专题23.2 相似三角形（高效培优讲义）数学华东师大版九年级上册

专题23.2 相似三角形 1.相似三角形的判定定理的理解与应用。（重点） 2.相似三角形性质的灵活运用，尤其是 “面积比等于相似比的平方” 与 “线段比（相似比）” 的区别与联系。（重点） 3.复杂图形中相似三角形的识别与对应关系的确定。（难点） 4.判定定理的灵活选择与证明思路的构建。（难点） 5.相似三角形性质与实际问题的结合（难点） 知识点1 相似三角形 1.定义 对应边成比例、对应角相等的三角形相似·反之:两个三角形相似，对应边成比例、对应角相等 2.表示方法 相似用符号＂ ＂来表示，读作＂相似于＂。例如 与 相似，记作＂＂，读作 ＂ 相似于 ＂。 3.相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比，当相似比为1时两个三角形全等 用符号“”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，相似三角形的相似比具有顺序性。 知识点2 平行线截三角形相似的定理 定理 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似 根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有 ，图（1）（2）很像大写字母 ，故我们称之为 ＂A＂型相似；图③很像大写字母X，故我们称之为X”型相似(也像阿拉伯数字“8”） 知识点3 由角的关系判定三角形相似 1.相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似. 特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似 由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角，一般地，相等的角是对应角，如:公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件 2.常见的相似三角形的类型 （1）平行线型：如图①，若 ，则 . （2）斜交线型：如图②，若 ，则 . （3）子母型：如图③，若 ，则 . （4）＂K＂型：如图④，若 ，则 ，整体像一个横放的字母 K ，所以称为“K”型相似. 知识点4 由边角关系判定三角形相似 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 数学语言：如图，在 和 中，∵ 知识点5 由三边关系判定三角形相似 相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似， 数学语言：如图，在 和 中， 由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可 应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况 知识点6 相似三角形对应线段的比 1.相似三角形对应线段的比 相似三角形对应边上的高的比、中线的比、对应角的平分线的比都等于相似比.即相似三角形对应线段的比等于相似比 (1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段; (2)相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序 2.相似三角形周长的比 相似三角形的周长之比等于相似比 知识点7 相似三角形面积的比 1．相似三角形面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方．若 ，且它们的相似比为 ，则 . 面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的比、周长的比等于相似比混淆． 2.相似多边形面积的比 相似多边形面积的比等于相似比的平方 两个相似三角形，各角对应都相等各边对应成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 知识点8 利用相似测量物体的高度 1.利用影长测量物体的高度 (1)测量原理:同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影长成比例 (2)测量方法:在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的影长、待测物体的影长和测量者的身高，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量测量者与被测物体的影长 2.利用直尺或标杆测量物体的高度 (1)测量原理:用直尺或标杆的长(高)作为三角形的边,利用视点和盲区构造相似三角形 (2)测量方法:借助直尺或标杆测量物体高度 使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，观测者的眼睛、直尺顶(底)端和被测物体顶(底)端必须“三点共线”，标杆或直尺与地面要垂直，被测物体底部必须可到达 3.利用镜子的反射测量物体的高度 (1)测量原理:利用镜子的反射，根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形 (2)测量方法:测出观测者站立点与镜面标记点的距离待测物体底部与镜面标记点的距离以及观测者眼睛距地面的高度，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置. 利用物理学中的“反射角等于入射角”及数学中的“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等 知识点9 利用相似测量宽度 1.测量原理 测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离 2.常见的测量方式 (1)构造“A”型相似，如图①② (2)构造“X”型相似，如图 利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤: 1.利用标杆等构造相似三角形: 2.测量与表示未知量的线段相对应的线段，以及另外任意一组对应边的长度: 3.画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量 4.检验并得出答案. 题型一、利用两角对应相等判定相似 例1（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出，中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的高线与边交于点D，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了基本尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线及相似三角形的判定，熟知基本作图方法及相似三角形的判定定理是正确解答此题的关键． （1）根据基本尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线，以为圆心，长为半径画弧，交于，分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，作射线，交于，即可； （2）用两角对应相等即可证明． 【详解】（1）解：如图所示：以为圆心，长为半径画弧，交于，分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，作射线，交于，即为中边上的高； （2）证明： ， ， ， ， 又， ． 1-1（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．， ， 即， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．， ， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 1-2（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 1-3（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出．根据，即可证明结论． 【详解】证明：，， ，， ． ，， ． ． 1-4（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，已知和线段，，请用尺规作图法，以为边在上方求作，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作一个角等于已知角、相似三角形的判定、等腰三角形的性质，先作，再在上截取，连接，根据等腰三角形的性质得到，进而可得，则即为所求． 【详解】解：如图，即所求．（作法不唯一） 题型二、相似三角形的判定综合 例2（24-25九年级上·安徽六安·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故本选项不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故本选项符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 2-1（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形判定的方法． 根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，选项错误； 选项，阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，选项错误； 选项，，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，选项错误； 选项，夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，符合题意，选项正确． 故选：． 2-2（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断A不符合题意； 根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，可判断B不符合题意； 根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断C不符合题意； 由对应成比例的边所夹的角不相等，可知阴影三角形与原三角形不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、且，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，阴影三角形已知两边所夹的角是，原三角形已知两边所夹的角是 ， ，故两三角形不相似，故本选项符合题意； 故答案为D． 2-3（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（　　） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故不符合题意； 故选：C． 2-4（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 题型三、选择或补充条件使两个三角形相似 例3（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，使成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和运用相似三角形的判定定理是解题的关键．因为，则和只有一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断A不符合题意；由于不是和的对应角相等，则和只有与∠A这一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断B不符合题意；由，，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断C符合题意；因为，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，不能判定和相似，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，和只有一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故A不符合题意； ∵不是和的对应角相等， ∴和只有与这一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故B不符合题意； ∵，， ∴， 故C符合题意； ∵，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件， ∴由，，不能判定和相似， 故D不符合题意， 故选：C． 3-1（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得， A、当时，不能推断，故本选项符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，，则，故本选项不符合题意； 故选：A． 3-2（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、添加， ∴，原选项不符合题意； 、添加， ∴，原选项不符合题意； 、添加， ∴，原选项不符合题意； 、添加， ∴不能判定，原选项符合题意； 故选：． 3-3（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，下列条件中不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得； 故A不符合题意； B．∵，， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得； 故B不符合题意； C．若， ∵与的夹角，与的夹角，不一定相等， ∴不能推出； 故C符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得； 故D不符合题意； 故选：C． 3-4（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知的三边长分别为，，，的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的三角形相似，根据三边对应成比例的三角形相似得判定方法逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 、∵， ∴能判定两个三角形相似，符合题意； 、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 故选：． 题型四、利用相似三角形的性质求解 例4（24-25九年级上·重庆·期中）两个相似三角形的周长比为，那么这两个三角形的面积比为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个三角形的面积比为； 故选C． 4-1（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形性质，根据相似三角形周长的比等于相似比求解，即可解题． 【详解】解：，相似比为， 的周长的周长， 的周长是9， 的周长为； 故选：C． 4-2（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出比例关系式求出的长即可． 【详解】解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为3或． 故选：C． 4-3（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知与相似，，则的长可能是（    ） A．2 B．4.5 C．9 D．9.6 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据与相似，由对应边成比例分三种情况列出比例式求解即可求得的长，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，注意分情况讨论． 【详解】解：当时， ∴，即， 则； 当时， ∴，即， 则； 当时， ∴，即， 则； 故选：C． 4-4（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是 ． 【答案】60 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，平角的定义，推出即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵A，C，E三点在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：60 题型五、在网格中画与已知三角形相似的三角形 例5（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 综上所述， 故选：D．正确的画法有4个． 5-1（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．由相似三角形的判定，三角形的三边对应成比例，两三角形相似即可判断． 【详解】根据勾股定理可知： ， 三边比为： 根据格点图及勾股定理知 A．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； B．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； C．三角形的三边比为：，故本选项符合题意； D．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； 故选择：C 5-2（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 5-3（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 5-4（23-24九年级上·福建三明·期中）正方形网格中，小格的顶点叫做格点．三个顶点都在网格上的三角形叫做格点三角形．小华已在左边的正方形网格中作出了格点，每个小正方形的边长都是1． (1)请说明是直角三角形． (2)请你在右边的两个正方形网格中各画出两个不同的格点三角形，使得三个网格中的格点三角形都相似（不包括全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是： （1）分别求出的三边的平方，再根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据三边对应成比例的三角形相似画图并证明即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ，，， 则， ∴是直角三角形； （2）如图，，即为所求． 其中，∵，，， 由图可得：，，， ，，， ∴，， ∴，． 题型六、相似三角形--动点问题 例6（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒 【答案】2或 【分析】本题考查相似三角形的性质，一元一次方程的运用，根据相似三角形的性质分情况①当时，②当时，讨论建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意，设经秒后，， 由于，，， ①当时， ． 解得． 故经过秒时，． ②当时， ． 解得． 故经过秒时，． 故答案为：或． 6-1（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过 s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 分两种情况分别计算，①设经过x秒后，得，②设经过秒x后，得，代入用x表示的线段计算即可． 【详解】解：∵点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，cm，cm． ∴，， ①设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ②设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ∴经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 6-2（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过 秒后和相似？ 【答案】或2 【分析】设经过秒两三角形相似，分别表示出、的长度，再分①与边是对应边，②与边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边、的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错． 【详解】解：设经过秒后和相似． 则，， ，， ， ①与边是对应边，则， 即， 解得， ②与边是对应边，则， 即， 解得． 综上所述，经过秒或2秒后和相似． 故答案为：或2． 6-3（24-25九年级上·四川内江·期中）在中，，，．现有动点P从点A出发，沿线段向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动．如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为．当 秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】2或 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】解：由题意得，，则， ∵，， ∴当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得． 因此秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故答案为：2或． 6-4（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质．分时， 时两种情况计算即可求解． 【详解】解；根据题意，， 在矩形中，，则 ①当时，，有：，解得， 即当时，； ②当时，，有：，解得， 即当时，； 所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 题型七、相似三角形的判定与性质综合 例7（24-25九年级上·重庆黔江·期中）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定．根据勾股定理求出，根据，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7-1（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点E，已知，，，，，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．作交于点F，则，由，得，则，求得，，所以，再证明，得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交于点F，如图所示： 则， ∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7-2（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 7-3（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，，平分交于点D，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出，设，则，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴, 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴。 故答案为：． 7-4（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）因为四边形是平行四边形，可知，，又因为，，可知，可求证； （2）因为，可知，因为是直角三角形，由勾股定理可知即可求得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， 由（1），知； ， 即， ，， . 在中，，，， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形边长比例关系，熟练掌握相似三角形的相关性质以及直角三角形勾股定理应用是解题的关键． 题型八、重心的有关性质 例8（24-25九年级上·上海·期中）在中，已知是中线，点G是重心，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的重心，三角形的面积，由，得到，由三角形重心的性质得到，因此，得到，于是，关键是由三角形重心的性质得到，由三角形面积公式得到，． 【详解】解：如图， 是△的中线， ， ， 是△的重心， ， ， ， ． 故答案为：． 8-1（24-25九年级上·浙江·期中）如图，的中线，交于点G，且的面积为12，则结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】B 【分析】该题主要考查了三角形的中线，三角形的重心等知识点，解题的关键是掌握三角形的重心． 根据题意得出点G是的重心，即可得出，，再根据三角形中线平分三角形的面积即可判断D，A选项不能证明，C选项需证明，才能得出，即，即需要证明，但题目不能证明，C选项不能证明． 【详解】解：∵，是的中线，点G是的中线的交点， ∴点G是的重心， ∴，，故B正确； ∵，是的中线，的面积为12， ∴， ∵是的中线， ∴点D是的中点， ∴， ∵， ∴，故D错误； 选项A不能证明； C选项需证明，才能得出，即， 而这需要证明，但题目不能证明，故选项C不能证明； 故选：B． 8-2（24-25九年级上·上海·期中）在中，点G为重心，若边上的高为6，则点G到边的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．连接并延长交于E，过点G作于H，根据三角形的重心的性质可得，证明，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于E，过点G作于H， ∵点G为的重心， ∴， ∴， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 即点G到边的距离为2． 故答案为：2． 8-3（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，的两条中线、交于点，若，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形重心的定义和性质，掌握三角形三边中线的交点为三角形的重心和重心的性质是解题关键．根据题意得出点F为的重心，即得出． 【详解】解：∵的两条中线、交于点， ∴点F即为的重心， ∴． 故答案为：2． 8-4（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，点为的重心，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别是的中点，连接交于点，则是的重心，连接， ∵分别是的中点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵点是斜边上的中点， ∴ ∴， 故答案为：． 题型九、相似三角形实际应用 例9（24-25九年级上·湖南株洲·期中）已知轴上有点，轴上有点，直线交轴的正半轴于点，交轴于点，若与相似（点是坐标原点），则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题得，，得到，根据相似三角形的性质得到或求出或，得到或，即可得到答案． 【详解】解：， ， ； 直线交轴的正半轴于点，交轴于点， ， ， ， 或 或， 或， 当时，， 代入得， 解得； 当时，， 代入得， 解得， 综上所述，的值为或， 故选：D． 9-1（24-25九年级上·全国·期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴ ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴ 即小孔到的距离为， 故选：C． 9-2（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．设小明的身高为，则灯杆的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，理解相似三角形的对应线段成比例是解题的关键． 先设米，当小明在、两处时分别得出三角形相似，列出线段对应的比例式，求出，再代入即可求解． 【详解】解：设米， 由相似三角形性质： 当小明在处时，，则， 当小明在处时，，则， ， 解得，， 经检验，是方程的解， 将代入， 解得． 答案：A． 9-3（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知，如图所示的一张三角形纸片，边的长为，边上的高为，在三角形纸片中从下往上依次裁剪去宽为的矩形纸条．若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是（   ） A．第5张 B．第6张 C．第7张 D．第8张 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张． 【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是4， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点C到这个正方形的边距离为， 则， 解得， 所以另一段长为， 因为，所以是第5张． 故选：A． 9-4（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量．方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿方向移动，当移动2米到D处时（即米），恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为米．然后，小小在F处竖立了一根高1.8米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得为6米，为8米．已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算物体的高度． 【答案】物体的高度为8米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，先证明得到，求出，再证明得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 答：物体的高度为8米． 题型十、相似三角形的综合问题 例10（18-19九年级上·河南郑州·期末）如图，已知△ABC≌△DCE≌△GEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BG，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝3，则图中三个阴影部分的面积和为 ． 【答案】39 【分析】根据全等三角形对应角相等,证明AC∥DE∥HF,再利用对应边相等得BC=CE=EF,根据平行线分线段成比例定理得KE=2PC,HF=3PC,设DK为x,DK边上的高为h,根据S△PQC=3,求出xh=6,再分别表示出S△BPC,S四边形CEKQ,S△EFH的面积进行求和即可. 【详解】解：∵△ABC≌△DCE≌△GEF, ∴∠ACB=∠DEC=∠HFE,BC=CE=EF, ∴AC∥DE∥HF, ∴,, ∴KE=2PC,HF=3PC, 又∵DK=DE-KE=3PC-2PC=PC, ∴△DQK≌△CQP（相似比为1） 设△DQK的边DK为x,DK边上的高为h, 则,整理得xh=6, S△BPC=, S四边形CEKQ= S△EFH=, ∴图中三个阴影部分的面积和=39. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质,平行线分线段成比例定理,难度较大,找到阴影图形之间的关系,利用三角形的面积公式计算是解题关键. 10-1（18-19九年级下·河南驻马店·期中）如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？ 【答案】这棵树高． 【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的，是的影子，然后加上CD就是树高． 【详解】过点作交于点 则， ，即 答：这棵树高． 【点睛】解决此类问题的关键是利用在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，列出方程求解． 10-2（18-19九年级上·江苏无锡·期中）已知，在矩形ABCD中，BC＝2，连接BD，把△ABD绕点B顺时针旋转后得到△FBE，旋转角度小于360°． （1）如图1，当点E在BC的延长线上，且直线EF过点D，求AB的长． （2）若AB＝4，如图2，取AB边的中点P，过点P作直线EF的垂线PH，垂足为H． ① 若PH交线段BD于点G，当△BPG为等腰三角形时，求BG的长； ② 直接写出PH长的取值范围． 【答案】见解析 【分析】（1）根据旋转得到∠ABD=∠FBE,再用三线合一性质得∠ABD=∠FBE=∠DBF=30°即可解题.（2）第一问过点P作PM⊥BD,证明△ABD∽△MBP,根据相似比,证明△BPG是等腰三角形,即可求出BG的长,第二问旋转△BAD即可. 