3.1 列代数式表示数量关系讲义 2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

3.1 列代数式表示数量关系 目录 题型01 代数式的识别 6 题型02 代数式的书写规范 8 题型03 代数式的意义 10 题型04 列代数式 12 题型05 反比例关系 13 建体系 新知廊 知识点1：代数式 1．代数式定义： 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式．例如，5t，，，450m－720，2，4a，a2，2，m都是代数式． 【注意】代数式的运算符包括加、减、乘、除、乘方、开方，但不包括等于号（=）、不等号（≠、≤、≥、＞、＜、≮、≯）、约等号（≈）；可以有绝对值，例如|x|，|－2.25|等． 2．代数式的书写要求： （1）数字与字母或字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或写成“·”，而且数字要写在字母的前面，如5×a可以写成5·a或5a，但数字与数字相乘时仍用“×”． （2）数字因数是1或–1时，“1”省略不写，如1×ab写成ab，–1×ab写成–ab． （3）若数字因数是带分数，要化成假分数，如． （4）式子中出现除法时，写成分数的形式，如． （5）代数式是和或差的形式且后面有单位：把式子用括号括起来，如（a－b）千克． 3．理解代数式的意义： 关键在于明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系．用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系． 对代数式“0.6a”的解释可以有多种，举例如下： （1）一件商品原价为a元，若按原价的6折出售，这件商品现在的售价是0.6a元． （2）练习本每本0.6元，某人买了a本，共付款0.6a元． （3）货车以a km/h的平均速度行驶0.6 h的路程为0.6a km． （4）三角形的底边长为1.2，高是a，三角形的面积是0.6a． 知识点2：列代数式 1．列代数式的定义： 在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式． 注意：在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．列代数式中常见的数量关系： 数学术语 抓住关键性词语，如“大”“小”“多”“少”“和”“差”“积”“商”“倍”等，用数学符号表示． 实际问题中常用的关系式 Ⅰ 购买、分配类问题： 费用=单位费用×数量；总量=单位量×数量； 总费用=甲的单位费用×甲的数量+乙的单位费用×乙的数量； 总数量=甲的数量+乙的数量． Ⅱ 打折销售问题： 售价=标价（原价）×折扣（如打八折，折扣就是80%）； 利润=售价－进价（成本价）；利润率=×100%． Ⅲ 工程问题： 总工作量=工作效率×工作时间． 总工作量未定时，可设总工作量为单位1． Ⅳ 行程问题： 路程=速度×时间． Ⅴ 航行问题： 顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度－水流速度． Ⅵ 增长率问题： 增长率=×100%； Ⅶ 利息问题： 利息=本金×利率×时间． 知识点3：反比例关系 1．定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系． 2．表示方法：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系k可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数． 3．反比例关系中两个量的变化规律：一个量随着另一个量的增大而减小． 【注意】正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系 4．正比例关系与反比例关系的区别： 正比例关系：两个相关联的量x，y的比值一定，这两个量就叫作正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系．即（k是一个确定的值，且k≠0）． 反比例关系：两个相关联的量x，y的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．即xy=k（k是一个确定的值，且k≠0）． 求甚解 1．在解释代数式意义时，要遵循运算顺序，确保符号语言与文字语言的准确转换．如，a+5的意义：比a的倍多5；（a+5）的意义：a与5的和的倍． 2．用字母表示数或数量关系： （1）字母可以表示一个数也可以表示一个复杂的式子．在同一个式子中，相同的字母表示的数要相同，不同的字母表示的数可以相同，也可以不同． （2）同一个问题中，不同的数量必须用不同的字母表示． （3）用字母表示数时，字母的取值有时会受式子本身或实际情况限制．例如：若x表示人数，则x只能取非负整数（自然数），因为人数不能为负数、分数（或小数）． （4）用字母表示几个数的和、差，并且后面有单位时，要把式子用括号括起来． 3．反比例关系： a=mn （1）如果a是定值，那么mn=a（a一定），m与n成反比例关系； （2）如果m或n有一个量是定值，那么=m（m一定）或者=n（n一定），a与n（m）成正比例关系； （3）这里的a，m，n在不同的实际问题中，所表示的量是不同的，如：在销售问题中，分别表示销售总额、销售单价、销售量，在行程问题中，分别表示路程、速度、时间；在工程问题中，分别表示总工作量、工作效率、工作时间…… 练题型 题型01 代数式的识别 典型例题 典例 01 （2024秋•普陀区校级期末）下列各式中，不是代数式的是（　　） A．