精品解析：江苏省南通市海门实验学校2024-2025学年高一上学期期中数学试题

2024-2025学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 命题.“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 用某品牌计算器计算对数时，需按log ( a ， b ) ，某学生误按为log ( b ， a ) ，所得结果为正确值的倍.已知，则的关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ） A. B. C. D. 二､多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 11. 定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如.以下描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是上的奇函数 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，则实数的取值范围是__________. 13. 已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围_________. 14. 已知，则当时，的最小值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 16. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 17. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像； （3）用表示，中的较大者，即 ，若 ，则求 的值 . 18. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求P （2）若，求的值； （3）若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围. 19. 已知函数是定义域上的奇函数，且. （1）判断并证明函数在定义域上的单调性； （2）令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 命题.“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定形式回答即可. 【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“”的否定是“”. 故选：B 2. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 3. 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可. 【详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必， 所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件， 故选：B 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数幂公式化简，进而判断大小即可. 【详解】由，，， 所以. 故选：C. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，判断其单调性以及单调区间，结合特殊点，可得答案. 【详解】由函数， 当时，根据函数与函数在上单调递增， 则函数在的单调递增，故排除BC； 当时，，故排除A，则D正确. 故选：D. 6. 用某品牌计算器计算对数时，需按log ( a ， b ) ，某学生误按为log ( b ， a ) ，所得结果为正确值的倍.已知，则的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知列式即，再应用对数性质及运算律化简，最后得出的关系式. 【详解】由已知得，， . 故选：A. 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推得函数的周期为 ，令，得到且，进而求得，，再由，即可求解. 【详解】由为奇函数，则，即 又由为偶函数，可得，即， 可得，即，所以 所以函数是以为周期的周期函数， 因为且 令，可得且， 又因为，即，即 因为时，，可得，解得， 再令，可得，即，所以，可得， 所以，则. 故选：B. 二､多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 结合Venn图，利用充分条件和必要条件的定义，对选项逐一判断即可. 【详解】如图Venn图所示， 选项A中，若，则；反过来，若，则.故互为充要条件. 选项C中，若，则；反过来，若，则.故互为充要条件. 选项D中，若，则，故；反过来，若，则，故.故互为充要条件. 选项B中，如下Venn图， 若，则，推不出.故错误. 故选：ACD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 11. 定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如.以下描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是上的奇函数 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用“向上取整函数”的定义逐项判断即得. 【详解】由表示不小于的最小整数，得，且，即， 对于A，由，得，即，A错误； 对于B，由，得，则或， 当时，；当时，，因此，B正确； 对于C，函数的定义域为，而，即， 因此函数不是上的奇函数，C错误； 对于D，令，则，，即， 因此，即，D正确. 故选：BD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可知在定义域上单调递减，结合题干列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为幂函数在定义域上单调递减， 所以， 故答案为：. 13. 已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围_________. 【答案】 【解析】 【分析】结合开口方向以及判别式求得的取值范围. 【详解】当恒成立， 当时，且， 解得：， 当时,成立， 所以， 命题“，不等式恒成立”是假命题 所以的取值范围为：或． 故答案为： 14. 已知，则当时，的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用换元法得到，进而得到，再利用基本不等式求解. 【详解】解：因为，令，则， 所以， 所以. 所以当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：1 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）9；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解； （2）由求出，然后代入中化简计算即可. 【详解】（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ ． 16. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解； （2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解． 【小问1详解】 由题意得：， 即，又， 所以．即最多调整名员工从事第三产业． 【小问2详解】 从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立． 所以，又，所以， 即的取值范围为． 【点睛】思路点睛： 本题的关键在于如何正确设置利润函数，并通过不等式条件求解.小问1通过构造利润函数并利用不等式进行求解，小问2则结合条件和之间的关系，使用不等式求得的取值范围.需要注意的是，题目中的平均利润受员工数和比例的影响，需要在不等式求解时格外小心. 17. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像； （3）用表示，中的较大者，即 ，若 ，则求 的值 . 【答案】（1）函数为上的奇函数，理由如下： 因为， 所以函数为上的奇函数； （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义证明； （2）根据绝对值的定义变形，然后结合二次函数图象作图； （3）由，分类解方程和，求得方程的解后检验是否满足题意即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 图象如图所示， 【小问3详解】 ，若，则， 此时，，满足题意； 若，显然时，无解； 因此，，解得，此时满足题意． 所以或 18. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求P （2）若，求的值； （3）若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)将代入不等式，将分式不等式化为一元二次不等式，解之即可； (2)将分式不等式转化为一元二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数的关系可得； (3)分别确定集合与，根据命题的充分必要性可得集合与的包含关系，进而可得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以不等式可化为， 也即，解得：，故. 【小问2详解】 由不等式可化为，因为关于的不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 所以. 【小问3详解】 因为不等式可化为：，解得：，所以,又因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集， 当时，，满足题意； 当时，，要使是的真子集，则有，所以； 当时，，满足是的真子集， 当时，，满足是的真子集， 当时，，满足是的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 19. 已知函数是定义域上的奇函数，且. （1）判断并证明函数在定义域上的单调性； （2）令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由函数为奇函数，且，可得， 则，解得，可得，定义域， 且，所以是奇函数，满足题意. 函数在、上单调递减，在、上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； 任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由对称性，在上单调递增，在上单调递减. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设、列方程求参数值，并验证是否满足题设，再应用函数单调性定义及奇函数的对称性判断证明函数的单调性； （2）令，结合对勾函数、二次函数的性质求在上的最值，再将问题化为求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，函数，令，可得， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以， 对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $