第六单元 分数混合运算 （解决问题讲义）数学西师大版六年级上册

第六单元 分数混合运算 1.求比一个数多（或少）几分之几的数是多少： ––单位“1”已知：单位“1”量×（1±几分之几）；单位“1”量±单位“1”量×几分之几 ––单位“1”未知：已知量÷（1±几分之几）； 2.找准单位“1”： –需要分步分析数量关系，找准每一步的单位“1”，要注意单位“1”是否发生了 变化 –技巧：可以通过画线段来辅助理解方法 3.优惠问题： –找准等量关系计算出不同方案的实际支付金额，最后比较不同方案的优劣 类型1 求比一个数多（或少）几分之几的数是多少（单位“1”已知） 典型例题1： 昆虫飞行时需要振动翅膀。蜜蜂每秒振动翅膀236次，蝗虫每秒振动翅膀的次数比蜜蜂少。蝗虫每秒振动翅膀多少次？ 思路分析： 方法1：已知蜜蜂每秒振动翅膀的次数为______；蝗虫每秒振动翅膀的次数比蜜蜂少，少的部分等于_____×_____；再用蜜蜂每秒振动的次数减去少的部分就是蝗虫每秒振动翅膀的次数。 方法2：由题意可知等量关系为蝗虫每秒振动的次数＝______×______；单位“1”已知，用乘法计算即可。 答题区： 变式训练： 1.冯阿姨的餐馆过去每天的厨余垃圾大约是100kg，实行“光盘行动”后，厨余垃圾大约减少了。现在这家餐馆每天的厨余垃圾大约是多少千克？ 类型2 已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数（单位“1”未知） 典型例题2： 在通常情况下，体积相等的冰和水，冰的质量比水的质量少。现有一块重9kg的冰，如果一桶水的体积和这块冰的体积相等，这桶水有多重？ 思路分析： 由题意可知等量关系为冰的质量＝______×______；方法1可以将水的质量设为x，根据等量关系可得方程________________________。方法2可以用分数除法进行计算。 答题区： 变式训练： 1.鸭的孵化期是28天，鸭的孵化期比鸡长，鸡的孵化期是多少天？ 2.普通列车的运行速度是120千米/时，它比磁悬浮列车慢。磁悬浮列车的速度是多少？ 类型3 “先用再用”应用题 典型例题3： 修路队修一条公路，第一天修了58米，第二天修了62米，已知这两天修的是总长的。这条公路全长多少米？ 思路分析： 计算两天共修：___ + ___ = ___米 已知两天修的是总长的，单位“1”未知，用___ ÷___ 计算即可。 答题区： 变式训练： 1.一本童话书，小胡第一周读了48页，第二周读了52页，剩下的页数占全书的。那么这本书一共多少页？ 2.超市运来了240箱酸奶，第一周卖出总数的，第二周卖出总数的，第一周比第二周多卖出多少箱？ 类型4 已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系，求这两个数 典型例题4： 武汉长江大桥全长约1670米，其中引桥的长度是正桥的。这座大桥的正桥和引桥的长度分别是多少米？ 思路分析： 由题意可知两个等量关系：正桥的长度＋引桥的长度＝______米；引桥的长度＝正桥长度×___；可设单位“1”正桥为x，则引桥长度为x；利用正桥的长度＋引桥的长度＝______米； 可列方程：_____________________；解答求得正桥长度，正桥长度×得出引桥长度。 答题区： 变式训练： 1.某空调厂去年企业生产空调117万台，其中上半年产量是下半年的，这个空调厂去年上半年和下半年的产量分别是多少万台？ 2.六（1）班和六（2）班的航空小组一共有45人，其中六（1）班小组的人数是六（2）班的。六（1）班和六（2）班的航空小组分别有多少人？ 类型5 选择优惠方案 典型例题5： 甲、乙、丙三个商店卖同一款饮品，每瓶5元，为增加销售量，各店推出优惠方案。 甲店：买5瓶送1瓶。