x＝1 B．5 C．2a2+1 D．x﹣2y+3 【答案】A． 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：A．x＝1是等式，不是代数式； B．5是代数式； C．2a2+1是代数式； D．x﹣2y+3是代数式． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•桥西区校级期末）下列各式中，不是代数式的是（　　） A．vt B．5 C． D．2x+y＝1 【答案】D 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：A．vt，是代数式； B．5，是代数式； C．，是代数式； D．2x+y＝1，是等式，不是代数式． 故选：D． 【变式练2】　（2024秋•松江区期末）下列各式中，不是代数式的是（　　） A． B．3a+1＝0 C．x D．0 【答案】B． 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：A．，是代数式； B．3a+1＝0，是等式，不是代数式； C．x，是代数式； D．0，是代数式． 故选：B． 【变式练3】　（2024秋•静安区期末）在下列各式中，不是代数式的为（　　） A． B．x2﹣y2＝0 C．2x﹣1 D．0 【答案】B． 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：A．，是代数式； B．x2﹣y2＝0，是等式，不是代数式； C．2x﹣1，是代数式； D．0，是代数式． 故选：B． 题型02 代数式的书写规范 典型例题 典例 02 （2024秋•瑞金市期末）下列代数式符合书写要求的是（　　） A． B．m×3 C．m÷2n D．3mn 【答案】D 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是3m，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项D正确，故此选项符合题意． 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•北碚区校级期末）下列代数式中，符合书写要求的是（　　） A． B．a﹣3千米 C． D．a•5 【答案】C． 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是（a﹣3）千米，故此选项不符合题意； 选项C正确，故此选项符合题意； 选项D正确的书写格式是5a，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式练2】　（2024秋•平山县期末）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（　　） ①； ②ab÷c； ③2（m+n）； ④a﹣3千米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据代数式的规范书写格式要求：数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；带分数与字母相乘一定要写成假分数；在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数的形式；式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来；据此进行判断即可求解． 【解答】解：①要写成； ②ab÷c要写成； ③2（m+n）符合要求； ④a﹣3千米要写成（a﹣3）千米； 综上可知，符合要求的只有1个， 故选：A． 【变式练3】　（2024秋•永川区期末）下列代数式中，符合代数式书写要求的是（　　） A． B． C．2÷x D．a•3 【答案】A． 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确，故此选项符合题意； 选项B正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项D正确的书写格式是3a，故此选项不符合题意． 故选：A． 题型03 代数式的意义 典型例题 典例 03 （2024秋•宁乡市期末）下列代数式用自然语言表示正确的是（　　） A．（x+y）2表示x与y平方的和 B．x2+y2表示x与y和的平方 C．表示a与b的倒数和 D．表示c与a，b的积的商 【答案】D 【分析】根据题目中的四个选项逐一用自然语言进行表述即可得出答案． 【解答】解：（x+y）2表示x与y的平方和，故选项A不正确； x2+y2表示x与y的平方和，故选项B不正确； 表示a与b和的倒数，故选项C不正确； 表示c与a，b的积的商，故选项D正确． 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•山丹县校级期末）甲、乙同学关于“代数式2（x+y）”的意义叙述，判断正确的是（　　） 甲：x的2倍与y的和； 乙：苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【答案】B 【分析】按照代数式的意义和运算顺序判断即可． 【解答】解：代数式2（x+y）的意义是x与y的和的2倍， 甲：x的2倍与y的和，说法错误； 乙：苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费，说法正确； 故选：B． 【变式练2】　（2025•仓山区校级模拟）代数式2a﹣b表示的意义是（　　） A．a与b的差的2倍 B．a的2倍与b的差 C．a与b的差 D．a与b的2倍的差 【答案】B 【分析】2a表示的是a的2倍，据此可得答案． 