精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年高三年级第一学期 开学考试数学试题 一、单选题： 1 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知函数在区间上的导函数存在，则“时，”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 4. 命题“”的否定是（ ） A B. C. D. 5. 已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6. 如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 125种 7. 已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（ ） A. B. C. D. 10. 在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. C. 曲线关于点对称 D. 当时， 11. 已知函数和的最小值相等，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 在上单调递增 D. 若直线与和的图象从左到右的交点分别为，则 三、填空题 12. 在的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则的值为_____. 13. 若是函数的极值点，则_________. 14. 已知函数，若，且，则______． 四、解答题 15. 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ （2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 17. 在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN斜率分别为、，证明：为定值. 19. 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点． （1）若二面角为直二面角，求三棱锥的体积． （2）记三棱锥外接球半径为； ①求的最小值； ②当最小时，求异面直线AB，CP所成角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石嘴山市第一中学2025-2026学年高三年级第一学期 开学考试数学试题 一、单选题： 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导得出，令，则 ，从而求出. 【详解】函数的导数为， 令，则 ， 解得． 故选：A． 2. 已知函数在区间上的导函数存在，则“时，”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由导数符号与区间单调性的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若时，则在区间上单调递增，充分性成立； 若区间上单调递增，则时，且不恒成立，必要性不成立； 所以“时，”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知向量，，，则（ ） A 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标运算求解. 【详解】向量，，则， 由，得，解得. 故选：C 4. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解. 【详解】由全称量词命题的否定可知， 命题的否定是， 故选：D 5. 已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（ ） A 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 6. 如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 125种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理依次涂色即可. 【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 7. 已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案. 【详解】不等式对恒成立， 即对恒成立， 令， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得，即，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则，即. 故选：D. 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则的最小值小于0，利到的范围，再利用零点存在性定理证明所求的的范围符合题意. 【详解】由函数，可得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以至多一个零点，不符合题意， 当时，，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值， 又函数有两个零点，所以， 即，解得， 当时，， 当时，， 当时，， 设，则， 所以单调递增，则， 所以，所以在上有且只有一个零点， 在上有且只有一个零点， 所以满足函数有两个零点的实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 9. 若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】依次对各项函数求导，根据导数的几何意义，及已知切线的斜率判断是否存在导数值为，即可得答案. 【详解】直线的斜率为， 由的导数为，故A错； 由的导数为，令，解得，故B对； 由导数为，而有解，故C对； 由的导数为，令，解得，故D对． 故选：BCD 10. 在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. C. 曲线关于点对称 D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.根据函数在点处的切线经过点，利用点斜式求解判断；B.根据的图象过点及，设(其中)，然后再利用，求解判断；C.由B得到判断；D. 由B结合，有，判断. 【详解】因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以A正确. 因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设(其中)，则，由，，得，，所以，故B正确. 由选项B可知，，所以曲线关于点对称，故C正确. 当时，有，，所以，故D不正确. 故答案为：ABC. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的性质，还考查了运算求解能力，属于中档题. 11. 已知函数和的最小值相等，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 在上单调递增 D. 若直线与和的图象从左到右的交点分别为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别求导后由函数的单调性得到最值相等，可得A正确；结合A由最小值不能同时取得可得B错误；求导后分和讨论导数值可得C正确；当直线与和交点的上方时，不妨设，数形结合由指数函数对数函数的运算性质可得，同理在下方也可得，进而得到D正确. 【详解】对于A，，所以易得在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； ，当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，即，解得，故A正确； 对于B，因为当且仅当时取等号；当且仅当时取等号，两者不能同时取等号，所以，故B错误； 对于C，， 当时，，； 当时，，， 总之，当时，， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，如图所示， 当直线与和交点的上方时，不妨设， 则， ，， ，即，， 同理，，， 所以，即. 同理，当直线与和交点的下方时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 在的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数定义以及二项式系数性质可得结果. 【详解】易知第6项的二项式系数为， 若仅有最大，可得. 故答案为： 13. 若是函数的极值点，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用乘法的求导法则对原函数求导，根据是函数的极值点，得出，求出的值并验证是否成立. 【详解】已知函数， 求导得： ， 因为是函数的极值点， 所以，得. 验证：当时，， 当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 所以是函数的极值点，符合题意. 故答案为：. 14. 已知函数，若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角函数的最值得到的关系式，再由，结合诱导公式推得，进而利用三角函数的和差公式与倍解公式求得，从而得到的表达式，再次利用诱导公式即可得解. 【详解】由可知，当时，取得最大值， 所以，则， 又，即， 所以， 因为， 又，则， 所以，则，即， 解得（负值舍去），故， 所以，则， 则. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用整体法与诱导公式得到，从而得解. 四、解答题 15. 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ （2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能； （2）分布列见解析，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对得解; （2）先通过采用分层抽样得抽取的成绩优秀与不优秀的人数，求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由题意可知， 由查表可得，由于， 所以能有的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关． 【小问2详解】 由于物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为， 所以采用分层抽样的方法抽取的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的有9人， 可知可取0,1,2， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 从而． 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用即可得，构造等比数列即可求解； （2）由（1）得代入，进而得，利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 令时，，即得， 时，①，②， 由①-②得，， 又由， 又， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以； 【小问2详解】 因为． 所以 ． 17. 在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形，可得线线平行，进而可证明线面平行.（2）根据空间向量，计算法向量，利用法向量的夹角求二面角. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接，， 又是的中点，所以，且． 因为四边形是矩形，所以且，所以，且． 因为是的中点，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形，故． 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，四边形是矩形，所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）． 设，所以，． 因为，分别为，的中点， 所以，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 由即 令，则，，所以． 设平面的一个法向量为， 由即 令，则，， 所以． 所以． 由图知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】（1）； （2）；证明见解析． 【解析】 【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： 【小问2详解】 （i）由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； （ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以 19. 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点． （1）若二面角为直二面角，求三棱锥的体积． （2）记三棱锥外接球半径为； ①求的最小值； ②当最小时，求异面直线AB，CP所成角． 【答案】（1） （2）① 2；② 【解析】 【分析】（1）首先求得，然后结合棱锥体积公式即可求解； （2）①建立适当的空间直角坐标系，设二面角大小为，，则，根据题意列出方程组，求得，故只需求出，的范围即可；②求得AB，CP的方向向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 在平面四边形ABCD中，作，，交AC延长线于E，由题意知：， 因为，，所以， 即三角形是直角三角形， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 故：； 【小问2详解】 以为原点，，分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，， （ⅰ）设二面角大小为，， 因为，，所以，， 所以，， 所以， 故可设，． 设外接球球心坐标，半径为， 则两式相减，化简得：， 所以：， 上式中，令，， 则， 令，令，所以， 所以， 令， 因为，所以由对勾函数性质可知，的最小值是， 而 ， 即的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围是， 的取值范围是，的取值范围是， 的取值范围是， 所以， 因为，等号成立当且仅当，即， 又因为，所以，即， 解得，， 所以， （ⅱ）因为，由（i）可知此时，， 因，所以，，， 所以， 因为异面直线所成角的范围为， 故所求异面直线所成角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$