【详解】（1）由旋转可知∠ABD=∠FBE,BD=BE, ∵四边形ABCD为矩形, ∴∠DAB=∠EFB=∠ABE=90°, ∴BF垂直平分线段DE, ∴∠DBF=∠FBE, ∴∠ABD=∠FBE=∠DBF=30° 在直角三角形DAB中,AD=BC=2, ∴BD=4,AD=2 （2）①如图所示,过点P作PM⊥BD于点M, ∵BC=AD=2,AB=4,P是AB边的中点, ∴BD=2（勾股定理）,BP=2, 又∵∠ABD=∠MBP ∴△ABD∽△MBP ∴=,即= ∴MB= ∵△BPG是等腰三角形,PM⊥BD ∴BG=2BM= ②2,以点B为旋转中心旋转△BAD,当BF在AB的右侧延长线时,PH最长=BF+BP=6 当BF与AB重合时,PH最短=AB-BP=2 【点睛】本题考查了相似三角形的应用,难度较大.通过证明相似三角形,求线段长是解题关键. 易错点1 判定条件的误用(角的位置) 例1如图，在与中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，再根据相似三角形的判定得出，由相似三角形的性质得出． 【详解】证明：， 则， ， ， ， ， ． 易错点2 对应边比例错误 例2如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 1．如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，其夹角不相等，则不能判断，故C不正确； D、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故D正确； 故选：C． 2．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．先找出的特征，再根据相似三角形的判定方法，即可判断答案． 【详解】在中，，，， ， ，且， A、图形不是直角三角形，不合题意； B、虽然图形是直角三角形，但两直角边之比不是，不合题意； C、图形不是直角三角形，不合题意； D、图形是直角三角形，且两直角边之比是，符合题意． 故选：D． 3．在正方形 中，，点 是边 的中点，连接，将沿翻折，点落在点处， 与交于点，点是的中点，则的长度是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质和正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．连接，交于点，作于点，根据翻折变换性质得到，，，设为，分别表示出的长，再利用勾股定理解出的值，再利用求出的长． 【详解】解：连接，交于点，作于点， 四边形是正方形， ， ，． ． ． 沿翻折， 点落在点处，点 E 是边 的中点 ，．． 设，则， 在中，，，可得 ，． ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 解得（舍去），． ． ，， ． ，即． 解得 故选：A． 4．如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，若上，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，得到，得到，得到，选项C正确；证明，得出，得到，选项A正确；可证明，得到，选项B正确； ，选项D错误；即可得到答案． 【详解】解：在平行四边形中，， ， ， ， 选项C正确； ， ， ， ， 选项A正确； ， ， ， 选项B正确； ， 选项D错误； 故选：D． 5．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可知，得到，根据相似三角形的性质得到，即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ 解得：． 故选：C． 6．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴ ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴ 即小孔到的距离为， 故选：C． 7．如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 8．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 9．如图，在中，G是的重心，过点G且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质．利用三角形的重心性质得到，，得出，再证明，，得出，再求出，即可得出答案． 【详解】解：∵G是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定．根据勾股定理求出，根据，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质，先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出即可求出的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图所示，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上 (1)_____； (2)在网格纸中作一个与相似的； (3)只使用直尺，在线段上找一个点，使（保留作图痕迹） 【答案】(1)135 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质即可得解； （2）取格点，连接即可； （3）取格点、，连接交于点即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由如下： ∵，，，，， ∴， ∴； （3）解：如图，点即为所求， 理由如下：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，无刻度直尺作图，熟练掌握相似三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，无刻度直尺作图是解题的关键． 13．如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当，，三点共线时，标杆与旗杆的水平距离，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．过点作于点，交于点，证明，得到，即，求出即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，交于点， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 即旗杆的高度为． 2 / 59 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.2 相似三角形 1.相似三角形的判定定理的理解与应用。（重点） 2.相似三角形性质的灵活运用，尤其是 “面积比等于相似比的平方” 与 “线段比（相似比）” 的区别与联系。（重点） 3.复杂图形中相似三角形的识别与对应关系的确定。（难点） 4.判定定理的灵活选择与证明思路的构建。（难点） 5.相似三角形性质与实际问题的结合（难点） 知识点1 相似三角形 1.定义 对应边成比例、对应角相等的三角形相似·反之:两个三角形相似，对应边成比例、对应角相等 2.表示方法 相似用符号＂ ＂来表示，读作＂相似于＂。例如 与 相似，记作＂＂，读作 ＂ 相似于 ＂。 3.相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比，当相似比为1时两个三角形全等 用符号“”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，相似三角形的相似比具有顺序性。 知识点2 平行线截三角形相似的定理 定理 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似 根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有 ，图（1）（2）很像大写字母 ，故我们称之为 ＂A＂型相似；图③很像大写字母X，故我们称之为X”型相似(也像阿拉伯数字“8”） 知识点3 由角的关系判定三角形相似 1.相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似. 特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似 由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角，一般地，相等的角是对应角，如:公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件 2.