【解答】解：代数式意义可以a的2倍与b的差， 故选：B． 【变式练3】　（2024秋•清苑区期末）晋侯鸟尊是山西博物院的镇馆之宝．某商店第一天售出m件山西省博物馆文创商品“鸟尊书签”．第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“3m﹣3”表示的意义是（　　） A．第二天售出的书签件数 B．第二天比第一天多售出的书签件数 C．两天一共售出的书签件数 D．第二天比第一天少售出的书签件数 【答案】C 【分析】根据第二天的销售量比第一天的两倍少3件可得出第二天的销售量，再根据3m﹣3＝m+（2m﹣3）即可得出答案． 【解答】解：由题意得，第二天的销售量（2m﹣3）件， ∴3m﹣3＝m+（2m﹣3）， ∴（3m﹣3）表示的意义是两天一共售出的书签件数， 故选：C． 题型04 列代数式 典型例题 典例 04 （2024秋•冠县期末）用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（　　） A．2（a﹣b）2 B．2a﹣b2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2 【答案】C 【分析】先求倍数，然后求差，再求平方． 【解答】解：依题意得：（2a﹣b）2． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•枣阳市期末）“m与1的差的2倍”用代数式可以表示成（　　） A．2m﹣1 B．m﹣2 C．2（1﹣m） D．2（m﹣1） 【答案】D 【分析】根据题意列出代数式即可． 【解答】解：表示成2（m﹣1）， 故选：D． 【变式练2】　（2025•宜阳县模拟）某件商品原价b元，先打八折，再降价10元，则现在的售价是 　　 元． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据已知，表示出打折后价格，再减10即可． 【解答】解：∵商品原价b元，先打八折，再降价10元， ∴现在的售价是（0.8b﹣10）元， 故答案为：（0.8b﹣10）． 【变式练3】　（2025•高新区校级四模）长方形的一边长为x，面积为1，则它的周长等于 　　 ． 【答案】2x． 【分析】先根据面积求出另一邻边的长，然后根据周长公式列代数式即可． 【解答】解：由题意知，2×（x）＝2x， 故答案为：2x． 题型05 反比例关系 典型例题 典例 05 （2024秋•平泉市期末）下列描述中，a，b一定成反比例关系的是（　　） A．a，b互为相反数 B．a，b相等 C．a，b互为倒数 D． 【答案】C 【分析】根据反比例的定义，逐一判断即可． 【解答】解：∵a，b互为倒数， ∴ab＝1， ∴a，b一定成反比例关系． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•福州期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”，通俗地说，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是500N和0.5m，则动力F（单位：N）与动力臂l（单位：m）的关系正确的是（　　） A．成反比例关系， B．成反比例关系， C．成正比例关系， D．成正比例关系， 【答案】B 【分析】反比例，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，据此即可求得答案． 【解答】解：由题意可得Fl＝500×0.5＝250， 则动力F（单位：N）与动力臂l（单位：m）的成反比例关系，F， 故选：B． 【变式练2】　（2024秋•大连期末）下面说法正确的是（　　） A．工作效率一定，工作总量与工作时间成反比例 B．分数值一定，分子与分母成反比例 C．时间一定，路程与速度成反比例 D．如果ab＝7，那么a与b成反比例 【答案】D 【分析】如果两个变量的积一定，那么这两个变量成反比例，如果两个变量的商一定，那么这两个变量成正比例，据此求解即可． 【解答】解：A、因为工作总量÷工作时间＝工作效率（一定），工作总量和工作时间的比值一定，所以工作总量和工作时间成正比例，故此选项不符合题意； B、分子÷分母＝分数值（一定），因为分子和分母的比值一定，所以分子和分母成正比例，故此选项不符合题意； C、因为路程÷速度＝时间（一定），路程和速度的比值一定，所以路程与速度成正比例，故此选项不符合题意； D、如果ab＝7，a与b的乘积是定值，那么a与b成反比例，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式练3】　（2024秋•忠县期末）下列各选项中，两个量成反比例关系的是（　　） A．张老师每分钟步行30米，则张老师走的路程和时间 B．若圆柱体的底面积高为8，则圆柱体的体积和底面积 C．已知三角形底边长为15，则三角形的面积和该底边上的高 D．李老师花费200元买同款笔记本，则购买笔记本的数量和单价 【答案】D 【分析】反比例，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，由此即可判断． 【解答】解：A、张老师每分钟步行30米，则张老师走的路程和时间成正比例函数，故此选项不合题意； B、若圆柱体的底面积高为8，则圆柱体的体积和底面积成正比例函数，故此选项不合题意； C、已知三角形底边长为15，则三角形的面积和该底边上的高成正比例关系，故此选项不合题意； D、李老师花费200元买同款笔记本，则购买笔记本的数量和单价成反比例关系，故此选项符合题意； 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $$