精品解析：河南省部分学校2025-2026学年高二上学期开学学业质量监测数学试题

高二年级上学期开学学业质量监测 数学 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. （ D. ） 【答案】C 【解析】 【详解】因为所以，故选. 考点：1.集合的基本运算；2.简单不等式的解法. 2. 在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义判断即可. 【详解】，是纯虚数；，，是实数；是虚数，但不是纯虚数； 综上，纯虚数的个数为2. 故选：C. 3. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助平均数、中位数与众数定义计算即可得. 【详解】将这些数从小到大重新排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17， 故其中位数，众数， 平均数， 故. 故选：B. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对数函数的单调性解不等式然后进行判断. 【详解】的解集是，反之不成立. 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 5. 设，,，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的性质判断各数的范围，即可判断答案. 【详解】由对数的性质可得， 由指数函数的性质得， 所以. 故选：B 6. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将平方得到，继而利用立方和公式，即可求得答案. 【详解】由平方得：，得. , 故选：C. 7. 四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：先将四面体补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为，5，再通过解方程组得长方体的长宽高，最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果. 详解：因为将四面体补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为，5，所以由得 因为四面体的外接球为长方体的外接球，所以外接球直径为 因此四面体的外接球的表面积为， 选D. 点睛：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”． 8. 某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】设参加射门比赛的男教师人数为，根据总体的平均数求出，设女教师进球数的方差为，根据方差公式计算可得. 【详解】设参加射门比赛的男教师人数为，则全部参赛教师进球数的平均数， 解得，即参赛的男女教师各有人， 设女教师进球数的方差为， 依题意可得，解得. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义平面向量的一种运算“Ⓗ”如下:对任意的两个向量，令，下面说法一定正确的是（ ） A. 对任意的，有 B. 存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立 C. 若与垂直，则与共线 D. 若与共线，则与的模相等 【答案】AD 【解析】 【分析】依据“Ⓗ”的运算规则结合向量的运算法则逐一计算分析即可判断各选项. 【详解】对于A，对任意的， ，故A正确； 对于B，假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立， 即恒成立， 即方程组对任意恒成立， 而此方程组无解，故B不正确. 对于C，设，若与垂直，则， 则， ， ； 此时不存在实数使得，故C不正确. 对于D，若与共线，则， 则， ， ； 所以与的模相等，故D正确. 故选：AD. 10. 下图是函数的部分图像，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A, 不妨令, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 11. 年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对头生猪的体重（单位：）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 这头生猪体重的众数为 B. 这头生猪中体重不低于的有头 C. 这头生猪体重的中位数落在区间内 D. 这头生猪体重的平均数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用最高矩形底边的中点值作为众数可判断A选项的正误；计算出生猪中体重不低于所占的频率，乘以可判断B选项的正误；根据中位数左边的矩形面积之和为可判断C选项的正误；根据频率分布直方图计算出样本数据的平均数，可判断D选项的正误. 【详解】由频率分布直方图可知，这一组的数据对应的小长方形最高，所以这头生猪的体重的众数为，A错误； 这头生猪中体重不低于的有（头），B正确； 因为生猪的体重在内的频率为， 在内的频率为，且， 所以这头生猪体重的中位数落在区间内，C正确； 这头生猪体重的平均数为， D正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法 （1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示，频率=组距，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率． （2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标． （3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． （4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故答案为:. 13. 若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径和高，结合体积公式，即可求解． 【详解】由题意，圆锥侧面展开图的半径为，所以圆锥的母线长为， 设圆锥的底面半径为，高为，则 ，解得， 可得圆锥的高为， 所以圆锥的体积． 故答案为：． 14. 在矩形中，，点在以为圆心且与相切的圆上，且在矩形内，若，则的最大值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】先由题意建系，求得圆的标准方程，借助于三角函数表示点P的坐标，再结合向量相等和三角恒等变换进行计算即得. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系. 由题意可知中边上的高， 故以为圆心且与相切的圆为， 由题意，点的横纵坐标可表示为，， 即，又， 由=代入坐标，可得， 则，故，其中， 因，则当时，取得最大值为1. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求； （2）若，求实数k. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算可得答案； （2）由向量平行的坐标运算条件可得答案. 【详解】（1）· （2），， ∵，∴， 解之得：· 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量平行的条件，属于基础题. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求和的值； （2）求函数在的单调增区间； （3）若函数在区间上恰有10个零点，求的最大值. 【答案】（1），;（2）和;（3）. 【解析】 【详解】【试题分析】（1）直接依据图像中所提供的数据信息可得，进而求出；（2）依据正弦函数的单调区间解不等式求出单调增区间，（），然后求出函数在的单调增区间为和.（3）先求出函数中的或（），进而借助周期性求出的最大值为． 解：（1）， . （2）由（1）知，令，（） 得，（） 又因为，所以函数在的单调增区间为和. （3）由得或（）. 函数在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以的最大值为. 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 【答案】（1）0.006；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求； （2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为； （3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率. 【详解】（1）因为， 所以 （2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为， 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为 （3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)， 即为； 受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是 又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即， 故所求的概率为 【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况. 18. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别是，是钝角，且． （1）求的大小； （2）若的面积为，且，求的值； （3）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理得即可得解. （2）先由三角形的面积公式得，再由余弦定理即可得解. （3）先由余弦定理得，再结合面积公式即可求解. 【小问1详解】 ，， ， 是钝角，. 【小问2详解】 ， . . 【小问3详解】 ， ，当且仅当时面积取最大值. 19. 在四棱锥中，底面是正方形，与交于点O，底面，为的中点. （1）求证：//平面； （2）求证：； （3）若在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理和性质定理即可得到证明； （3）取中点，连接.证明平面即可. 【小问1详解】 连接，由是正方形可知,点为中点. 又为的中点，所以// 又平面平面 所以//平面 【小问2详解】 由底面底面，所以， 由是正方形可知, ，所以BD⊥平面, 又平面，所以. 【小问3详解】 在线段上存在点，使平面. 理由如下： 如图，取中点，连接. 在四棱锥中，， 所以. 由（2）可知，平面，平面 所以，平面平面，交线是 因为，所平面 由为中点，得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期开学学业质量监测 数学 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. （ D. ） 2. 在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，,，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 7. 四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积 A. B. C. D. 8. 某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义平面向量的一种运算“Ⓗ”如下:对任意的两个向量，令，下面说法一定正确的是（ ） A. 对任意的，有 B. 存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立 C. 若与垂直，则与共线 D. 若与共线，则与的模相等 10. 下图是函数的部分图像，则 （ ） A. B. C. D. 11. 年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对头生猪的体重（单位：）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 这头生猪体重的众数为 B. 这头生猪中体重不低于的有头 C. 这头生猪体重的中位数落在区间内 D. 这头生猪体重的平均数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算__________． 13. 若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________． 14. 在矩形中，，点在以为圆心且与相切的圆上，且在矩形内，若，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求； （2）若，求实数k. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求和的值； （2）求函数在的单调增区间； （3）若函数在区间上恰有10个零点，求的最大值. 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 18. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别是，是钝角，且． （1）求的大小； （2）若的面积为，且，求的值； （3）若，求面积的最大值． 19. 在四棱锥中，底面是正方形，与交于点O，底面，为的中点. （1）求证：//平面； （2）求证：； （3）若在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $