2.2 有理数的乘法与除法（同步课堂）2025-2026学年人教版（2024）七 年级数学上册

2.2 有理数的乘法与除法 目录 题型01 倒数 5 题型02 有理数的乘法运算 7 题型03 有理数的除法运算 8 题型04 有理数的乘除混合运算 9 题型05 用运算律简化运算 11 建体系 新知廊 知识点1：有理数的乘法 1．有理数的乘法法则： 两个数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 用字母表示：（＋a）×（＋b）=a×b； （－a）×（－b）=a×b； （－a）×（＋b）=－（a×b）； （＋a）×（－b）=－（a×b）； 设a为任意有理数，则a×0=0；a×0=0． 【注意】多个有理数相乘，奇负偶正． 2．有理数乘法的运算律： （1）乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等． 表达式：ab=ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把其中的两个数相乘，积相等． 表达式：（ab）c=a（bc）． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 表达式：a（b+c）=ab+ac． 【注意】运用乘法运算律的“三点说明”： （1）运用交换律时，在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）运用分配律时，要用括号外的因数乘括号内每一个因数，不能有遗漏． （3）逆用：有时可以把运算律”逆用”，例如逆用乘法分配律的符号表示为：ab+ac=a（b+c）． 3．有理数乘法的运算律的推广： 三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘，如abcd=d（ac）b． 知识点2：倒数 1．倒数的定义： 乘积为1的两个数互为倒数． 【注意】判断两个数是否互为倒数的唯一标准：两数相乘的积是否为“1”． 2．求倒数的方法： （1）求分数的倒数：交换分子、分母的位置． （2）求整数的倒数：整数分之1． （3）求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数． （4）求小数的倒数：先化成分数再求倒数． 知识点3：有理数除法 1．有理数的除法法则 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即（b≠0）． 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商，0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2．有理数乘除混合运算的步骤： （1）将除法转化为乘法，除数转化为倒数； （2）先确定积的符号，再把绝对值相乘； （3）运用乘法运算律简化计算； （4）求出最简结果． 【注意】（1）除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法运算律简化运算． （2）积的符号由负因数的个数决定，口诀为“偶正奇负，见0为0”． （3）结果要化为最简分数或整数． （4）有理数的乘除运算是同级运算，若没有括号，则按照从左到右的顺序计算． 3．有理数加减乘除混合运算： 先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的．同级运算中，按照从左到右的顺序计算，并能合理运用运算律，简化运算． 求甚解 1．对有理数乘法法则的理解： （1）法则中的“同号得正，异号得负”是专指两数相乘，不要与有理数加法法则相混淆．在计算有理数的乘法时，若式中不含为0的因数，则先确定积的符号，再把绝对值相乘． 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （2）书写格式上，数与字母、字母与字母、数与括号之间可以省略乘号．若第一个因数是负数，可以不加括号，但后面的负因数必须加上括号．不能有类似“×－4”的写法出现．（乘和减两个运算符号不能连用） （3）为了运算简便，有小数的运算，一般把小数化成分数，若小数直接相乘比较简便，则可以不化为分数． （4）任何数同1相乘都等于它本身，任何数同－1相乘都等于它的相反数． 2．对倒数的理解： （1）0没有倒数，因为任何数乘0，积都是0，且0不能作分母． （2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．（即求一个数的倒数，不改变这个数的符号） （3）倒数等于它本身的数有两个，分别是1和–1． （4）真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1． （5）倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在，单独一个数不能称为倒数．必须说清谁是谁的倒数． 3．除法法则的选用原则： 两数相除，若能整除，选择法则二，先确定商的符号，再将两数的把除法转绝对值相除；若不能整除或两数中有分数或小数，则选择法则一，把除法化为乘法；除法算式中的小数常化成分数，带分数常化成假分数，以利于转化为乘法时约分；0不能作除数（即分母）． 4．有理数加减乘除混合运算的注意事项： （1）常以加减号为界，把式子分成若干个部分，每一部分同时单独运算． （2）通常把小数化为分数，把带分数化为假分数，以便于通分、约分计算． （3）除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算． （4）不能随意改变运算顺序． 练题型 题型01 倒数 典型例题 典例 01 （2025•台江区校级模拟）﹣3的倒数是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【答案】B 【分析】根据倒数的定义即可求解． 【解答】解：∵﹣3×（）＝1， ∴﹣3的倒数是． 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025•江西校级模拟）下列各组数中，互为倒数的是（　　） A．2和 B．3和﹣2 C．1和﹣1 D．﹣2和0.2 【答案】A． 【分析】根据倒数的定义可知，乘积是1的两个数互为倒数． 【解答】解：A．∵21，∴2和互为倒数，故符合题意； B．∵3×（﹣2）≠1，∴3和﹣2不互为倒数，故不符合题意； C．∵1×（﹣1）≠1，∴1和﹣1不互为倒数，故不符合题意； D．0.2，∵﹣21，∴﹣2和0.2不互为倒数，故不符合题意． 故选：A． 【变式练2】　（2025•安定区三模）﹣4的倒数是（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【答案】D 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【解答】解：﹣4的倒数是， 故选：D． 【变式练3】　（2025春•河源期末）下列说法正确的是（　　） A．0的倒数是0 B．32的倒数是23 C．的倒数是﹣3 D．﹣2的倒数是﹣0.5 【答案】D 【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． 【解答】解：A、0没有倒数，故选项错误； B、32的倒数是，故选项错误； C、的倒数是3，故选项错误； D、﹣2的倒数是﹣0.5，故选项正确． 故选：D． 题型02 有理数的乘法运算 典型例题 典例 02 （2025•南通）计算（﹣2）×（﹣3），正确的结果是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 【答案】D 【分析】利用有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解：原式＝+（2×3）＝6， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025•长岭县四模）下列算式中，积为正数的是（　　） A．﹣2×5 B．﹣6×（﹣2） C．0×（﹣1） D．5×（﹣3） 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则分别进行计算，选出符合条件的一项即可． 【解答】解：﹣2×5＝﹣10，A错误； ﹣6×（﹣2）＝12，B正确； 0×（﹣1）＝0，C错误； 5×（﹣3）＝﹣15，D错误， 故选：B． 【变式练2】　（2025•广东模拟）计算（﹣1）×5的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【答案】D 【分析】直接利用有理数的乘法运算法则得出答案． 【解答】解：（﹣1）×5＝﹣5． 故选：D． 【变式练3】　（2024秋•蓝田县期末）计算：　　 ． 【答案】﹣3． 【分析】根据有理数的乘法法则运算即可． 【解答】解：原式＝﹣183． 故答案为：﹣3． 题型03 有理数的除法运算 典型例题 典例 03 （2025•天津）计算（﹣21）÷（﹣7）的结果等于（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】两数相除，同号得正，并把绝对值相除，由此计算即可． 【解答】解：（﹣21）÷（﹣7）＝21÷7＝3， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025•滨海新区校级三模）计算15÷（﹣5）的结果等于（　　） A．75 B．10 C．﹣3 D．﹣5 【答案】C 【分析】按照计算法则计算即可，熟练计算是解题的关键． 【解答】解：原式＝﹣3， 故选：C． 【变式练2】　（2025•台山市一模）计算：（﹣18）÷（﹣6）＝ 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据两数相除，同号得正，并把绝对值相除计算即可． 【解答】解：（﹣18）÷（﹣6）＝18÷6＝3， 故答案为：3． 【变式练3】　（2024秋•句容市期末）计算：等于　　 ． 【答案】6． 【分析】两数相除，同号得正，并把绝对值相除，由此计算即可． 【解答】解：2×3＝6， 故答案为：6． 题型04 有理数的乘除混合运算 典型例题 典例 04 （2024秋•花都区期末）计算：　　 ． 【答案】． 【分析】利用有理数的乘除法则计算即可． 【解答】解：原式（）， 故答案为：． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•郴州期末）计算： 　　 ． 【答案】． 【分析】先把除法运算变为乘法运算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【变式练2】　（2024秋•大兴区期末）计算：． 【答案】． 【分析】先把除法运算变为乘法运算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解： ． 【变式练3】　（2024秋•崇明区期末）计算：． 【答案】． 【分析】先把除法运算变为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算即可． 【解答】解： ． 题型05 用运算律简化运算 典型例题 典例 05 （2024秋•黄浦区期末）用简便方法计算：． 【答案】﹣1078． 【分析】变形后利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：原式 ＝﹣1080+2 ＝﹣1078． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•普陀区校级期中）简便计算：． 【答案】． 【分析】先把原式变形为，再利用乘法分配律计算求解即可． 【解答】解： ． 【变式练2】　（2024秋•虹口区校级月考）简便计算：． 【答案】99899． 【分析】逆用乘法分配律进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝99900﹣1 ＝99899． 【变式练3】　（2024秋•南关区校级月考）用简便方法计算： ①； ②． 【答案】①﹣2；②﹣2398． 【分析】①利用乘法分配律计算即可； ②利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：①原式＝（）×（﹣36）（﹣36）（﹣36） ＝3+1﹣6 ＝﹣2． ②原式＝（﹣100）×24 ＝﹣100×2424 ＝﹣2400+2 ＝﹣2398． 学科网（北京）股份有限公司 $$