21.1一元二次方程 导学案 2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“21.1一元二次方程”，通过回顾一元一次方程判断衔接旧知，设置雕像比例、铁皮制盒、排球比赛等情境问题，分关卡引导画图、找等量关系、列方程，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以现实情境培养学生用数学眼光观察世界，分步骤探究发展数学思维，问题解决后梳理方程总结概念强化数学语言表达，互动选项与分层任务设计，助力自主学习与教师教学评估，提升核心素养。

21.1一元二次方程 1、 回顾知识，选择你最心仪的答案。 1、 判断下列哪些是一元一次方程： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥⑦⑧⑨⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ 我的心仪选项是 2、 下列哪个是的根（解）？ A. B. C. D. 我的心仪选项是（ ） 2、 动动脑筋，完成以下挑战。 1、 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感。按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应该设计为多高？ ( 第1关：你能根据题意用草图（示意图/线段图）的形式画出来吗？ （提示：将整个雕像看作是一条直线） 第2关：结合题意，若设雕像下部高为 cm，根据你所画的草图，得到的等量关系是 （ 或题目中的哪句话是表示等量关系？） 第3关：若设雕像下部高为 cm，可得方程为： ) 2、 如图，有一些矩形铁皮，长100cm，宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ ( 第1关：请在左图中标出矩形铁皮的长与宽； 第2关：若设切去的正方形的边长为 cm,则盒底的长为 cm, 宽为 cm. 第3关：结合题意，由无盖方盒底面积公式可得方程： ) 3、 ( 第1关：全部比赛的场数为： 第2关：若应邀请10个队参赛，每个队要与其他 个队各赛一场； 若设 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛一场，甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛吗？ 若是，则全部比赛共 场。 第3关：根据题意，可得方程为 )要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 4、 将以上三题的方程分别整理可得： 、 、 3、 眼看手动，总结相关概念。 1、 ( ① 都是 方程； ② 只含有 个未知数； ③ 未知数的最高次数是 ； ④ 都是最简形式。 )眼睛观察：以上三个方程有什么共同点？ 2、 动手写一写： 满足一元二次方程的条件 3、 写一个一元二次方程 4、 总结一元二次方程的相关概念： ①一般地，等号两边都是 式，只含有 个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做一元二次方程。 ②一元二次方程的一般形式是 （ ） 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 思考：为什么一般形式中，要限制，b,c可以为零吗？ （1） 当时，方程为 ⇒ 方程 （2） 当时，方程为 ⇒ 方程 （3） 当时，方程为 ⇒ 方程 （4） 当时，方程为 ⇒ 方程 ( 这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 )③一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边 的未知数的值就是 21.1一元二次方程 一、回顾知识，选择你最心仪的答案。 1、判断下列哪些是一元一次方程： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥⑦⑧⑨⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ 我的心仪选项是 ①②③⑥⑦⑪ 2、下列哪个是的根（解）？ A. B. C. D. 我的心仪选项是（ A ） 二、动动脑筋，完成以下挑战。 1、在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感。按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应该设计为多高？ ( C ) ( B ) ( A ) ( 第1关：你能根据题意用草图（示意图/线段图）的形式画出来吗？ （提示：将整个雕像看作是一条直线） 第2关：结合题意，若设雕像下部高为BC，根据你所画的草图，得到的等量关系是 AC:BC=BC:2 （ 或题目中的哪句话是表示等量关系？） 第3关：若设雕像下部高为 cm，可得方程为： ) 2、如图，有一些矩形铁皮，长100cm，宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ ( 第1关：请在左图中标出矩形铁皮的长与宽； 第2关：若设切去的正方形的边长为 cm,则盒底的长为 （100-2x) cm,宽为 (50-2x) cm. 第3关：结合题意，由无盖方盒底面积公式可得方程： （100-2x) (50-2x)=3600 ) ( 第1关：全部比赛的场数为： 4 × 7=28 第2关：若应邀请10个队参赛，每个队要与其他 9 个队各赛一场； 若设 个队参赛，每个队要与其他 （x-1） 个队各赛一场，甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛吗？ 是 若是，则全部比赛共 场。 第3关：根据题意，可得方程为 )3、要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 4、将以上三题的方程分别整理可得：、、 三、眼看手动，总结相关概念。 1、 ( ① 都是 整式 方程； ② 只含有 1 个未知数； ③ 未知数的最高次数是 2 ； ④ 都是最简形式。 )眼睛观察：以上三个方程有什么共同点？ 2、 动手写一写： 满足一元二次方程的条件 3、 写一个一元二次方程 4、 总结一元二次方程的相关概念： ①一般地，等号两边都是 整 式，只含有 1 个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。 ②一元二次方程的一般形式是 （ a≠0，b,c是常数 ） 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 c 思考：为什么一般形式中，要限制，b,c可以为零吗？ （5） 当时，方程为 ⇒ 一元一次 方程 （6） 当时，方程为 ⇒ 一元二次 方程 （7） 当时，方程为 ⇒ 一元二次方程 （8） 当时，方程为 ⇒一元二次 方程 ( 这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 )③一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边 相等 的未知数的值就是 学科网（北京）股份有限公司 $$