乙店：按原价的出售。丙店：够满30元超过30元部分优惠。 如果要买18瓶饮料，在哪个商店购买划算些？ 思路分析： 根据各店不同的优惠方案求出买18瓶的实际金额，再进行比较。 甲店：根据买5瓶送1瓶可知每组一共___＋___＝___瓶；18瓶刚好是___组； 每组的价格为___×___＝___（元），每组价格×组数求得总价格。 乙店：先求原价为___×___＝___（元），再计算原价的是多少。 丙店：先计算整单共花 ___×___＝___（元），超过了30元，计算超出部分再×即可计算优惠了 ___元；再用原本要花的金额减去优惠金额即可。 最后进行比较选出最大的优惠。 答题区： 变式训练： 1.同学们为秋游做准备，要买54瓶饮料，每瓶3元。A商店的促销活动：按照原价的出售；B商店的促销活动：买5送1；C商店每满50元减6元。去哪家商店买最划算？ 2.儿童活动中心准备买60个足球，甲、乙两个商店足球的价格都是25元。甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送。乙店：按照原价的出售。到哪家购买较便宜？ A夯实基础 一、填空题 1.一批货物100吨，4小时运走了它的，剩下的要______小时才能运完。 2.一根绳子长5米，先用去它的，再用去米，还剩下 ______米。 3.黑棋子有60枚，黑棋子比白棋子多，一共有______ 枚棋子。 二、选择题 1.某校有男生400人，男生人数比女生多，女生有多少人？列式正确的是（ 　 ）。 A. 400×（1＋） B. 400÷（1＋） C. 400×（1－） D. 400÷（1－） 2.六（1）班有女生25人，比全年级人数少，根据条件可选择的问题是（ ）。 A. 六（1）班有多少人B. 全年级女生有多少人C.全年级有多少人 D. 六（1）班有男生多少人 3.一本故事书共有240页，小丽第一天看了全书的，第二天看了全书的，剩下（ ）页。 A. 100 B. 102 C. 104 D. 106 B培优拔高 1.李阿姨带了240元去一家商店买衣服，买一条裤子用去带的总钱数的，买一件上衣用去总钱数的，李阿姨还剩多少钱？ 2.鲜花坊有玫瑰花120枝，蔷薇花比玫瑰花多，玫瑰花比月季花少。蔷薇花跟月季花各多少枝？ 3.一条公路，修了全长的，离中点还有4km，这条公路全长是多少千米？ C思维拓展 1.东东过年的时候收到了一笔压岁钱，他计划用这笔钱的买运动鞋，用余下的买运动服，最后还剩下300元。这笔压岁钱有多少元？ 2.明明的哥哥即将升上大学，家里决定给哥哥购买一台新的笔记本电脑。一款原价为4000元的笔记本电脑在各店中都有优惠活动，A店按照原价的出售；B店购满2500元超出的部分优惠；C店每1000元返50元现金。在哪家店购买最划算呢？ 3.欣欣家用电器城同时出售两种电器，价格都按1800元卖出。其中一件比成本价低了，另一件比成本价高了。该商家售出这两件电器，共盈利或亏损多少元？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 思路分析：236；236×；236×（1－） 答题区： 方法1：236×＝218（次） 236－218＝18（次） 方法2：236×（1－）＝18（次） 变式训练答案： 方法1：100×＝20（kg） 100－20＝80（kg） 方法2：100×（1－）＝80（kg） 解析：方法1：先利用单位“1”×求得减少部分，再利用单位“1”减去减少的部分；方法2：由题意可得等量关系：现在的量＝过去的量×（1＋），代入计算即可。 类型2 答案解析 典型例题2： 思路分析：水的质量×（1－）；（1－）x＝9 答题区： 方法1：解：设这桶水重x kg。 （1－）x＝9 x＝9 x＝10 方法2：9÷（1－）＝10（kg） 变式训练答案： 1.方法1：解：设鸡的孵化期是x天。 （1＋）x＝28 x＝21 方法2：28÷（1＋）＝21（天） 解析：由题意可知等量关系：鸭的孵化期＝鸡的孵化期×（1＋）；设鸡的孵化期为x，可通过此关系列方程解答即可；也可通过关系式的变形利用分数除法求得结果。 2.方法1：解：设磁悬浮列车的速度为x千米/时。 （1－）x＝120 x＝430 方法2：120÷（1＋）＝430（千米/时） 解析：由题意可知等量关系：普通列车速度＝磁悬浮列车速度×（1＋）；设磁悬浮列车速度为x，通过此等量关系列方程解答即可；也可通过关系式的变形利用分数除法解答。 类型3 答案解析 典型例题3： 思路分析：58，62，120；120， 答题区： 58+62＝120（米） 120÷＝200（米） 变式训练答案： 1.48+52＝100（页） 100÷（1－） ＝100÷ ＝160（页） 解析：两周共读了48+52＝100（页），注意题目中剩下的页数占全部的，那么已读的占全部的（1－），单位“1”未知，用已读的页数÷（1－）计算即可。 2.方法1：240×（－） ＝240× ＝10（箱） 方法2：240×＝90（箱） 240×＝80（箱） 90－80＝10（箱） 解析：方法1中先计算第一周占总数的比第二周占总数的多几分之几，再利用总数×几分之几计算即可；方法2直接通过分数乘法得出第一周和第二周各自卖出的数量，再相减即可。 类型4 答案解析 典型例题4： 思路分析：1670，，1670，x＋x＝1670 答题区： 解：设正桥的长度为x米，则引桥的长度为x米。 x＋x＝1670 x＝1156 引桥：x＝×1156＝514（米） 变式训练答案： 1.解：设下半年产量为x万台，则上半年产量为x万台。 x＋x＝117 x＝65 上半年产量：x＝65×＝52（万台） 解析：设下半年产量x万台，根据题目中的“上半年产量是下半年产量”，那么上半年产量可设为x万台；利用等量关系“上半年产量＋下半年产量＝总产量”可列方程解出下半年的产量，再利用下半年产量×得出上半年产量。 2.解：设六（2）班航空小组有x人，则六（1）班航空小组有x人。 x＋x＝45 x＝27 六（1）班：27×＝18（人） 解析：设六（2）班航空小组有x人，根据题目中的“六（1）班小组的人数是六（2）班的”，那么六（1）班可设为x人；利用两班人数的和为45可列方程解出六（2）班的人数，再利用六（2）班人数×得出六（1）班人数。 类型5 答案解析 典型例题5： 思路分析：5，1，6，3；5，5；5，18；5，18，12 答题区： 甲店：18÷（5＋1）＝3（组）　　5×5×3＝75（元） 乙店：5×18×＝81（元） 丙店：5×18＝90（元）90＞30 （90－30）×＝12（元）90－12＝78（元） 81＞78＞75 答：甲店最优惠。 变式训练答案： 1.A商店：54×3×＝145.8（元） B商店：5＋1＝6（瓶）54÷6＝9（组）3×5×9＝135（元） C商店：54×3＝162（元）162÷50＝3（组）……12（瓶）162－3×6＝144（元） 135＜144＜145.8 答：去B商店买最划算。 解析：A商店按照原价的出售，即计算总价再×即可。B商店买5送1，也就是买5瓶能得6瓶，54瓶一共有9组，每组3×5＝15（元），再利用乘法计算即可。 C商店每满50元减6元，先计算总价中一共有3个50元，再用总价162减去3×6（优惠部分）得出最终价格。对三个商店的实际价格进行比较，得出最优惠方案。 2.甲店：60÷（10＋2）＝5（组）25×10×5＝1250（元） 乙店：25×60×＝1200（元） 1200＜1250 答：到乙店购买较便宜。 解析：甲店买10个足球免费赠送2个，也就是12个为一组，每组10×25＝250（元），60÷12＝5（组），实际共250×5＝1250（元）。乙店直接计算总金额×。比较价格得出优惠方案即可。 A夯实基础 一、填空题 1.答案：6 解析：它的即100×＝40（吨），4小时运了40吨，可求出每小时运40÷4＝10（吨）；剩下需要的时间（100－40）÷10。 2.答案：3 解析：先用去的部分可以用5×计算出结果为1米，第二次用去的部分直接是米，用5米连续减去用去的部分计算即可。 3.答案：110解析：等量关系“黑棋子数量＝白棋子数量×（1＋）”，单位“1”未知用除法计算出白棋子的数量，再加上黑棋子的数量就是全部的数量。 二、选择题 1.答案：B 解析：等量关系为男生人数＝女生人数×（1＋），变形即可得到答案。 2.答案：C 解析：根据等量关系：女生人数＝全年级人数×（1－）可求得全年级人数其余答案都是无从解答的。 3.答案：B 解析：第一天看的页数可以用240×计算，第二天看得可以用240×计算，剩下的用总数减去两次看的页数解答即可。 B培优拔高 1.答案： 方法1：240×＝80（元）240×＝120（元）240－80－120＝40（元） 方法2：240×（1－－） ＝240× ＝40（元） 解析：方法1：根据等量关系用分数乘法分别求出裤子以及上衣分别用去多少钱，再用总钱数减去裤子及上衣用去的钱数得到结果。方法2：用（1－－）得出剩下的钱占总钱数的几分之几，再用总钱数去乘即可。 2.答案： 蔷薇花：120×（1＋）＝144（枝） 月季花：120÷（1－）＝180（枝） 解析：蔷薇花的数量＝玫瑰花的数量×（1＋），将玫瑰花的数量代入计算即可。 玫瑰花的数量＝月季花的数量×（1－），将等量关系变形用分数除法计算即可。 3.答案：解：设这条公路全长是x千米。 x－x＝4 x＝4 x＝24 解析：本题题意可得等量关系：中点长度减去已修的长度等于4千米；根据此等量关系，可设全长为x，则已修可以用表示x，而中点长度可用x表示，根据等量关系可列出方程解答即可。 C思维拓展 1.答案：解：设这笔压岁钱有x元。 x－x－×（1－）x＝300 x－x＝300 x＝300 x＝750 解析：此题中选择列方程的方法解答是最容易理清的，根据题意可设压岁钱为x，那么运动鞋可以用表示x，余下的钱则为（1－）x；注意运动服的单位“1”发生了改变，可用×（1－）x表示，最终根据等量关系“总钱数减去运动鞋的钱数再减去运动服的钱数等于所剩的钱”列方程解答即可。 2.答案： A店：4000×＝3600（元） B店：4000－（4000－2500）×＝4000－300＝3700（元） C店：4000÷1000×50＝200（元）4000－200＝3800（元） 3600＜3700＜3800 答：A店购买最划算。 解析：A店的优惠方案是直接用总价×计算即可。B店先计算超出2500元的部分为1500元，用1500×得出优惠金额，再用原价减去优惠金额得出实际支付金额。C店中每1000返50元现金实际上就是每1000元减50元，先计算原价4000元中有4个1000元，用4×50得出优惠金额，再用原价减去优惠金额得出实际支付金额。 3.答案： 第一件电器成本价：1800÷（1－）＝2250（元） 第二件电器成本价：1800÷（1＋）＝1500（元） 2250＋1500＝3750（元）1800×2＝3600（元） 3750－3600＝150（元） 答：商家售出这两件电器是亏损的，亏损了150元。 解析：需要注意本题的两件电器的成本价是不同的，需要分别去计算成本价；两件电器的等量关系分别为：“第一件价格＝第一件成本价×（1－）”、“第二件价格＝第二件成本价×（1＋）”；根据等量关系变形可用分数除法分别算出两件电器的成本价为多少。两个电器成本价的和比1800×2大，可知是亏损的。 学科网（北京）股份有限公司 $$