13.3.1三角形的内角 教案 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 1、 教学目标 1.探索并掌握三角形内角和定理. 2.会用三角形内角和进行角度的计算. 3.能证明三角形的内角和定理及其推论. 4.能运用三角形的内角和定理及其推论判断角和边的关系，解决简单的实际问题. 二、教学重难点 重点：会用三角形内角和进行角度的计算. 难点：能运用三角形的内角和定理及其推论判断角和边的关系，解决简单的实际问题. 三、教学用具 多媒体课件 四、教学过程设计 （一）情境导入 在小学，通过度量或剪拼，我们已经知道三角形的内角和等于180°，这样的方法获得的结论可靠吗？ 预设答案：由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服. 思考：该怎么验证呢？ 设计意图：通过回顾小学所学知识，思考得出结论的过程，对结论产生怀疑，从而引入证明，不但降低了难度，也让学生感受到数学的严谨性，从而进一步引导学生思考运用更为严谨的方法进行探究. （二）探究新知 探究：由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？ 预设答案：需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°. 设计意图：从特殊到一般，引导学生从拼接的过程中受到启发，进行证明所有三角形的三个内角和都等于180°. 交流：你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？ 将三角形的任意两个内角剪下，拼成如图所示的形状. 设计意图：三角形内角和等于180°，在小学就是通过剪拼的方法得出的，所以在这里仍以这种方法为主，引导学生从拼图中发现证明的方法. 探究：前面给出了两种剪拼的方法．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 在右图中，将△ABC的∠B 和∠C剪下，分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A的直线l，移动后的∠B 和∠C各有一条边在直线l上.想一想，直线l 与△ABC的边BC有什么关系？ 预设答案：直线l 与△ABC的边BC平行. 探究：在操作过程中，我们发现了与边BC 平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？ 预设答案：通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明结论． 结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？ 已知：△ABC．求证：． 证明：过点作直线 ，使． ∵ ， ∴∠2 = ∠4， ∠3 = ∠5（两直线平行，内错角相等）. ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∵∠1+∠4+∠5=180°（平角定义）， ∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）. 总结：三角形的内角和等于180°. 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 设计意图：通过证明定理的过程熟悉作辅助线和证明的步骤，添加的辅助线要有利于解题，需要说明你所添加的辅助线的位置、名称和性质证明定理时要自己画图，写好已知、求证和证明。证明的每一步都要写理由，也就是在“∴”的后面写明得到这个结论的理论根据，证明时要先理清证明的思路，再写过程. 探究：利用三角形的内角和定理，你能得到一些特殊三角形的内角的关系吗？ 如图，在直角三角形中，， 由三角形的内角和定理，得，即， 所以. 结论：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形可以写成Rt△. 思考：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由. 预设答案：可以由三角形的内角和定理证明. 已知：如图，中，． 求证：是直角三角形． 证明：， (三角形的内角和等于180°)， . ∴是直角三角形. 结论：有两个角互余的三角形是直角三角形. 设计意图：让学生通过三角形内角和定理发现直角三角形两锐角和是90°的特性.熟悉三角形内角和定理的应用. （3） 应用新知 例1：如图，在中，，，是的角平分线，求的度数. 解：∵，是的角平分线， ∴. 在中，. 例2：如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东50°方向，岛在岛的北偏东80°方向，岛在岛的北偏西40°方向.从岛看，两岛的视角是多少度？从岛看，两岛的视角呢？ 分析：，，三岛的连线构成 ，所求的是的一个内角.如果能求出，，就能求出. 解：. 由，得. 所以， . 在中，. 答：从岛看，两岛的视角是60°从岛看，两岛的视角是90°. 例3:如图，，， 相交于点， 与 有什么关系？为什么？ 分析：两个角的关系是什么？这两个角分别在什么三角形中？你如何验证自己的想法？ 解：在Rt△ 中， ． 在Rt中， ． . 设计意图：通过例题联系，让学生对基础知识加深印象，了解三角形内角和定理的应用范围，形成初步技能，以基础知识为主，把握三角形内角和定理的应用. （四）课堂练习 1.如图，，，垂足为，与有什么关系？为什么？ 解：相等． 同角的余角相等． 2. 如图，在中，，求的度数. 解：， . . . 设计意图：通过练习，使学生进一步理解并熟悉三角形内角和以及直角三角形性质的应用.  （五）总结归纳 学科网（北京）股份有限公司 $$