第十三章 三角形学历案　2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

北京中学科技分校学历案 第十三章 三角形 考点及课标要求 中考/高考考点 核心素养 课标要求 识别等腰、等边、直角、锐角、钝角三角形 几何直观 了解三角形的概念，会按边、按角对三角形进行分类。 三线（高/中线/角平分线）画法与位置特征 空间观念 理解并会画三角形的边、顶点、角；理解中线、高、角平分线、重心、垂心、内心。 判断三条线段能否组成三角形 推理能力 探索并掌握三角形三边关系，能用代数方法求第三边取值范围。 内角和、外角定理求角度 推理能力 证明三角形内角和定理；掌握外角性质；理解直角三角形两锐角互余。 选择具有稳定性的结构 应用意识 通过实验感受三角形的稳定性，并能解释其在生活、工程中的应用。 知识体系构建 课时学历案 课题 13.1 三角形的概念 学习 目标 1.理解三角形的定义、基本元素及符号表示，能准确对三角形按角和边进行分类。 2.掌握等腰三角形、等边三角形的概念，区分其各部分名称，理解二者的包含关系。 3.通过观察、对比、归纳，经历从一般到特殊的认知过程，发展几何直观与逻辑推理能力，体会分类思想在数学研究中的作用。 学习 重点 掌握三角形及其相关概念． 学习 难点 能准确对三角形按角和边进行分类． 学 习 环 节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 三角形的定义 由 的三条线段 所组成的图形叫作三角形. 组成三角形的线段叫作三角形的 ，相邻两边的公共端点叫作三角形的 ， 相邻两边所组成的角叫作三角形的 ，简称三角形的 . 如右图： （1）线段 ， ， 是三角形的边； （2）点 ， ， 是三角形的顶点； （3） ， ， 是三角形的角. 探究 我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.如何按照边的关系对三角形进行分类呢?说一说你的想法，并与同学交流. 三边都不相等： ；两边相等： ；三边相等： . 等腰三角形的定义 的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作 ，另一边叫作 ，两腰的夹角叫作 ，腰和底边的夹角叫作 . 等边三角形的定义 的三角形叫作等边三角形， 等边三角形是特殊的等腰三角形. 三角形的分类 合作 展示 交流 解疑 例1 如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD=AD=DC=AC. (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以AB为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形. 例2 如图，在△ABC中，AB=BC=CA，点O在△ABC内，OA=OB=OC， 找出图中的等腰三角形和等边三角形. 质疑 深化 巩固 提升 1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（　 　） A． B． C． D． 2．有下列两种图示均表示三角形的分类，下列判断正确的是（　 　） A．图（1）对，图（2）不对 B．图（2）对，图（1）不对 C．图（1）、图（2）都不对 D．图（1）、图（2）都对 3.如图，在△ABC中，∠BAC是直角，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段BD上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 4.如图，写出以∠A为角的三角形，写出以BC为边的三角形. 5.图中有几个三角形?用符号表示这些三角形. 6．如图所示，图中有 　 　 个三角形，其中以AB为边的三角形为 　 　 ，含∠OCB的三角形为 　 　 ，在△BOC中，OC的对角是 　 　 ，∠OCB的对边是 　 　 ． 7．△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则这个三角形一定是（　 　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 8．一个三角形最小的一个内角是50°，则这个三角形的分类是（　 　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 收获 反思 归纳总结 检测 反馈 （2024•陕西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　 　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 课题 13.2.1 三角形的边 学习 目标 1.探索并掌握三角形的三边关系，能运用该关系判断三条线段能否组成三角形，或已知两边求第三边的取值范围. 2.通过实验操作，理解三角形稳定性的原理，能解释其在生活中的应用. 3.在探究过程中，经历观察、猜想、验证的数学活动，发展推理能力与几何直观，体会数学与生活的联系. 学习 重点 探索并掌握三角形的三边关系 学习 难点 能运用三角形的三边关系判断三条线段能否组成三角形，或已知两边求第三边的取值范围. 学 习 环 节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 1.填空 如右图： 线段 ， ， 是三角形的边； 点 ， ， 是三角形的顶点； ， ， 是三角形的角. 2.三角形的分类 如图： 探究 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择?各条线路的长有什么关系?这说明三角形的边之间有什么关系?能证明你的结论吗? 这样，我们就证明了， . 进一步,由不等式②③，移项可得 . 这就是说， . 思考 上面的结论表明了三角形三边之间的关系.反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形? 信息技术验证 几何画板. 探究 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗? 可以发现， ， 这就说， . 追问 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架结构，起重机的起重臂，钢架桥结构等，你能再举一些例子吗? 合作 展示 交流 解疑 例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 质疑 深化 巩固 提升 1. 下列长度的三条线段能否组成三角形?为什么? (1)3，4，8； (2)5，6，11； (3)5，6，10. 2.一根4 dm长的木条和两根1 dm长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根4 dm长的木条和一根1 dm长的木条呢? 3.三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是 . 4．如图，为了估计池塘两岸A，B的距离，琪琪在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝9米，OB＝6米，则A，B间的距离不可能是（　 　） A．3米 B．14米 C．5米 D．9米 5．如图是折叠凳及其侧面示意图．若AC＝BC＝19cm，则折叠凳的宽AB可能（　 　） A．27cm B．38cm C．55cm D．73cm 第4题图 第5题图 第7题图 6．若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　 　） A．c＞4 B．c＜12 C．4＜c＜12 D．4≤c≤12 7．在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：　 　 。 收获 反思 检测 反馈 1．（2024•淮安）用一根小木棒与两根长度分别为3 cm、5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　 　） A．9 cm B．7 cm C．2 cm D．1 cm 2．（2023•衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（　 　） A．1 cm，2 cm，3 cm B．3 cm，8 cm，5 cm C．4 cm，5 cm，10 cm D．4 cm，5 cm，6 cm 3．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（　 　） A．﹣5 B．4 C．7 D．8 4．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（　 　） A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 5．（2022•益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 课题 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 学习 目标 1.理解三角形中线、角平分线和高的定义，掌握其画法。 2.认识三角形重心的概念，理解不同类型三角形高的位置特点。 3.通过观察、操作和推理，体会三种线段在三角形中的作用，发展空间观念与数学思维。 学习 重点 理解三角形中线、角平分线和高的定义，掌握其画法. 学习 难点 理解不同类型三角形高的位置特点. 学 习 环 节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 （一）复习引入 1.三角形的两边之和 第三边；两边之差 第三边. 2.三角形具有 性. （二）合作探究 1.连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的 . 一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫作 . 2.画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的 . 三角形的三条角平分线相交于一点.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心. 3.从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的 ．三角形的高线简称 . 三角形的三条高线相交于一点.三角形三条高线的交点叫作三角形的垂心. 探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 合作 展示 交流 解疑 例1 如图，过△ABC的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高. 例2 填空题. （1）如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则BD= ， AE= ，AB=2 . （1）图 （2）图 （2）如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ， ∠3= ，∠ACB=2 . 质疑 深化 巩固 提升 1．如图，在周长为20 cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4 cm，AC＝7 cm，则AB的长为（　 　） A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm 2．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　 　 ． 第1题图 第2题图 3．如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　 　） A． B． C． D． 4．如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　 　） A．BA＝2BF B．∠ACE∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥AB 5.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高．填空： （1）BE= = ； （2）∠BAD= = ； （3）∠AFB= =90°. （4）若BC=8，AF=5，则S△ABC= ，S△ABE= . 第4题图 第5题图 第6题图 6.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 收获 反思 检测 反馈 1．（2024•凉山州）如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 　 　 ． 2．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　 　） A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线 第1题图 第2题图 3．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 　 　 ． 4．（泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　 　） A．点D B．点E C．点F D．点G 第3题图 第4题图 课题 13.3.1 三角形的内角(第一课时) 学习 目标 1.探索并证明三角形内角和定理. 2.能运用三角形内角和定理解决简单问题. 学习 重点 探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性. 学习 难点 如何添加辅助线证明三角形内角和定理. 学 习 环 节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 问题 在小学我们已经知道任意一个三角形的三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家借助手中的三角形纸片，回忆小学时的学习经历. 追问 运用以上方法获得的结论可靠吗？ 追问 要证明“三角形的内角和等于180°”，你能写出已知、求证吗？ 已知： 是△ABC的三个内角， 求证： . 讨论 你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？请写出并分享你的证明过程. 追问 通过前面的操作和证明过程，你能想出其他方法证明此定理吗？ 合作 展示 交流 解疑 例1 如图，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数. 例2 如图是ABC三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 质疑 深化 巩固 提升 1.如图，从A处观测C处时的仰角∠CAD = 30°，从B处观测C处时的仰角∠CBD = 45°. 则从C处观测A，B两处时的视角∠ACB = °. 第（1）题图 第（2）题图 2.如图，在△ABC中，∠A = 40°，则∠B+∠C+∠ADE+∠AED = °. 3.直接写出下列各图中∠1的度数. ∠1=　 　； ∠1=　 　； ∠1=　 　. 4.如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 5.如图是某模具厂的一种模具. 按规定，BA，CD的延长线的夹角应为61°，王师傅测得∠B = 42°，∠C = 79°，则可以判断该模具 （填“符合”或“不符合”）要求，理由是： . 6.如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点，则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是 . 第4题图 第5题图 第6题图 收获 反思 （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”？ （3）你是怎么找到三角形内角和定理的证明思路的？ 检测 反馈 1．（2024•长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　 　） A．50° B．60° C．