2.3 有理数的乘方 讲义 2025-2026学年人教版（2024）七 年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘方这一核心知识点，系统梳理乘方的定义、运算（符号法则与转化方法）、混合运算顺序，延伸至科学记数法（表示与还原）、近似数（精确度与取法）、偶次幂非负性及实际应用，构建从概念到运算再到应用的完整学习支架。 资料以“建体系-新知廊-求甚解-练题型”模块设计，含知识体系图辅助理解，“练题型”部分结合中考模拟题，通过《孙子算经》鸟巢数量、细菌分裂等实例，培养学生抽象能力与应用意识，课中助教师系统授课，课后变式练习与易错点提示帮学生查漏补缺。

2.3 有理数的乘方 目录 题型01 乘方的定义 5 题型02 有理数的乘方运算 7 题型03 有理数的混合运算 8 题型04 用科学记数法表示较大的数 10 题型05 还原用科学记数法表示的数的方法 12 题型06 近似数 14 题型07 偶次幂的非负性的应用 15 题型08 乘方的实际应用问题 17 建体系 新知廊 知识点1：有理数的乘方的定义 概念 说明 乘方 求n个相同因数的积的运算，叫作乘方 =an 幂 乘方的结果叫作幂 当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂 底数 在an中，a叫做底数 a可以是任意有理数 指数 在an中，n叫做指数 n是正整数 一个数可以看作这个数本身的一次幂．如：3就是31，m就是m1，指数1通常省略不写；指数是2时也读作平方，指数是3时也读作立方．如：32也读作“3的平方”，23也读作“2的立方”． 知识点2：有理数的乘方运算 1．乘方运算的符合法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． （2）正数的任何次幂都是正数． （3）0的任何正整数次幂都是0． 2．乘方的运算方法： （1）转化为乘法，根据乘法法则计算． （2）先确定符号，再求幂的绝对值． 3．用计算器计算乘方： 不同类型的计算器，可能操作方法不同，使用教材中所示类型的计算器时，平方按键，立方按键，其他次方按键和次数的数字键．x2 x3 □ 4．偶次幂的非负性： 任何有理数的偶次幂都是非负数．即： （n为正整数）．特别地，． 若几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0，据此可列出含有所求字母的等式，进而求得字母或与字母有关的式子的值． 知识点3：科学记数法 1．科学记数法的含义： 把大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法．对于小于－10的数也可以类似表示．例如，－1200 000=－1.2×106 2．科学记数法的形式a×10n中a和n的确定方法： （1）将小数点移到左起第1个数字的后边即可得到a的取值． （2）确定n方法有两种：一是数小数点移动的位数，小数点移动几位，n就是几；二是数原数的整数位数，原数的整数位数减1就是n的值． 【注意】科学记数法只改变数的形式，不改变数的性质和大小，用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后一致． 3．还原用科学记数法表示的数的方法： 把用科学记数法表示的数a×10n（其中1<<10，n是正整数）还原成原数时，只需将小数点向右移动n位，并把乘号和10n去掉即可，注意，在移动小数点时，若数位不足，则需用0补齐． 知识点4：近似数 1．准确数：在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为准确数．例如：三班共50人，小颖养了3条金鱼，数字“50”和“3”就是准确数． 2．近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数．例如：体重约为54 kg． 3．近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位就称这个数精确到哪一位，精确度是精确的程度． 4．取近似数的方法： 根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法． （1）四舍五入法：四舍五入法是最常用的取近似数的方法．求一个精确到某一数位的近似数时，对这一数位后面的那个数进行四舍五入．例如，2.55精确到十分位为2.6． （2）去尾法：去尾法是去掉数的小数部分，取其整数部分的取近似数的方法．例如，把一根20cm长的钢筋截成6cm长的小段作零件，由20÷6=3.33…，可知能截得的零件数为3． （3）进一法：进一法是去掉多余部分的数后，在保留部分的最后一个数字上加1的取近似数的方法． 5．由近似数确定原数的取值范围的方法： （1）在近似数的最后一位之后再取一位，数值记为0． （2）在这一位上加5是最大数，减5是最小数，注意含小不含大． 求甚解 1．乘方运算中，当底数为负数或分数时，必须用括号将底数括起来． 2．互为相反数的两个数的幂的关系： （1）互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若a+b=0，则（n为正整数）． （2）互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若a+b=0，则（n为正整数）． 注：若n为正整数，通常用2n表示偶数，2n－1表示奇数． 3．底数与指数的区别：底数是因数，指数是因数的个数． 4．乘方与幂的区别：乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 5．有理数混合运算的顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 6．