三、填空题 12．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 13．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 14．（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2025高一·全国·专题练习）已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 17．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 18．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 19．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 集合间的基本关系 【人教A版】 模块一 集合的子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 子集、真子集的确定】 【例1】（24-25高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【解答过程】 ，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据题意，由条件可得集合有且只有一个元素，然后分与讨论，即可得到结果. 【解答过程】因为集合恰有1个真子集，则集合有且只有一个元素， 当时，即，则，符合题意； 当时，即，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得； 综上所述，或. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【解题思路】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 【变式1.3】（25-26高一上·全国·课堂例题）写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据子集和真子集的概念进行辨析. （2）根据子集和真子集的概念进行辨析. （3）根据子集和真子集的概念进行辨析. 【解答过程】（1）子集：，共2个；真子集：共1个. （2）子集：，，，共4个；真子集：，，共3个. （3）子集：，，，，，，，共8个； 真子集：，，，，，，共7个. 元素个数为n，则子集个数为，真子集个数. 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】根据集合的含义得到集合的元素，然后求非空子集个数即可 【解答过程】要使，，则，故B中含有三个元素， 所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 故选：C. 【变式2.1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【解题思路】根据集合对元素的要求，求得集合，即得其真子集个数. 【解答过程】由且可知，可以取，则可取， 即，故集合的真子集个数为. 故选：C. 【变式2.2】（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【解答过程】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【变式2.3】（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【解题思路】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【解答过程】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 模块二 集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【解答过程】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【变式3.1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，，，则； 对于B选项，，，则； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，，，则. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一上·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】A 【解题思路】化简集合，用列举法表示集合、，即可判断. 【解答过程】因为或 ， 又 或 或 ， 所以. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【解答过程】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可. 【解答过程】，， ，，即， ，当时，或， 当时，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 当时，，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，， ， ， 故选：B. 【变式4.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）由a，，1组成的集合中有3个元素，该集合和由，，0组成的集合是同一个集合，求的值． 【答案】1 【解题思路】由集合中元素的特点和相等集合的概念求出，然后求解即可. 【解答过程】由题意可得集合和集合为相等集合， 则由集合中元素的特点和相等集合的概念可得： 或， 结合互异性，联立解得： 所以． 【变式4.3】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【解答过程】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2. 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【解题思路】根据空集的定义进行判断可得答案. 【解答过程】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【解答过程】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 【变式5.2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【解答过程】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式5.3】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C. 模块三 集合间关系的性质 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型6 判断集合间的关系】 【例6】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【解答过程】， , ， 故， 故选：B. 【变式6.1】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先化简集合A,B,C，再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【解答过程】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高一下·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论． 【解答过程】（1）中唯一元素， 又， 所以； （2）， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， 所以； （3）是等腰三角形}，是等边三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； 所以. 【变式6.3】（24-25高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【答案】(1)无包含关系 (2) (3) (4) (5)A＝B 【解题思路】（1）由集合A和集合B的代表元素判断； （2）利用数轴求解判断； （3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断； （4）由n∈N*判断； （5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断. 【解答过程】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. （2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. （3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. （4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. （5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z， 因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z. 【题型7 根据集合的关系求参数】 【例7】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意，分和两种情况讨论即可. 【解答过程】因为， ①当时，，解得， ②当时，， 解得， 综上所述，的取值范围是为：. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高一上·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【答案】(1)5 (2) 【解题思路】（1）利用集合相等的条件求的值； （2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可. 【解答过程】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 【变式7.3】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可． （2）先化简集合，，再由，能求得的值． 【解答过程】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则， 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 【题型8 集合关系中的新定义问题】 【例8】（24-25高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 【答案】A 【解题思路】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得. 【解答过程】，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数. 所以集合. 所以真子集个数：个. 故选：A. 【变式8.1】（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【解题思路】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【解答过程】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 【答案】(1) (2)或或 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可； （3），，根据作差法得出，结合，即可证明． 【解答过程】（1）由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． （3）证明：，， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 【变式8.3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【答案】(1)； (2)①；②. 【解题思路】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【解答过程】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合A，B中元素的特征可判断各选项. 【解答过程】由题意知，集合， 因为，所以C、D不正确； “”用于表示元素与集合之间的关系，故B不正确 所以． 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 【答案】C 【解题思路】根据集合的性质，依次求出集合，即可求得答案. 【解答过程】由 又由，可得，即. 故的非空真子集的个数为. 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．16 B．15 C．4 D．8 【答案】A 【解题思路】根据题意先求集合，进而得集合元素个数，利用子集个数公式即可求解. 【解答过程】因为，， 所以或或或， 故， 即集合中含有4个元素，所以集合的子集个数为． 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若①；②；③中有且只有一个正确，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【解题思路】根据集合相等的定义分类讨论求解. 【解答过程】假设③对，则①②错，又，所以， 此时； 假设②对，则①③错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设①对，则②③错，所以， ，而，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立. 综上所述，. 故选：B. 5．（24-25高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【解答过程】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 7．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）设，，，那么集合M，P，Q的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先要理解集合的定义以及元素之间的关系.对于这三个集合，需要通过对集合中元素表达式的变形来分析它们之间的包含关系.我们将分别对三个集合中的表达式进行分析和转化，然后比较它们的关系. 【解答过程】先化简集合、、的表达式： 对于集合，已知，将其通分可得. 对于集合，已知，通分得到. 对于集合，已知，通分得到. 再分析集合和的关系：对于集合中的表达式， 我们可以进行变形：，这里. 这意味着对于任意的，表示的数和（）表示的数是一样的形式，都是的某个整数倍加. 所以集合和中的元素是相同的，即. 最后分析集合与（）的关系：对于集合中的表达式，. 这表明表示的是的偶数倍加，而集合（）中的素是的整数倍加. 所以集合中的元素都是集合（）中的元素，但集合（）中存在元素不属于集合， 综上，. 故选：C. 8．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解题思路】不妨设，则中其他元素包含2个1和2个，最多共有6个元素，又，，三组元素不正交，所以6个元素中最多只有3个元素在中，即可得到答案. 【解答过程】不妨设， 由，则中最多包含6个元素， 又，，三组元素不正交， 所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如， 若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据元素与集合、集合与集合间的关系逐项分析判断. 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，集合表示数集，集合表示点集，两者不相等，故B错误； 对于C，因为点与点不一定重合，所以两个集合不一定相等，故C错误； 对于D，空集是任意集合的子集，故D正确． 故选：AD． 10．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知集合，，若，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AC 【解题思路】分和两种情况讨论集合中的原式，即可求解. 【解答过程】当时，，满足条件， 当时，若，则，无解， 若，则，无解， 若，则，无解， 若，则，得， 综上可知，或，只有AC符合条件. 故选：AC. 11．（24-25高一上·河南·阶段练习）若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（    ） A．3数集A有6个非空真子集 B．4数集B有6个2子集 C．若集合，则C的等和子集有2个 D．若集合，则D的等和子集有24个 【答案】ABD 【解题思路】根据集合的新定义结合子集及真子集的性质分别判断各个选项即可. 【解答过程】3数集A有个非空真子集，A正确. 假设， 则B的2子集有，，，，，，共6个，B正确. C的等和子集有，，，共3个，C错误. 因为，，，所以在D中， 只有，两组符合条件的等式.在D的4子集中， D的等和子集有，，共2个； 在D的5子集中，D的等和子集有，，，，，，，共7个； 在D的6子集中，D的等和子集有，，，，，，，，，共9个； 在D的7子集中，D的等和子集有，，，，，共5个； 在D的8子集中，D的等和子集有，共1个. 综上，D的等和子集有个，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 【答案】 【解题思路】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【解答过程】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 13．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 【答案】6 【解题思路】用穷举法求出集合，再求集合B的非空真子集的个数即可. 【解答过程】由题意，当，或时，或； 当，或时，或； 当，或时，或； 综合以上可知，； 所以集合B的非空真子集的个数为， 故答案为：6. 14．（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【解答过程】因为， 由于， 所以可以分为三种情况： ①当为空集时，，解得； ②当不为空集时， 当时，， 此时，满足题意. 当时，，有韦达定理得 ，此时无解， 综上：故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高一·全国·专题练习）已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）首先求出集合，依题意可得，则和为方程的两根； （2）分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【解答过程】（1）因为， 若是的子集，则， 所以，解得. （2）若是的子集，则. ①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得. 将代入方程，得，解得，所以，符合要求； ③若为双元素集合，，则. 综上所述，或. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 【答案】(1)，，，，， (2) 【解题思路】（1）根据集合间的包含关系可直接写出符合题意的集合； （2）对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式即可求出的取值范围. 【解答过程】（1）当时，方程的根的判别式，所以． 又，故． 由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为,,,,,． （2）当时，是的一个子集， 此时对于方程，有，所以． 当时，因为，所以当时，，即， 此时，因为，所以不是的子集； 同理，当时，，也不是的子集； 当时，，也不是的子集． 综上，满足条件的的取值范围是． 17．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 18．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解题思路】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【解答过程】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 19．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 【答案】(1)不是，是，理由见解析 (2)证明过程见解析. (3)334， 【解题思路】（1）根据题目信息进行计算，得到不是，是； （2）利用反证法进行证明； （3）结合（2），得到尽可能小，取，得到答案. 【解答过程】（1）不是，是，理由如下： 中，令，则， 由于，故不是集合的“好子集”， 中，当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 综上：是集合的“好子集”； （2）假设原命题为假命题， 即若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有， 显然，且均为正整数， 当时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当时，则是两个奇数，或是两个偶数，此时为偶数， 故故能整除，所以不合要求， 故假设不成立， 又由（1）知，当时，满足是的“好子集”，且， 综上：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有 （3）由（2）知，集合的“好子集”所含两个不同的元素，满足， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3， 故可取，通过验证，此时满足不能整除， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为， . 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$