70° D．80° 2．（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（　 　） A．65° B．75° C．85° D．95° 3．（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝　 　 °． 第1题图 第2题图 第3题图 4．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）． 问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝　 　 度． 课题 13.3.1 三角形的内角(第二课时) 学习 目标 1.理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行简单的角度计算和推理. 2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法. 3.在探究性质与判定的过程中，体会数学知识的互逆性，增强逻辑推理能力和数学思维能力. 学习 重点 理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行简单的角度计算和推理. 学习 难点 运用直角三角形的性质和判定解决较复杂的几何问题. 学 习 环 节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 1. 三角形内角和定理的内容是什么？ 2.你是怎么证明三角形内角和定理的？ 利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系. 探究 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A和∠B之间有什么关系呢？ 结论 . 直角三角形可以用符号 表示，直角三角形ABC可以写成 . 思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由. 合作 展示 交流 解疑 例3 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小. 质疑 深化 巩固 提升 1.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AB，AC上，且∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ 3．一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，AD⊥AC，则∠BFD的度数为（　 　） A．45° B．60° C．75° D．80° 4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，则结论：①∠1＝∠2；②∠2＝∠A；③DE∥BC；④∠B+∠DCE＝90°中，正确的结论为 　 　 （填序号）． 第3题图 第4题图 5．在下列条件中： ①∠A+∠B＝∠C； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3； ③∠A＝90°﹣∠B； ④∠A＝∠B＝2∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 收获 反思 检测 反馈 1．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 　 　 三角形． 2．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（　 　） A．34° B．44° C．124° D．134° 3．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（　 　） A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO 第2题图 第3题图 4．（杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　 　） A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90° 课题 13.3.2 三角形的外角 学习 目标 1.理解并掌握三角形外角的定义，能在不同几何图形中准确识别三角形的外角. 2.深入探究并熟练掌握三角形外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，能运用该性质进行角度计算、角的大小比较以及简单的几何推理. 3.在探究三角形外角性质和外角和的过程中，体会数学知识的内在联系，增强逻辑推理能力和数学探究能力. 学习 重点 深入探究并熟练掌握三角形外角的性质. 学习 难点 三角形外角的性质的灵活运用. 学 习 环 节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 1.三角形的内角和定理： ； 2.直角三角形的两个锐角 ； 3. 的三角形是直角三角形. 三角形的外角 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作 . 思考 如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？ 追问 任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？你能证明吗？ 结论 . 合作 展示 交流 解疑 例4 ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 追问 你还能给出其他解法吗？ 质疑 深化 巩固 提升 1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数： （1）∠1= ；∠2= . （2） ∠1= ；∠2= . （3） ∠1= ；∠2= . （4）∠1= ；∠2= . （5） ∠1= ；∠2= . （6）∠1= ；∠2= . 2.（1）一个三角形最多有几个直角？为什么？ （2）一个三角形最多有几个钝角？为什么？ （3）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？ 3．如图，下列判断正确的是（　 　） A．∠2＜∠1 B．∠2＞∠1 C．∠2≥∠1 D．∠2＝∠1 4．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠BAC的度数为（　 　） A．85° B．95° C．100° D．110° 5．将一副三角板按如图所示的方式叠放，则∠1等于（　 　） A．45° B．60° C．105° D．120° 第3题图 第4题图 第5题图 6．如图所示，∠1的度数为　 　 ． 7．如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（　 　） A．∠A＝∠E B．∠C＝∠E C．∠B＝∠E+∠F D．∠D＝∠A+∠B 第6题图 第7题图 8．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数是（　 　） A． B． C． D． 收获 反思 检测 反馈 1．（2021•河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（　 　） A．90° B．80° C．60° D．40° 2．（2021•乐山）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（　 　） A．120° B．130° C．140° D．150° 第1题图 第2题图 3．（2021•辽宁）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　 　） A．80° B．95° C．100° D．110° 4．（2021•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　 　（填“增加”或“减少”） 　 　 度． 第3题图 第4题图 学科网（北京）股份有限公司 $$