常见的相似三角形的类型 （1）平行线型：如图①，若 ，则 . （2）斜交线型：如图②，若 ，则 . （3）子母型：如图③，若 ，则 . （4）＂K＂型：如图④，若 ，则 ，整体像一个横放的字母 K ，所以称为“K”型相似. 知识点4 由边角关系判定三角形相似 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 数学语言：如图，在 和 中，∵ 知识点5 由三边关系判定三角形相似 相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似， 数学语言：如图，在 和 中， 由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可 应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况 知识点6 相似三角形对应线段的比 1.相似三角形对应线段的比 相似三角形对应边上的高的比、中线的比、对应角的平分线的比都等于相似比.即相似三角形对应线段的比等于相似比 (1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段; (2)相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序 2.相似三角形周长的比 相似三角形的周长之比等于相似比 知识点7 相似三角形面积的比 1．相似三角形面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方．若 ，且它们的相似比为 ，则 . 面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的比、周长的比等于相似比混淆． 2.相似多边形面积的比 相似多边形面积的比等于相似比的平方 两个相似三角形，各角对应都相等各边对应成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 知识点8 利用相似测量物体的高度 1.利用影长测量物体的高度 (1)测量原理:同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影长成比例 (2)测量方法:在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的影长、待测物体的影长和测量者的身高，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量测量者与被测物体的影长 2.利用直尺或标杆测量物体的高度 (1)测量原理:用直尺或标杆的长(高)作为三角形的边,利用视点和盲区构造相似三角形 (2)测量方法:借助直尺或标杆测量物体高度 使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，观测者的眼睛、直尺顶(底)端和被测物体顶(底)端必须“三点共线”，标杆或直尺与地面要垂直，被测物体底部必须可到达 3.利用镜子的反射测量物体的高度 (1)测量原理:利用镜子的反射，根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形 (2)测量方法:测出观测者站立点与镜面标记点的距离待测物体底部与镜面标记点的距离以及观测者眼睛距地面的高度，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置. 利用物理学中的“反射角等于入射角”及数学中的“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等 知识点9 利用相似测量宽度 1.测量原理 测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离 2.常见的测量方式 (1)构造“A”型相似，如图①② (2)构造“X”型相似，如图 利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤: 1.利用标杆等构造相似三角形: 2.测量与表示未知量的线段相对应的线段，以及另外任意一组对应边的长度: 3.画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量 4.检验并得出答案. 题型一、利用两角对应相等判定相似 例1（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出，中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的高线与边交于点D，求证：． 1-1（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 1-2（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 1-3（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 1-4（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，已知和线段，，请用尺规作图法，以为边在上方求作，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 题型二、相似三角形的判定综合 例2（24-25九年级上·安徽六安·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 2-1（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 2-2（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 2-3（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（　　） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 2-4（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 题型三、选择或补充条件使两个三角形相似 例3（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，使成立的条件是（    ） A． B． C． D． 3-1（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 3-2（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 3-3（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，下列条件中不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 3-4（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知的三边长分别为，，，的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（   ） A．， B．， C．， D．， 题型四、利用相似三角形的性质求解 例4（24-25九年级上·重庆·期中）两个相似三角形的周长比为，那么这两个三角形的面积比为（  ） A． B． C． D． 4-1（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 4-2（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 4-3（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知与相似，，则的长可能是（    ） A．2 B．4.5 C．9 D．9.6 4-4（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是 ． 题型五、在网格中画与已知三角形相似的三角形 例5（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5-1（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 5-2（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 5-3（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 5-4（23-24九年级上·福建三明·期中）正方形网格中，小格的顶点叫做格点．三个顶点都在网格上的三角形叫做格点三角形．小华已在左边的正方形网格中作出了格点，每个小正方形的边长都是1． (1)请说明是直角三角形． (2)请你在右边的两个正方形网格中各画出两个不同的格点三角形，使得三个网格中的格点三角形都相似（不包括全等）． 题型六、相似三角形--动点问题 例6（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒 6-1（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过 s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 6-2（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过 秒后和相似？ 6-3（24-25九年级上·四川内江·期中）在中，，，．现有动点P从点A出发，沿线段向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动．如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为．当 秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 6-4（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为 ． 题型七、相似三角形的判定与性质综合 例7（24-25九年级上·重庆黔江·期中）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ． 7-1（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点E，已知，，，，，则 ． 7-2（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为 ． 7-3（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，，平分交于点D，若，则 ． 7-4（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型八、重心的有关性质 例8（24-25九年级上·上海·期中）在中，已知是中线，点G是重心，那么 ． 8-1（24-25九年级上·浙江·期中）如图，的中线，交于点G，且的面积为12，则结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为 8-2（24-25九年级上·上海·期中）在中，点G为重心，若边上的高为6，则点G到边的距离为 ． 8-3（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，的两条中线、交于点，若，则长为 ． 8-4（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，点为的重心，连接，则 ． 题型九、相似三角形实际应用 例9（24-25九年级上·湖南株洲·期中）已知轴上有点，轴上有点，直线交轴的正半轴于点，交轴于点，若与相似（点是坐标原点），则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 9-1（24-25九年级上·全国·期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为（   ） A． B． C． D． 9-2（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．设小明的身高为，则灯杆的高度为（　　） A． B． C． D． 9-3（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知，如图所示的一张三角形纸片，边的长为，边上的高为，在三角形纸片中从下往上依次裁剪去宽为的矩形纸条．若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是（   ） A．第5张 B．第6张 C．第7张 D．第8张 9-4（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量．方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿方向移动，当移动2米到D处时（即米），恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为米．然后，小小在F处竖立了一根高1.8米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得为6米，为8米．已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算物体的高度． 题型十、相似三角形的综合问题 例10（18-19九年级上·河南郑州·期末）如图，已知△ABC≌△DCE≌△GEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BG，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝3，则图中三个阴影部分的面积和为 ． 10-1（18-19九年级下·河南驻马店·期中）如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？ 10-2（18-19九年级上·江苏无锡·期中）已知，在矩形ABCD中，BC＝2，连接BD，把△ABD绕点B顺时针旋转后得到△FBE，旋转角度小于360°． （1）如图1，当点E在BC的延长线上，且直线EF过点D，求AB的长． （2）若AB＝4，如图2，取AB边的中点P，过点P作直线EF的垂线PH，垂足为H． ① 若PH交线段BD于点G，当△BPG为等腰三角形时，求BG的长； ② 直接写出PH长的取值范围． 易错点1 判定条件的误用(角的位置) 例1如图，在与中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，再根据相似三角形的判定得出，由相似三角形的性质得出． 【详解】证明：， 则， ， ， ， ， ． 易错点2 对应边比例错误 例2如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 1．如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 3．在正方形 中，，点 是边 的中点，连接，将沿翻折，点落在点处， 与交于点，点是的中点，则的长度是（        ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，若上，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 5．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 6．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 8．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 9．如图，在中，G是的重心，过点G且，，则 ． 10．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ． 11．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为 ． 12．如图所示，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上 (1)_____； (2)在网格纸中作一个与相似的； (3)只使用直尺，在线段上找一个点，使（保留作图痕迹） 13．如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当，，三点共线时，标杆与旗杆的水平距离，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度． 2 / 59 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $$