5.1.2弧度制学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.1.2 弧度制 【自主学习】 一．度量角的两种单位制 1.角度制： (1)定义：用 作为单位来度量角的单位制． (2)1度的角：周角的 . 2.弧度制： (1)定义：以 作为单位来度量角的单位制． (2)1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角． 3.弧度数 　一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 . 如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ . 这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定． 思考1：比值与所取的圆的半径大小是否有关？ 4.弧度制与角度制的换算公式 角度化弧度 弧度化角度 360°＝ rad 2π rad＝ 180°＝ rad π rad＝ 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝()°≈57.30° 5.一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π 6.角的集合与实数集R的关系 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起 的关系：每一个角都有 的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有 的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图． 二．扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 1.弧长公式：l＝ . 2.扇形面积公式：S＝ ＝ . 注意：(1)α为弧度制． (2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ①l＝|α|·r，|α|＝，r＝；②S＝|α|r2，|α|＝. 思考2：扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？ 【小试牛刀】 1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度的角大于1度的角. (　　) (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．(　　) (3)1弧度的角是周角的. (　　) (4)与45°终边相同的角可以写成α＝2kπ＋45°，k∈Z.(　　) 2.2 rad的角的终边在(　　) A．第一象限　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.半径为2，圆心角为的扇形的面积是________． 【经典例题】 题型一 角度制与弧度制的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－. 【跟踪训练】1 (1)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝π，试比较它们的大小． (2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 题型二 用弧度制表示终边相同的角 例2　将－1125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？ 【跟踪训练】2 用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角θ的集合. 题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用 例3 (1)求半径为2，圆心角为的圆弧的长度． (2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数． 【跟踪训练】3 已知扇形AOB的周长为10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长． 【当堂达标】 1.圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　) A. rad　 B． rad C. rad D． rad 2.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( ) A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z) C.k·360°－315°(k∈Z) D.2kπ＋(k∈Z) 3.－135°化为弧度为______，化为角度为________. 4.已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________ cm2. 5.用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 6.已知扇形OAB的周长是60 cm，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB. 学科网（北京）股份有限公司 $$