第6章 4.2 分层随机抽样的均值与方差&4.3 百分位数(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第六章　统　计 §4　用样本估计总体的数字特征 4.2　分层随机抽样的均值与方差 4．3　百分位数 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学1 分层随机抽样的均值与方差 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学2 百分位数 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 小于或等于 25%,50%,75% 5%, 90%, 99% 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 从小到大 第j项数据 (i＋1) 平均数． 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第六章　统　计 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．(难点) 2．理解百分位数的统计含义，结合实例，能用样本估计百分位数．(重点) 1.通过计算分层随机抽样的均值和方差、百分位数，培养数学运算等核心素养． 2．通过分层随机抽样的均值、方差、百分位数的应用，提升数据分析等核心素养. 　甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是eq \f(80＋82,2)＝81分吗？方差是eq \f(2＋4,2)＝3吗？为什么？ [提示]　不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的． ◎结论形成 1．分层随机抽样的均值 设样本中不同层的平均数和相应权重分别为eq \o(x,\s\up6(－))1，eq \o(x,\s\up6(－))2，…，eq \o(x,\s\up6(－))n和ω1，ω2，…，ωn，则这个样本的平均数为_________________________.为了简化表 示，引进求和符号，记作ω1eq \o(x,\s\up6(－))1＋ω2eq \o(x,\s\up6(－))2＋…＋ωneq \o(x,\s\up6(－))n＝__________ 2．分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为eq \o(x,\s\up6(－))1，eq \o(x,\s\up6(－))2，…，eq \o(x,\s\up6(－))n，方差分别为seq \o\al(2,1)，seq \o\al(2,2)，…，seq \o\al(2,n)， 相应的权重为ω1，ω2，…，ωn，则这个样本的方差为s2＝__________________，其中eq \o(x,\s\up6(－))为样本的平均数． ω1eq \o(x,\s\up6(－))1＋ω2eq \o(x,\s\up6(－))2＋…＋ωneq \o(x,\s\up6(－))n eq \a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,ω)i\o(x,\s\up6(－))i). eq \a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,ω)i[s\o\al(2,i)＋\o(x,\s\up6(－))i－\o(x,\s\up6(－))2]) 　我们在根据某种统计结果下结论时，经常要用到某个百分数，例如我们经常说，这次数学考试有90%的同学在85分以上，再例如：过去这一年的冬天我们市的雾霾天气已经减少到5%以下，那么这里的90%和5%在统计学中是什么意思呢？ [提示]　“这次数学考试有90%的同学在85分以上”的意思是说高于85分的同学占整个班级人数的90%，“过去这一年的冬天我们市的雾霾天气已经减少到5%以下”的意思是去年冬天雾霾天气占整个冬天天数的比例不到5%. ◎结论形成 1．百分位数的定义：当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0,1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数_____________它的可能性是p. 2．常用的百分位数 (1)四分位数：____________________________. (2)其他常用的百分位数：1%,________10%,__________95%,________. 3．计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下 第1步，按照__________排列原始数据； 第2步，计算i＝np； 第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为_____________；若i是整数，则p分位数为第i项与第_____________项数据的__________ 1．(多选)下列关于50%分位数的说法不正确的是(　　) A．50%分位数就是中位数 B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% C．它是四分位数 D．它适用于总体是离散型的数据 解析　由百分位数的意义可知选项BCD错误．A正确． 答案　BCD 2．某单位共有员工100人，其中年轻人有20人，平均年薪为5万元，中年人有80人，平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为(　　) A．5万元　　　　　　 B．8万元 C．6.5万元 D．7.4万元 解析　由题意可知eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(20,100)×5＋eq \f(80,100)×8＝7.4(万元)． 答案　D 3．下列一组数据的25%分位数是(　　) 2．8,3.6,4,3.0,4.8,5.2,4.8,5.7,5.8,4 A．3.0　　 B．4 C．4.4　　 D．3.3 解析　把该组数据按照由小到大排列，可得： 2．8,3.0,3.3,3.6,4,4.8,4.8,5.2,5.7,5.8， 由i＝10×25%＝2.5，不是整数， 则第3个数据3.3，是25%分位数． 答案　D 4．已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为_______万元． 答案　9.2 题型一　分层随机抽样的平均数 eq \a\vs4\al(一题多变) 　(教材例4、例5拓展)某市有大、中、小型商店的数量之比为1∶5∶9，其中大型商店的年纳税额为300万元，中型商店的年纳税额为25万元，小型商店的年纳税额为0.4万元，求该市所有商店的年平均纳税额．(结果保留一位小数) [解析]　由题意知，该市所有商店的年平均纳税额为eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,1＋5＋9)×300＋eq \f(5,1＋5＋9)×25＋eq \f(9,1＋5＋9)×0.4≈28.6(万元)， 所以该市所有商店的年平均纳税额28.6万元． [母题变式] (变条件)在本例中，若大型商店的年利润为2000万元，中型商店的年利润为800万元，小型商店的年利润为20万元，求该市所有商店的年平均利润． 解析　由题意知，该市所有商店的年平均利润为 eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,1＋5＋9)×2000＋eq \f(5,1＋5＋9)×800＋eq \f(9,1＋5＋9)×20＝412(万元)， 所以该市所有商店的年平均利润为412万元． 在利用公式eq \o(x,\s\up6(－))＝ω1eq \o(x,\s\up6(－))1＋ω2eq \o(x,\s\up6(－))2＋…＋ωneq \o(x,\s\up6(－))n求分层随机抽样的平均数时，要清楚公式中各符号的含义，避免代入数据时出现失误，同时要仔细运算，按照要求保留有效小数．　 [触类旁通] 1．某公益组织在某社区调查年龄在[20,50]内的居民熬夜时间，得到如下表格： 年龄区间 居民人数(单位：百人) 所占比例 平均熬夜时长(单位：h) [20,30) 3.6 30% 4 [30,40) 6 b 2 [40,50] a c 1 其中有三项数据由于污损用a、b、c代替，试求该社区所调查居民的平均熬夜时长． 解析　由表可知该社区年龄在[20,50]内的居民人数为3.6÷30%＝12(百人)，则年龄在[30,40]的居民所占比例为6÷12＝50%，年龄在[40,50]的居民人数所占比例为1－30%－50%＝20%，故该社区所调查居民的平均熬夜时长为eq \o(x,\s\up6(－))＝4×30%＋2×50%＋1×20%＝1.2＋1＋0.2＝2.4(h)． 题型二　分层随机抽样的方差 　(教材例6迁移)在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，若采用分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中选择A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差． [解析]　设样本中选择A题目的成绩的平均数为eq \o(x,\s\up6(－))，方差为s2；样本中选择B题目的成绩的平均数为eq \o(y,\s\up6(－))，方差为t2， 则eq \o(x,\s\up6(－))＝7，s2＝4，eq \o(y,\s\up6(－))＝8，t2＝1， 所以样本的平均数为eq \f(8\o(x,\s\up6(－))＋2\o(y,\s\up6(－)),10)＝eq \f(8×7＋2×8,10)＝7.2， 方差为eq \f(8,10)×[s2＋(eq \o(x,\s\up6(－))－7.2)2]＋eq \f(2,10)×[t2＋(eq \o(y,\s\up6(－))－7.2)2]＝3.56. 故估计该校900名学生的选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56. 计算分层随机抽样的方差s2的步骤 (1)确定eq \o(x,\s\up6(－))1，eq \o(x,\s\up6(－))2，…，eq \o(x,\s\up6(－))n，seq \o\al(2,1)，seq \o\al(2,2)，…，seq \o\al(2,n)，ω1，ω2，…，ωn； (2)确定eq \o(x,\s\up6(－))； (3)应用公式s2＝eq \i\su(i＝1,n,ω)i[seq \o\al(2,i)＋(eq \o(x,\s\up6(－))i－eq \o(x,\s\up6(－)))2]计算s2.　 [触类旁通] 2．针对某市A，B两个小区进行居民每月用电量调查，拟采用分层随机抽样的方法，抽取A小区1号楼12户每月用电量数据，其平均数和方差分别为198.5和10.22,2号楼15户每月用电量数据，其平均数和方差分别为210.0和20.22；3号楼13户每月用电量数据，其平均数和方差分别为168.0和28.56.抽取B小区1号楼10户每月用电量数据，其平均数和方差分别为170.6和27.15；2号楼20户每月用电量数据，其平均数和方差分别为200.2和14.55；3号楼20户每月用电量数据，其平均数和方差分别为180.5和19.56，可以推测A，B两个小区每月用电量更稳定的是_______小区． 解析　设A小区全部居民每月用电量平均数和方差分别为eq \x\to(ω)A和seq \o\al(2,A)，B小区全部居民每月用电量平均数和方差分别为eq \x\to(ω)B和seq \o\al(2,B).用样本估计总体，则估计eq \x\to(ω)A＝eq \f(12×198.5＋15×210＋13×168,12＋15＋13)＝192.9， 所以seq \o\al(2,A)＝eq \f(1,40){12×[10.22＋(198.5－192.9)2]＋15×[20.22＋(210－192.9)2]＋13×[28.56＋(168－192.9)2]}＝340.495 5. 同理可估计eq \x\to(ω)B＝186.4，seq \o\al(2,B)＝159.102. 因为seq \o\al(2,A)>seq \o\al(2,B)，所以推测B小区每月用电量更稳定． 答案　B 题型三　百分位数 　(教材例7拓展)(1)(2025·辽宁营口高一检测)某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了其中8个班的比赛得分如下：91,89,90,92,93,87,91,94，则这组数据的80%分位数为(　　) A．87　　　　　　　　 B．91 C．92 D．93 (2)(2025·北京密云区高一检测)某校组织全体学生参加了主题为“创新实践、快乐成长”的科技知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示，则x的值为_______；用样本估计总体，则全校学生成绩的第45百分位数为_______． [解析]　(1)将题中数据从小到大排列为87,89,90,91,91,92,93,94，而8×80%＝6.4，所以80%分位数是第7个数据，为93. (2)由(0.005＋0.01＋0.015＋x＋0.04)×10＝1，得x＝0.03.由频率分布直方图，得成绩低于80分的频率为(0.005＋0.01＋0.015)×10＝0.3，低于90分的频率为0.3＋0.03×10＝0.6，则第45百分位数在[80,90)内，设为n，则0.3＋(n－80)×0.03＝0.45，解得n＝85，即第45百分位数为85. [答案]　(1)D　(2)0.03　85 [素养聚焦]　通过对样本的百分位数的计算和应用，把数据分析、数学运算核心素养体现在解题过程中. 1．计算一组n个数据的p分位数的一般步骤 (1)排列：按照从小到大排列原始数据； (2)算i：计算i＝np； (3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．　 2．由频率分布直方图求百分位数的方法 (1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率． (2)一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可． [触类旁通] 3．(1)(2025·河南安阳高一检测)已知甲、乙两组数据按从小到大的顺序排列为 甲组：27,28,37，m,40,50； 乙组：24，n,34,43,48,52. 若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则eq \f(m,n)等于(　　) A.eq \f(12,7)　　 B．eq \f(10,7) C.eq \f(4,3)　　 D．eq \f(7,4) (2)已知30个数据的60%分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是_______． 解析　(1)因为30%×6＝1.8,50%×6＝3，所以甲、乙两组数据的第30百分位数分别为28，n，所以n＝28.甲、乙两组数据的第50百分位数分别为eq \f(37＋m,2)，eq \f(34＋43,2)＝38.5，所以eq \f(37＋m,2)＝38.5，所以m＝40，所以eq \f(m,n)＝eq \f(40,28)＝eq \f(10,7). (2)由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则eq \f(7.8＋x,2)＝8.2，解得x＝8.6，即19个数据是8.6. 答案　(1)B　(2)8.6 [缜密思维提能区] 易错辨析 统计思想的实际应用 [典例]　在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表： 分数 50 60 70 80 90 100 人 数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由． [解析]　(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些． (2)eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6) ＝eq \f(1,50)×4000＝80， eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq \f(1,50)×4000＝80. seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172， seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256. ∵seq \o\al(2,甲)<seq \o\al(2,乙)， ∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些． (3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好． (4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好． [纠错心得]　对于数字特征在实际问题中的应用，首先明确平均数、中位数、众数(反映集中趋势参数)、极差、方差(反映离散程度参数)的统计含义，最后再把得出的数字特征理论值回归到实际中作出解释或判断． 知识落实 技法强化 1.分层随机抽样的平均数和方差． 2．百分位数. 1.正确区分一组数据与分层随机抽样所得数据的平均数，方差的异同． 2．总体的中位数也称做是50%分位数． 3．注意数字特征在实际问题中的应用，具体问题具体分析. $$