14.2 三角形全等的判定 讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年数学人教版八年级上册 第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定（讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解并掌握判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）以及推论角角边（AAS）。 2. 能够运用这些判定方法判断两个三角形是否全等。 3. 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。 4. 在探索和运用三角形全等判定方法的过程中，感受数学的严谨性，培养逻辑推理能力和空间观念。 知识点梳理 1. 回顾：全等三角形的定义 · 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。 · 思考：如果两个三角形的三条边对应相等，三个角对应相等，那么这两个三角形全等。但是，判定两个三角形全等是否一定需要这么多条件呢？ 2. 判定方法一：边边边（SSS） · 文字语言： 三边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“边边边”或“SSS”） · 符号语言： 已知在三角形ABC和三角形DEF中， AB = DE， BC = EF， AC = DF， 所以三角形ABC全等于三角形DEF（SSS）。 · 图形语言提示： 想象两个三角形，它们的三条边长度分别对应相等，那么这两个三角形就能完全重合。 3. 判定方法二：边角边（SAS） · 文字语言： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“边角边”或“SAS”） · 符号语言： 已知在三角形ABC和三角形DEF中， AB = DE， 角A = 角D， AC = DF， 所以三角形ABC全等于三角形DEF（SAS）。 · 图形语言提示： 注意这里的角是“夹角”，即夹在两条已知边中间的那个角。例如，边AB和边AC的夹角是角A。 4. 判定方法三：角边角（ASA） · 文字语言： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“角边角”或“ASA”） · 符号语言： 已知在三角形ABC和三角形DEF中， 角A = 角D， AB = DE， 角B = 角E， 所以三角形ABC全等于三角形DEF（ASA）。 · 图形语言提示： 这里的边是“夹边”，即夹在两个已知角中间的那条边。例如，角A和角B的夹边是AB。 5. 判定方法四：角角边（AAS） · 文字语言： 两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“角角边”或“AAS”） · 符号语言： 已知在三角形ABC和三角形DEF中， 角A = 角D， 角B = 角E， BC = EF， 所以三角形ABC全等于三角形DEF（AAS）。 · 图形语言提示： 这里的边是其中一个已知角的“对边”，即不是夹在两个角中间的边。例如，角A的对边是BC，角B的对边是AC。 6. 三角形全等判定的书写注意事项 · 在书写两个三角形全等的条件时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以更清晰地看出对应关系。 · 证明两个三角形全等时，需要列出三个条件，并且这三个条件必须是对应相等的。 易错点提醒 1. 对“SAS”中“夹角”的理解错误： 容易误将“两边和其中一边的对角对应相等”（即“SSA”）当作判定三角形全等的条件，实际上“SSA”不能判定两个三角形一定全等。一定要注意是“夹”在两条边中间的角。 2. 对“ASA”和“AAS”中“夹边”和“对边”的混淆： “ASA”是两角夹一边，“AAS”是两角及其中一角的对边，要注意区分边的位置。 3. 忽略对应关系： 在找对应边和对应角时，要仔细观察图形，或者根据已知条件中的字母顺序来确定对应关系，不能随意搭配。 4. 证明条件不充分： 判定三角形全等需要三个条件，不能只找到两个条件就下结论。 5. 书写不规范： 全等符号的使用，以及对应顶点字母的顺序要正确。 知识点总结 本小节主要学习了判定两个三角形全等的四种方法： 1. SSS（边边边）： 三边对应相等。 2. SAS（边角边）： 两边和它们的夹角对应相等。 3. ASA（角边角）： 两角和它们的夹边对应相等。 4. AAS（角角边）： 两角和其中一个角的对边对应相等。 这些方法是判断三角形全等的依据，它们都只需三个元素对应相等（但必须满足特定位置关系），就能判定两个三角形全等，比用全等三角形定义（六对元素对应相等）简便得多。在运用这些方法时，要注意准确理解每个方法的条件，特别是角和边的相对位置关系，并规范书写证明过程。 预习建议 1. 认真阅读教材： 仔细阅读课本中关于这四种判定方法的内容，包括文字描述、图形示例和例题。 2. 动手画图操作： 对于每种判定方法，可以尝试自己画出满足条件的两个三角形，看看它们是否一定全等，特别是对比“SSA”的情况，加深理解。 3. 结合图形记忆： 在记忆四种判定方法时，最好结合简单的图形在脑海中形成印象，理解每种方法的构成要素。 4. 尝试做课后简单练习： 看完知识点后，可以尝试做几道教材上的基础练习题，检验自己的预习效果，发现疑问。 5. 记录疑问： 将预习过程中不理解的地方或遇到的困难记录下来，带到课堂上向老师请教。 巩固练习 一、选择题 1．如图， 已知 与 相交于点 . 只添加一个条件， 能判定 的是( ) A． B． C． D． 2．如图，BC=BE，∠C=∠E，∠CBE=∠ABD，则下列结论错误的是（　　） A．∠A=∠D B．BF=BG C．AC=DE D．BA=BD 3． 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AC上的一点，且AD=BC，DE⊥AC于点 D，连接AE，AB=AE.