用科学记数法表示一个负数时，先写出它的相反数的形式，再添上负号就可以了． 7．对于近似数来说，末位数上的“零”也不能省略，它也具有存在的意义，如近似数1.8与1.80的精确度不同． 练题型 题型01 乘方的定义 典型例题 典例 01 （2025•红花岗区校级模拟）下列说法正确的是（　　） A．﹣35的底数是﹣3 B．23表示3个2相加 C．（﹣2）3与﹣23意义相同 D．﹣23的指数是3 【答案】D 【分析】A．根据幂的底数的定义进行判断即可； B、C选项均根据乘方的意义进行判断即可； D．根据幂的指数的定义进行判断即可． 【解答】解：A．∵﹣35的底数是3，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； B．∵23表示3个2相乘，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C．∵（﹣2）3表示3个﹣2相乘，﹣23表示3个2相乘的相反数，∴这两个数表示的意义不同，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D．∵﹣23的指数是3，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•宛城区期末）关于（﹣2）4说法正确的是（　　） A．结果是﹣8 B．底数是4，指数是﹣2 C．可以表示为﹣2×2×2×2 D．底数是﹣2，指数是4 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方的意义判断即可． 【解答】解：A、（﹣2）4＝16，故此选项不符合题意； B、（﹣2）4的底数是﹣2，指数是4，故此选项不符合题意； C、（﹣2）4表示（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），故此选项不符合题意； D、（﹣2）4的底数是﹣2，指数是4，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式练2】　（2024春•南岗区校级期中）对于式子：（﹣2）3，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣2 B．底数是2 C．幂是﹣8 D．表示3个2相乘 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方即可求出答案． 【解答】解：该式子的指数为3，底数为﹣2，幂为﹣8，表示3个﹣2相乘， 故选：C． 【变式练3】　（2025•朝阳区校级模拟）（﹣2）3的底数是 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据有理数乘方的定义进行解答即可． 【解答】解：（﹣2）3的底数是﹣2． 故答案为：﹣2． 题型02 有理数的乘方运算 典型例题 典例 02 （2025•永寿县校级二模）计算：（﹣3）2＝（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方运算，（﹣3）2表示2个（﹣3）的乘积． 【解答】解：（﹣3）2＝9． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025•河北模拟）可以写成（　　） A．（﹣2）×8 B．﹣2×8 C．（﹣2）8 D．﹣28 【答案】C 【分析】利用乘方的定义解答即可． 【解答】解：利用乘方的定义解答如下： ， 故选：C． 【变式练2】　（2025•邯郸一模）计算：﹣16＝（　　） A．﹣6 B．﹣1 C．6 D．1 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方法则计算即可． 【解答】解：﹣16＝﹣1， 故选：B． 【变式练3】　（2023秋•德庆县期末）32的计算结果是（　　） A．3 B．27 C．9 D．6 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：32＝9． 故选：C． 题型03 有理数的混合运算 典型例题 典例 03 （2024秋•焦作期末）计算： （1）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先进行乘方和乘法运算，然后进行加法运算； （2）先进行乘方，再把除法转化为乘法，然后去绝对值后进行加减运算． 【解答】解：（1）原式＝4+36 ＝40； （2）原式＝﹣1﹣2×3+9 ＝﹣1﹣6+9 ＝2． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•宝安区校级期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）25； （2）﹣19． 【分析】（1）先计算乘方，再计算绝对值，乘除运算，最后计算加减运算即可； （2）把原式化为：，再结合乘法的分配律进行简便运算即可． 【解答】解：（1） 6+16 ＝9+16 ＝25； （2） ＝﹣19． 【变式练2】　（2023秋•桓台县期末）计算： （1）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据有理数的四则混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数的四则混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝5； （2） ＝1+（﹣10）×2×2﹣（﹣27﹣2） ＝1﹣40+29 ＝﹣10． 【变式练3】　（2022秋•咸阳期末）计算：﹣18﹣42÷（﹣8）﹣（﹣3）3． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据有理数的乘方，乘除法和加减法可以解答本题． 【解答】解：﹣18﹣42÷（﹣8）﹣（﹣3）3 ＝﹣18﹣16×（）﹣（﹣27） ＝﹣18+2+3 ＝﹣13． 题型04 用科学记数法表示较大的数 典型例题 典例 04 （2025•禄丰市一模）风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（　　） A．0.358×105 B．35.8×103 C．3.58×105 D．3.58×104 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：35800＝3.58×104． 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025•南充模拟）科学家研发了一种新的蓝光唱片，其容量是普通唱片容量的8000倍．已知一张普通唱片的容量约为25GB，则一张蓝光唱片的容量约为（　　） A．2×106GB B．2×105GB C．3.2×105GB D．4×105GB 【答案】B 【分析】利用科学记数法的定义列式计算即可． 【解答】解：一张蓝光唱片的容量约为：25×8000＝2×105（GB）． 故选：B． 【变式练2】　（2025•东丽区校级模拟）我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖1040000000人左右，将1040000000用科学记数法表示应为（　　） A．1.04×1010 B．1.04×109 C．10.4×109 D．0.104×1011 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：将1040000000用科学记数法表示为：1.04×109． 故选：B． 【变式练3】　（2024秋•陕州区期末）第19届亚运会在杭州举办，组委会共招募志愿者约1520000，将1520000用科学记数法表示为（　　） A．0.152×107 B．1.52×106 C．15.2×105 D．152×104 【答案】B． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1520000＝1.52×106． 故选：B． 题型05 还原用科学记数法表示的数的方法 典型例题 典例 05 （2024•岱岳区二模）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数262310…0用科学记数法表示为2.6231×109，则原数中0的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：2.6231×109＝2623100000， 即原数中0的个数为5． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025•东莞市校级一模）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（　　） A．6750吨 B．67500吨 C．675000吨 D．6750000吨 【答案】B 【分析】科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． 【解答】解：6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为67500吨． 故选：B． 【变式练2】　（2025•东莞市校级二模）地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为1.1×105km/h，把它写成原数是（　　） A．1100000km/h B．110000km/h C．11000km/h D．0.000011km/h 【答案】B 【分析】根据科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向右移几位，可得答案． 【解答】解：1.1×105 km/h，把它写成原数是110000km/h， 故选：B． 【变式练3】　已知2.73×10n是一个7位数，则n＝　　 ，原数为 　　 ． 【答案】6，2730000． 【分析】根据科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，进而得出答案． 【解答】解：∵2.73×10n是一个7位数， ∴n＝6，原数为 2730000． 故答案为：6，2730000． 题型06 近似数 典型例题 典例 06 （2024秋•长子县期末）用四舍五入法得到近似数3.14万，下列说法正确的是（　　） A．它精确到0.01 B．它精确到个位 C．它精确到百位 D．它精确到百分位 【答案】C 【分析】根据近似数的精确度求解即可． 【解答】解：∵3.14万的数字4在百位上， 则近似数3.14万精确到百位， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•西陵区期末）小华称得一个物体的质量为2.108kg，用四舍五入法将2.108精确到0.01的近似数为（　　） A．2 B．2.10 C．2.1 D．2.11 【答案】D 【分析】对千分位数字8，四舍五入即可． 【解答】解：2.108精确到0.01的近似值为2.11， 故选：D． 【变式练2】　（2024秋•南木林县校级期末）用四舍五入法，把3.90461精确到百分位，取得近似值为（　　） A．3.9 B．3.90 C．3.91 D．3.905 【答案】B 【分析】根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百分位． 【解答】解：3.90461≈3.90（精确到百分位）， 故选：B． 【变式练3】　（2024秋•贵池区期末）用四舍五入法按要求对2.89537取近似值，其中正确的是（　　） A．2.8（精确到0.1） B．2.90（精确到百分位） C．2.8953（精确到千分位） D．2.9000（精确到0.0001） 【答案】B 【分析】精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入即可． 【解答】解：A、2.89537≈2.9（精确到0.1），错误，不符合题意； B、2.89537≈2.90（精确到百分位），正确，符合题意； C、2.89537≈2.895（精确到千分位），错误，不符合题意； D、2.89537≈2.8954（精确到0.0001），错误，不符合题意； 故选：B． 题型07 偶次幂的非负性的应用 典型例题 典例 07 （2025春•雨花区校级期末）若（x﹣1）2+|y+2|＝0，则x+y的值等于（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x﹣1＝0，y+2＝0， 解得x＝1，y＝﹣2， 所以x+y＝1﹣2＝﹣1． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025•巴东县模拟）若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则（a+b）2024的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2024 D．无法计算 【答案】A 【分析】“两个非负数相加得0，则这两个数都等于0”，据此得到a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，代入即可求解． 【解答】解：由题意得：a+3＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣3，b＝2， 所以（a+b）2024＝（﹣3+2）2024＝（﹣1）2024＝1． 故选：A． 【变式练2】　（2024秋•永安市期末）若|x+2|与（y﹣3）2互为相反数，则xy的值为（　　） A．﹣6 B．9 C．﹣8 D．8 【答案】C 【分析】根据任何数的绝对值和平方都是非负数，根据两个非负数的和是0，即可得到这两个数都等于0，从而得到关于x，y的方程求得x，y的值，进而求得代数式的值． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 则xy＝（﹣2）3＝﹣8． 故选：C． 【变式练3】　（2024秋•宁明县期末）若|m﹣3|+（n+4）2＝0，则（m+n）2023的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2023 D．2023 【答案】A 【分析】根据非负数的性质求出m、n的值，然后根据有理数的乘方法则计算即可． 【解答】解：∵|m﹣3|+（n+4）2＝0， 又∵|m﹣3|≥0，（n+4）2≥0， ∴m﹣3＝0，n+4＝0， ∴m＝3，n＝﹣4， ∴（m+n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1， 故选：A． 题型08 乘方的实际应用问题 典型例题 典例 08 （2025•濮阳模拟）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢…”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢…．文中的鸟巢共有（　　） A．93个 B．103个 C．94个 D．104个 【答案】C 【分析】由题意得出算式，求解即可． 【解答】解：9×9×9×9＝94（个）； 答：文中的鸟巢共有94个． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025春•让胡路区校级月考）一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（　　） A．（）2024m B．（）2023m C．（）2024m D．（）2023m 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案． 【解答】解：第一次剪去铜丝的，剩下是， 第二次剪去剩下铜丝的，剩下是，⋯⋯ 第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（）2024m． 故答案为：C． 【变式练2】　（2024秋•江山市期末）在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】D 【分析】利用有理数的乘方法则列式计算即可． 【解答】解：∵某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个， ∴经过1个小时，这种细菌分裂3次， ∴经过1个小时，这种细菌由1个分裂成23＝8个． 故选：D． 【变式练3】　（2025•盘龙区校级模拟）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（　　） A．16个 B．216个 C．8个 D．28个 【答案】B 【分析】根据题意得出规律第n个30分钟分裂为2n个细胞，即可求解． 【解答】解：根据题意可知，一个草履虫细胞第1个30分钟分裂成2个，即21个细胞， 一个草履虫细胞第2个30分钟分裂成4个，即22个；… 一个草履虫细胞第n个30分钟分裂为2n个细胞， 经过8小时即2×8＝16个30分钟，一个草履虫8个小时后可分裂为：216个细胞． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $$