学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（沪科版第21章 二次函数与反比例函数～第22章 相似形）

( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空题 （ 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ） 1 1 ． ____________________ 1 2 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ 三 、解答题 （ 本题共 9 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 ．（ 8 分） 1 7 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） 19 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 10 分） 21 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ．（ 14 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版二次函数与反比例函数~相似形。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）下列二次函数中，其图象的顶点在轴上的是（   ） A． B． C． D． 2．（4分）若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（4分）已知关于的反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的二次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（4分）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　） A． B． C． D． 或 5．（4分）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 6．（4分）抛物线（）上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 7．（4分）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（    ） A．6 B． C．3 D． 9．（4分）如图，在中，点为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（    ） A． B． C． D． 10．（4分）如图，边长为4的菱形中，，现将一条垂直于对角线的直线从点出发，以每秒1个单位的速度向点匀速平移，交或于点，交或于点，设的面积为（当直线过点或点时，规定），运动时间为，则关于的函数图象是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）已知，则 ． 12．（5分）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交 于点B．若，则 ． 13．（5分）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 14．（5分）如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则 ； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（8分）已知抛物线． (1)求这条抛物线顶点的坐标及对称轴； (2)当时，直接写出的取值范围． 16．（8分）已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC． (1)以点C为位似中心，在图中画出，使△ABC与的对应边之比为，且点在的延长线上． (2)在图中画出，使得△ABC∽△DAB，且点D在的下方，． 18．（8分）设二次函数，的图像顶点坐标分别为，，若，，且图像开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”． (1)如果是二次函数的一个“同倍项二次函数”，则______，______，______（写出一种符合题意的，，的值即可）； (2)已知关于的二次函数和二次函数，若是的“同倍项二次函数”，求的值． 19．（10分）张师傅有一块如△ABC的锐角三角形木料，其中，高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (2)若这个零件长是宽的2倍，求这个零件的长和宽？ 20．（10分）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 21．（12分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边，上，、的延长线相交于点F． (1)如图1，若，，，，求的长； (2)如图2，若，求证． 22．（12分）某超市在春节前夕，购进一批大米，每袋进价30元，超市规定每袋售价不得少于40元．根据以往销售经验发现：当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋． (1)试求出每天的销售量y袋与每袋售价x元之间的函数关系式； (2)当每袋售价定为多少元时，每天销售的利润T元最大？最大利润是多少？ (3)如果这种大米的每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售大米多少袋？ 23．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作 轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为． ①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值； ②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版二次函数与反比例函数~相似形。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）下列二次函数中，其图象的顶点在轴上的是（   ） A． B． C． D． 2．（4分）若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（4分）已知关于的反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的二次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（4分）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　） A． B． C． D． 或 5．（4分）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 6．（4分）抛物线（）上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 7．（4分）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（    ） A．6 B． C．3 D． 9．（4分）如图，在中，点为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（    ） A． B． C． D． 10．（4分）如图，边长为4的菱形中，，现将一条垂直于对角线的直线从点出发，以每秒1个单位的速度向点匀速平移，交或于点，交或于点，设的面积为（当直线过点或点时，规定），运动时间为，则关于的函数图象是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）已知，则 ． 12．（5分）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交 于点B．若，则 ． 13．（5分）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 14．（5分）如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则 ； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（8分）已知抛物线． (1)求这条抛物线顶点的坐标及对称轴； (2)当时，直接写出的取值范围． 16．（8分）已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC． (1)以点C为位似中心，在图中画出，使△ABC与的对应边之比为，且点在的延长线上． (2)在图中画出，使得△ABC∽△DAB，且点D在的下方，． 18．（8分）设二次函数，的图像顶点坐标分别为，，若，，且图像开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”． (1)如果是二次函数的一个“同倍项二次函数”，则______，______，______（写出一种符合题意的，，的值即可）； (2)已知关于的二次函数和二次函数，若是的“同倍项二次函数”，求的值． 19．（10分）张师傅有一块如△ABC的锐角三角形木料，其中，高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (2)若这个零件长是宽的2倍，求这个零件的长和宽？ 20．（10分）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 21．（12分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边，上，、的延长线相交于点F． (1)如图1，若，，，，求的长； (2)如图2，若，求证． 22．（12分）某超市在春节前夕，购进一批大米，每袋进价30元，超市规定每袋售价不得少于40元．根据以往销售经验发现：当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋． (1)试求出每天的销售量y袋与每袋售价x元之间的函数关系式； (2)当每袋售价定为多少元时，每天销售的利润T元最大？最大利润是多少？ (3)如果这种大米的每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售大米多少袋？ 23．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作 轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为． ①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值； ②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版二次函数与反比例函数~相似形。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）下列二次函数中，其图象的顶点在轴上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了二次函数图象顶点坐标的求法，常用方法是利用配方法求出顶点坐标，或者利用二次函数顶点坐标公式求顶点坐标．根据二次函数的性质分别求出各抛物线的顶点坐标，即可求解． 【详解】解：A．二次函数图象的顶点是，不在x轴上，故不符合题意； B．二次函数图象的顶点是，不在x轴上，故不符合题意； C．二次函数图象的顶点是，在x轴上，符合题意； D．二次函数图象的顶点是，不在x轴上，故不符合题意． 故选：C． 2．（4分）若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需要根据二次函数图象平移的规律，逐步分析函数图象平移后的解析式．主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵ 二次函数的图象向右平移个单位长度，根据“左加右减”的原则， ∴ 得到； ∵ 再将向上平移个单位长度，根据“上加下减”的原则， ∴ 平移后的二次函数解析式为． 故选：． 3．（4分）已知关于的反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的二次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】考查反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质，先由反比例函数图象与性质得到，再由二次函数图象与性质从四个方面得到草图即可确定答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：关于的反比例函数的图象位于第一、三象限， ，解得， 关于的二次函数为， 由知，它的图象开口向上； 由对称轴知，它的对称轴在负半轴上； 由知，它与轴交于正半轴上； 由知，它与轴有两个不相同的交点； 由上面的结论，作出草图，如图所示： 即关于的二次函数的图象不经过第四象限， 故选：D． 4．（4分）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　）    A． B． C． D． 或 【答案】A 【分析】由抛物线的对称性及抛物线经过可得抛物线与轴另一交点坐标，进而求解． 【详解】解：抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线经过， ∴时，，即 故选：A． 5．（4分）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据，得到，即可求出答案． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 6．（4分）抛物线（）上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，得出答案． 【详解】解∶A、由表格中点，,可知抛物线的对称轴是直线，不符合题意； B、根据拋物线（）的对称轴是直线，当时，y随的增大而减小，得出抛物线开口向下，B、C不符合题意； D、根据抛物线的对称轴是直线，图象过点，则根据二次函数的对称性得当时，，符合题意； 故选∶D． 7．（4分）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，代入值即可求出． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为， ∴ ， 故选：B． 8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】考查反比例函数与几何综合，延长，交轴于点，有轴，根据平移的特点证明四边形为菱形，得到，设，则，，由与都在反比例函数图象上，建立等式，求得值，再利用勾股定理求得值，即可解题． 【详解】解：延长，交轴于点，由题意知，轴， 沿y轴向上平移3个单位长度至，且， ，， 四边形为菱形， ， 设，则， ，且点D为的中点， ， 与都在反比例函数图象上， ，解得，即， ， ，即， ，即． 故选：B． 9．（4分）如图，在中，点为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． 设，根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式推出，，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出，即可求解． 【详解】解：设， 在平行四边形中，点为上一点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 10．（4分）如图，边长为4的菱形中，，现将一条垂直于对角线的直线从点出发，以每秒1个单位的速度向点匀速平移，交或于点，交或于点，设的面积为（当直线过点或点时，规定），运动时间为，则关于的函数图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】设交于点，分和，两种情况求出关于的函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：设交于点， ∵菱形中，，， ∴， ∴和为等边三角形， ∴， ∵直线从点出发，以每秒1个单位的速度由点向点匀速平移，直线， ∴；运动时间为t时，， 当时， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴图象是开口向上的抛物线的一段； 当时，，则：， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 图象为开口向下的抛物线的一段； 综上：符合题意的只有D选项； 故选：D． 二、填空题（共20分） 11．（5分）已知，则 ． 【答案】// 【分析】主要考查了比例的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 设可得，然后代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 12．（5分）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则 ． 【答案】 【分析】考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据，列出方程，求出k的值． 【详解】解：如图，延长交x轴于点C， ∵过上任意一点作y轴的平行线交于点B． ∴，， ∵，， ∴， 解得，， ∵在第二象限内， ∴， ∴ 故答案为：． 13．（5分）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，在时取得最小值， 当，函数的最小值为2， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为或． 14．（5分）如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则 ； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 【答案】 / 2 【分析】考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，推出即可求解； （2）证明，推出，由得，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2． 三、解答题（共90分） 15．（8分）已知抛物线． (1)求这条抛物线顶点的坐标及对称轴； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； (2)当时，． 【分析】考查了二次函数的性质． （1）先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，，当时，， ∴当时，． 16．（8分）已知 ，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)10 【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答； （2）利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ，且， ， 的值为2； （2）解： ， ， ， ， ， 的值为10． 17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的． (1)以点C为位似中心，在图中画出，使与的对应边之比为，且点在的延长线上． (2)在图中画出，使得，且点D在的下方，． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解． 【分析】主要考查了作图——位似变换我，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与以静制动是正确解答此题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）由题意得，与的相似比为，结合相似三角形的判定与性质画图即可． 【详解】（1）解：因为与的对应边之比为，且点在的延长线上．如图，延长至，使，延长至，使，连接，即为所求； （2）解：，且点D在的下方，． ， ， 在下方作以为直角边的等腰直角，即为所求． 18．（8分）设二次函数，的图像顶点坐标分别为，，若，，且图像开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”． (1)如果是二次函数的一个“同倍项二次函数”，则______，______，______（写出一种符合题意的，，的值即可）； (2)已知关于的二次函数和二次函数，若是的“同倍项二次函数”，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】考查二次函数的图象与性质，理解“同倍顶二次函数”的定义是解答的关键． （1）先求出二次函数的顶点式为，二次函数的顶点为，最后根据“同倍顶二次函数”的定义求解即可； （2）先分别将、的顶点式表达出来，进而得到两个函数的顶点坐标，最后根据“同倍顶二次函数”的定义求解即可． 【详解】（1）解： ，， 该函数开口向上，顶点坐标为， 二次函数的顶点为，且是二次函数的一个“同倍项二次函数”， ，，， ，，， 故答案为：，，； （2） ， 其图像的顶点为， ， 其图像的顶点为， 是的“同倍项二次函数”， ， 解得：． 19．（10分）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (2)若这个零件长是宽的2倍，求这个零件的长和宽？ 【答案】(1) (2) 【分析】考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合正方形的性质，得出，得，再结合相似三角形的高的比等于相似比，列式计算，即可作答． （2）结合矩形的性质，得出，得，再结合相似三角形的高的比等于相似比，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设这个零件的边长为r， ∵四边形为正方形，且的高，边， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 这个零件的边长为； （2）解：依题意，设这个零件的边， ∵四边形是矩形，且的高，边， ∴， ∴， ∴（相似三角形的高的比等于相似比）， ∴， 解得． ∴这个零件的长、宽分别是． 20．（10分）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点坐标，最远求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点M的坐标，找出反比例函数图象位于一次图象上方时的范围即可； （3）先求出，得出，设点坐标为，得出，求出c即可得出答案． 【详解】（1）解：一次函数（）的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的表达式是； 在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， 点在反比例函数（）的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； （2）解：解方程组， 得或， 点坐标为， 点坐标为， 由图象可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）解：点坐标为，点坐标为， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ， 解得， 点坐标为或． 21．（12分）如图，在中，点D，E分别在边，上，、的延长线相交于点F． (1)如图1，若，，，，求的长； (2)如图2，若，求证． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】考查的是相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解的关键； （1）先证明，再利用相似三角形的性质进行求解即可； （2）如图，过作于，证明，，再利用相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图，过作于， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 22．（12分）某超市在春节前夕，购进一批大米，每袋进价30元，超市规定每袋售价不得少于40元．根据以往销售经验发现：当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋． (1)试求出每天的销售量y袋与每袋售价x元之间的函数关系式； (2)当每袋售价定为多少元时，每天销售的利润T元最大？最大利润是多少？ (3)如果这种大米的每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售大米多少袋？ 【答案】(1)； (2)定价为47.5，T有最大利润为6125元； (3)380袋． 【分析】考查了二次函数的销售盈利，一次函数的解析式以及图象性质，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋，则，再化简，即可作答． （2）根据每袋进价30元，且，则，即可作答． （3）根据每袋售价不高于46元，每天获得不低于6000元的利润，得，再结合一次函数的图象性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，当每袋售价x元时，则， 依题意，（元） 即； （2）解：依题意， ， 当时，T有最大利润为6125元； （3）解：∵每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润 ∴，且， 解得， ∴， ∵中的随的增大而减小， ∴当时，， 即． 答：超市每天至少销售大米380袋． 23．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为． ①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值； ②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值． 【答案】(1) (2)①的最小值为；②t的值为或7 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①设点，点，则，即可求解； ②进行分类讨论且分别逐个情况作图，结合平行四边形的性质以及二次函数的图象性质，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：分别把点和点代入抛物线中， 得：， 解得：； ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：①∵点B的坐标为，且点C的横坐标比点B的横坐标小2， ∴点C的坐标为． ∵轴交抛物线于点D，轴交抛物线于点E， ∴点D的坐标为，点E的坐标为． 即，， ∴． ∵，即开口向上 ∴当时，的值最小，最小值为． ②ⅰ）如图1，当时，点D和点E均在x轴的下方， 图1 ∴，， 以点B，D，C，E为顶点的四边形面积： 化简得， 解得：，． ⅱ）当时，点B和点D重合，不能构成四边形，故舍去； ⅲ）如图2，当时，点D在x轴的上方，点E在x轴的下方， 图2 ∴，，， 以点B，D，C，E为顶点的四边形面积： 解得：． ⅳ）当时，点C和点E重合，不能构成四边形，故舍去； ⅴ）如图3，当时，点D和点E均在x轴的上方， 图3 ∴，， 以点B，D，C，E为顶点的四边形面积： 化简得， ∴ 则 解得：（舍去），（舍去）． 综上所述：t的值为或7． 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A B D B B A D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11． 12． 13．或 14． 2 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（8分） 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；（4分） （2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，，当时，， ∴当时，．（8分） 16．（8分） 【详解】（1）解： ，且， ， 的值为2；（4分） （2）解： ， ， ， ， ， 的值为10．（8分） 17．（8分） 【详解】（1）解：因为与的对应边之比为，且点在的延长线上．如图，延长至，使，延长至，使，连接，即为所求； （4分） （2）解：，且点D在的下方，． ， ， 在下方作以为直角边的等腰直角，即为所求． （8分） 18．（8分） 【详解】（1）解： ，， 该函数开口向上，顶点坐标为， 二次函数的顶点为，且是二次函数的一个“同倍项二次函数”， ，，， ，，， 故答案为：，，；（3分） （2） ， 其图像的顶点为， ， 其图像的顶点为， 是的“同倍项二次函数”， ， 解得：．（8分） 19．（10分） 【详解】（1）解：设这个零件的边长为r， ∵四边形为正方形，且的高，边， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 这个零件的边长为；（5分） （2）解：依题意，设这个零件的边， ∵四边形是矩形，且的高，边， ∴， ∴， ∴（相似三角形的高的比等于相似比）， ∴， 解得． ∴这个零件的长、宽分别是．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：一次函数（）的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的表达式是； 在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， 点在反比例函数（）的图象上， ， ， 反比例函数表达式为；（3分） （2）解：解方程组， 得或， 点坐标为， 点坐标为， 由图象可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值；（6分） （3）解：点坐标为，点坐标为， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ， 解得， 点坐标为或．（10分） 21．（12分） 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴；（6分） （2）如图，过作于， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴．（12分） 22．（12分） 【详解】（1）解：依题意，当每袋售价x元时，则， 依题意，（元） 即；（3分） （2）解：依题意， ， 当时，T有最大利润为6125元；（7分） （3）解：∵每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润 ∴，且， 解得， ∴， ∵中的随的增大而减小， ∴当时，， 即． 答：超市每天至少销售大米380袋．（12分） 23．（14分） 【详解】（1）解：分别把点和点代入抛物线中， 得：， 解得：； ∴该抛物线的函数表达式为．（3分） （2）解：①∵点B的坐标为，且点C的横坐标比点B的横坐标小2， ∴点C的坐标为． ∵轴交抛物线于点D，轴交抛物线于点E， ∴点D的坐标为，点E的坐标为． 即，， ∴． ∵，即开口向上 ∴当时，的值最小，最小值为．（7分） ②ⅰ）如图1，当时，点D和点E均在x轴的下方， 图1 ∴，， 以点B，D，C，E为顶点的四边形面积： 化简得， 解得：，． ⅱ）当时，点B和点D重合，不能构成四边形，故舍去； ⅲ）如图2，当时，点D在x轴的上方，点E在x轴的下方， 图2 ∴，，， 以点B，D，C，E为顶点的四边形面积： 解得：． ⅳ）当时，点C和点E重合，不能构成四边形，故舍去； ⅴ）如图3，当时，点D和点E均在x轴的上方， 图3 ∴，， 以点B，D，C，E为顶点的四边形面积： 化简得， ∴ 则 解得：（舍去），（舍去）． 综上所述：t的值为或7．（14分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题 （ 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ） 1 1 . ________________ 1 3 . ________________ 1 2 . ________________ 1 4 . ________________ 三 、解答题 （ 本题共 9 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16 ．（ 8 分） 17 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） 19 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 10 分） 2 1 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（1 4 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单项选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．） 11.________________ 13. ________________ 12. ________________ 14. ________________ 三、解答题（本题共 9小题，共 90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 学科网（北京）股份有限公司 16．（8分） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 18．（8分） 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 20．（10分） 21．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（8分） 17．（8分） 18．（8分） 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、单项选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10[A] [B] [C] [D] 二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 三、解答题（本题共 9小题，共 90分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．） 15．（8分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！