若DE=8，BC=6，则CD的长为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC边上的中线AD=m，作法合理的顺序依次为（　　） ①延长CD到B，使BD=CD；②连接AB；③作△ADC，使DC=a，AC=b，AD=m． A．③①② B．①②③ C．②③① D．③②① 5． 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件为（　　） A．已知两角及夹边 B．已知三边 C．已知两边及夹角 D．已知两边及一边夹角 6．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学知识，说明画出的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 7．亮亮的直角三角板被折断一部分，留下的部分如图所示，很快他就根据所学知识画出一个与原三角板完全一样的三角形．其依据是（　　） A． B． C． D． 8．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 9．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③ 二、填空题 10．如图，∠EAD为锐角，C是射线AE上一点，点B在射线AD上运动(点A与点B不重合)，设点C到AD的距离为d，BC长度为a，AC长度为b，在点B运动过程中，b、d保持不变，当a满足　 　条件时，△ABC唯一确定. 11． 如图，在△ABC中，D为AC的中点，以点A 为圆心，AE长为半径作弧，交AB 于点 E，交AC于点 F，再以点 C 为圆心，AE长为半径作弧，交AC于点 G，再以点G为圆心，EF长为半径作弧，两弧交于点 H，连接 CH 并延长至点M，连接MD并延长交AB 于点 N.若 BN=3，CM=11，则AB 的长为　 　. 12．如图，坐标平面上，，若A点的坐标为，轴，B点的坐标为，D，E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为　 　． 13．如图，点在同一直线上，，添加条件：　 　，则可用证明． 14．如图，已知平分，添加一个条件后能够运用“”的方法判定，则这个条件是　 　 15．如图所示，已知，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD、OE，使；②分别以D、E为圆心，以DE长为半径画弧，在内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．则的度数为　 　． 16．如图所示，在平面坐标系中B（3，1），AB=OB，∠ABO=90°，则点A的坐标是　 　． 17．和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为　 　． 18．如图，在四边形中：，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是：　 　（填写正确的序号） 19．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积S是　 　 三、解答题 20．如图，点 在一条直线上， ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的大小． 21．在平面直角坐标系中，等腰中，，，，． （1）如图，若，求的面积； （2）如图，与轴交于点，与轴交于点，连接，，求证：； （3）如图，在的条件下，若以为直角顶点，为腰作等腰，连接，求证：． 22．如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． （1）如图1，若，求点C的坐标． （2）如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． （3）如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长． 参考答案 1．B 2．B 3．B 4．A 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．a=d或a≥b 11．14 12．4 13．∠B=∠D 14． 15． 16．（2，4） 17．50°或130° 18．③⑤⑥ 19．18 20．（1）证明：∵BE=CF， 点 在一条直线上 ∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF， ∵AB=DE，AC=DF，BC=EF， ∴ （SSS）。 （2）解：根据（1）题的证明结果， ∴∠ACE=∠F， ∵ 点 在一条直线上 ，∴AC∥DF， ∴∠EGC=∠D=45°。 21．（1）解：， ，， 解得，，， ，， ，， 的面积； （2）证明：作平分交于点， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， （3）证明：作平分交于点， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， 22．（1）解：如图：过点C作轴于点D， ∵B（2，0），A（0，4）， ∴OA=4，OB=2， ， ， 又∵， ， 在和中， ，， ∴ ，. ， ∴点C的坐标为(6，2)； （2）解：点C，D之间的距离是为定值，理由如下： 如图： 连结CD， ∵∠OBA+∠ABD=90°，∠DBC+∠ABD=90°， ∴∠OBA=∠DBC. 在△OAB和△DCB中， ∴△OAB≌△DCB（SAS）. ∴DC=AO=4； （3）解：如图： 过点C作轴于点F，由（1）可知，， ∴，. 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴. ∵， ． ∴， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$