精品解析：湖南省永州市第四中学2025-2026学年高一上学期入学考试数学试卷

高一入学考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式组的解集是（　　） A. B. C. 2 D. 无解 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为元，一头牛价格为元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（ ） A. 等于20g B. 小于20g C. 大于20g D. 与左右臂的长度有关 7. 已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 8. 四边形中，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项 9. 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（ ） A. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 有最大值 B. C. D. 的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为___________ 13. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．若，，则菱形的面积是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交轴于点，连接，则的面积是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）当时，求与; （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． （1）若为假命题，求实数m的取值范围； （2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 17. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． （1）现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ （3）若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 18. 如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点，点为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一入学考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式组的解集是（　　） A. B. C. 2 D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取交集即可得解. 【详解】由， 故选：C 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由补集、交集的概念即可得解. 【详解】已知全集，集合，，则. 故选：D. 3. 如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】在中直接由正弦函数的定义计算即可. 【详解】如图，在中，，，， 所以，米， 故选：B. 4. 《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为元，一头牛价格为元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出方程组，即可判断出答案. 【详解】设一匹马价格为元，一头牛价格为元， 由两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格， 可得； 由一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格， 可得， 故. 故选：A 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质可推断，再通过举反例即可得出结论. 【详解】因为，由，根据传递性可知， 因此“”能推出“”，因此充分性成立； 不妨取，满足，但不成立，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（ ） A. 等于20g B. 小于20g C. 大于20g D. 与左右臂的长度有关 【答案】C 【解析】 【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b，第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，由题意得，，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为天平两臂不等长，所以设天平左臂长为a，右臂长为b，则． 设第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，则，， 故，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 但，等号不成立，所以，故两次称得重物的总重量大于20g． 故选：C. 7. 已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求出最小值，再建立不等式求解. 【详解】实数，则， 当且仅当时等号成立， 由恒成立，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 8. 四边形中，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对①，分别计算进行比较；对②，直接计算的面积并求其最值；对③，分段讨论求满足的面积为时值. 【详解】对于①，当时，， 而点从运动到，用时，则当时，从沿运动了， 所以， 所以，①正确； 对于②，当时，，， 所以， 因为函数在单调递增， 所以当时，取得最大值28，即的最大面积为，②错误； 对于③，当时，点在上运动；当时，点在上运动. 所以当时，，， 由，解得； 当时，的底边，高为， 由，解得， 所以有两个不同的值满足的面积为，③正确； 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项 9. 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（ ） A. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 【答案】AD 【解析】 【分析】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即，结合作差法逐项判断即可. 【详解】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即， 按采光标准，窗户面积与地板面积的比值，且当越大时，住宅的采光条件越好． 对于AB选项，当时，， 故，所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好，A对B错； 对于C选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 若，则，此时住宅的采光条件不变，C错； 对于D选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 所以若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差，D对. 故选：AD. 10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为正实数满足，则， 所以， 当且仅当时，取等号，所以A正确， 对于B，因为， 当且仅当时，取等号，得到，所以B错误， 对于C，因为，当且仅当时，取等号，得到，所以C正确， 对于D，因为， 当且仅当时，取等号，所以D正确， 故选：ACD. 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 有最大值 B. C. D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得，且，，据此可逐项判断求解. 【详解】对于A，因为不等式的解集为，所以，， 二次函数的图象开口向下，因此有最大值，故A正确； 对于BC，，3是关于的一元二次方程的两根， 则，所以，，则，故B正确，C错误； 对于D，不等式即为， 即，即， 解得（舍去）或， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为___________ 【答案】 【解析】 【分析】已知圆心角和母线长度，利用扇形弧长公式计算出扇形弧长，设圆锥底面半径为，则底面圆的周长等于扇形弧长，即，计算求解即可. 【详解】已知圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为， 则扇形弧长. 设圆锥底面半径为，则底面圆的周长等于扇形弧长， 所以. 故答案为：. 13. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．若，，则菱形的面积是___________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据菱形的面积公式，即可求得答案. 【详解】四边形是菱形，故对角线， 故菱形的面积为， 故答案为：15 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交轴于点，连接，则的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得双曲线方程，点B坐标，直线AB方程，设AB与x轴交于D点，由题可得为等腰直角三角形，据此可得C坐标，可得三角形面积. 【详解】因，在双曲线上，则，. 又，在上，则. 则直线方程为：. 设AB与x轴交于D，则，又，则为等腰直角三角形. 过A做AE垂直于x轴，则.对于，令，可得，则. 从而，又由三线合一，可得，则. 从而，又， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）当时，求与; （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算的定义即可求解， （2）分类讨论求解集合，即可列不等式求解. 【小问1详解】 当时，， 故， 由于，故， 【小问2详解】 当时，， 当时，， 若，则需满足或，解得 故 16. 已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． （1）若为假命题，求实数m的取值范围； （2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意为真命题，则有即可求解； （2）由p，q中一真一假，分真，假和假，真，两种情况分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意有：为假命题，所以为真命题， 又由方程有两个不相等的实数根， 所以， 所以实数m的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）有为真命题，则， 因为p，q中一真一假， 所以当真，假时，有， 当假，真时，有， 综上所述，， 所以实数m的取值范围为. 17. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． （1）现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ （3）若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【答案】（1）长为，宽为 （2）每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）． 【解析】 【分析】（1）先由题意得，，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. （3）法一：利用基本不等式“1”的代换可求得的最小值. 法二：利用基本不等式求得，进而可得的最小值. 【小问1详解】 由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． 【小问2详解】 由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． 【小问3详解】 依题意，得． 方法一： ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二：，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 18. 如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 连接. 因为，所以. 因为与相切于点，所以. 所以. 所以. 因为，所以. 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）作出必要的辅助线，先证明，然后得到，进而得到，证之. （2）先求得，然后求得，进而根据求得的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以. 因为， 所以，所以， 所以. 所以. 因为，所以. 所以. 所以. 所以的长是. 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点，点为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用对称轴及图象过点求出得解； （2）由取得最大值求出点坐标，构造平行四边形可得，再利用抛物线的对称性可得，即可转化为求最小值，利用三点共线转化为求； （3）由平移求出抛物线，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，可得出，设，利用求解. 【小问1详解】 由二次函数对称轴，可得， 又图象过点， 所以，解得， 所以抛物线的表达式为. 【小问2详解】 令，可得，即， 设直线解析式为， 代入两点可得， 解得，即直线解析式为， 设点， 过点作轴交于点，交轴于点，如图： 则点的坐标为， ， 轴，， ，， 当时，有最大值，此时， 把点向上平移4个单位长度得到点，故， 连接，则四边形是平行四边形， ，即， 由关于对称性可得点，且， 连接，则的最小值为长， 又， 即的最小值为. 【小问3详解】 ， ， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线， 即， 过点作轴于点，过点作轴于点，连接， 设点，由平移得， ， 若如图， ， 即，解得或（舍去）， 故， 若如图， ， ，解得或（舍去）， ， 综上，点的坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $