第5章 1.2 利用二分法求方程的近似解(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第五章　函数应用 §1　方程解的存在性及方程的近似解 1.2　利用二分法求方程的近似解 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学 二分法求方程的近似解 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 x0 ε f(a)·f(b)＜0 中点 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 异 中点 精确度 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.根据具体函数的图象，会借助计算器用二分法求相应方程的近似解．(难点) 2．理解并掌握利用二分法求方程近似解的过程和方法．(重点) 1.通过用二分法求方程的近似解的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助二分法求方程近似解的过程，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 　有16个大小相同，颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的．用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？ [提示]　4次． 第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币； 第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币； 第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币； 第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币． 　我们知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？ [提示]　①取区间(2,3)的中点2.5.②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内． 再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．这样一来，零点所在的范围越来越小了． 　若给定精确度0.3，如何选取近似值？ [提示]　当精确度为0.3时，由于|2.75－2.5|＝0.25＜0.3，所以可以将x＝2.5作为函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点近似值，当然区间[2.5,2.75]内的任意一个值都是函数零点的近似值，常取区间的端点作为零点的近似值． ◎结论形成 1．精确度的概念 设eq \o(x,\s\up6(∧))是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－eq \o(x,\s\up6(∧))|<ε，就称_____是满足精确度___的近似解． 2．二分法的概念 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，_____________，则每次取区间的_____，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 3．用二分法求方程f(x)＝0近似解的方法 在图中： “初始区间”是一个两端点函数值___号的区间； “M”的含义得到新区间．新区间的一个端点是原区间的_____，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号； “N”的含义是方程解满足要求的________； “P”的含义是选取区间内的任意一个数作为方程的近似解． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值可以用二分法．(　　) (2)用二分法求出的函数零点就是精确值．(　　) (3)用“二分法”求近似解时，精确度ε越大，零点的精确度越高．(　　) (4)二分法求近似解时，精确度ε一定小于1.(　　) 解析　(1)函数需满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0，才能用二分法求零点． (2)用二分法求出的函数零点可能是精确值，也可能是近似值． (3)精确度ε越大，零点的精确度越低． (4)错误． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是(　　) A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点 B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0近似值 C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点 D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解 解析　使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B不正确；函数f(x)的零点⇔f(x)＝0的根，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确． 答案　A 3．用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则终止条件为(　　) A．|x1－x2|>ε　　　　 B．|x1－x2|<ε C．x1<ε<x2 D．x2<ε<x1 解析　根据题意，用二分法求方程的近似解，若要求的精确度为ε，当|x1－x2|<ε，可以确定近似解． 答案　B 4．求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是_____． 解析　令f(x)＝x3－2x－5， 由于f(2)＝8－4－5＝－1＜0， f(3)＝27－6－5＝16＞0， f(2.5)＝eq \f(45,8)＞0， 故下一个有根区间是(2,2.5)． 答案　(2,2.5) 题型一　二分法概念的理解 eq \a\vs4\al(自练悟通) 1．下面关于二分法的叙述，正确的是(　　) A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C．二分法无规律可循 D．只有在求函数零点时才用二分法 解析　只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号时，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错． 答案　B 2．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4,4　　　　　　　 B．3,4 C．5,4 D．4,3 解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D. 答案　D 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．　 题型二　用二分法求方程的近似解 eq \a\vs4\al(一题多变) 　(教材例4拓展)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)． [解析]　令f(x)＝2x3＋3x－3， 经计算，f(0)＝－3＜0， f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0， 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点， 即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0， 又f(1)＞0， 所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表： (a，b) 中点c f(a) f(b) f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) (0,1) 0.5 f(0)＜0 f(1)＞0 f(0.5)＜0 (0.5,1) 0.75 f(0.5)＜0 f(1)＞0 f(0.75)＞0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.5)＜0 f(0.75)＞0 f(0.625)＜0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)＜0 f(0.75)＞0 f(0.687 5)＜0 由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解可取为0.687 5. [母题变式] 1．(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”，结论又如何？ 解析　在本例的基础上，取区间(0.687 5,0.75)的中点x＝0.718 75，因为f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解． 2．(变条件)若本例中的方程“2x3＋3x－3＝0”换为“x2－2x＝1”，其结论又如何呢？ 解析　设f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0. ∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5， ∵f(2.5)＝0.25＞0，∴2＜x0＜2.5； 再取2与2.5的平均数2.25， ∵f(2.25)＝－0.4375＜0，∴2.25＜x0＜2.5； 如此继续下去，有 f(2.375)＜0，f(2.5)＞0⇒x0∈(2.375,2.5)； f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0⇒x0∈(2.375,2.437 5)． ∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5＜0.1， ∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5. [素养聚焦]　利用二分法求方程的近似解，把数学运算等核心素养体现在解题过程中. 用二分法求方程的近似解应明确两点 (1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照二分法求函数零点近似值的步骤求解． (2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)＝f(x)－g(x)零点近似值的步骤求解．　 [触类旁通] 1．(1)(2024·江苏扬州期末)小胡同学用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内的近似解的过程中，由计算可得f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，则小胡同学在下次应计算的函数值为(　　) A．f(0.5) B．f(1.125) C．f(1.25) D．f(1.75) (2)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)可取_______． 解析　(1)因为f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，则近似解应该落在区间(1.5,2)内，根据二分法的计算步骤，下次应计算的函数值为区间(1.5,2)中点的函数值，即f(1.75)． (2)由f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.556 2)≈－0.029＜0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度0.01，所以所求近似解可取1.562 5. 答案　(1)D　(2)1.562 5(答案不唯一) 题型三　二分法的实际应用 　(2025·青岛二中高一检测)如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子． (1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域； (2)如果要做一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确度为0.1 cm) [解析]　(1)盒子的体积y是以x为自变量的函数，解析式为y＝x(15－2x)2，x∈(0,7.5)． (2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程x(15－2x)2＝150. 下面用二分法来求方程在(0,7.5)内的近似解． 令f(x)＝x(15－2x)2－150，x∈(0,7.5)，由计算器可以确定f(x)分别在(0,1)和(4,5)内各有一个零点，即方程x(15－2x)2＝150分别在区间(0,1)和(4,5)内各有一个解． 下面用二分法求方程的近似解． 取区间(0,1)的中点x1＝0.5， 计算得f(0.5)＝－52， 所以零点x0∈(0.5,1)． 再取(0.5,1)的中点x2＝0.75， 计算得f(0.75)≈－13.31，所以x0∈(0.75,1)． 同理可得x0∈(0.75,0.875)； x0∈(0.8125,0.875)， 此时区间的长度小于0.1， 所以方程在区间(0,1)内精确度为0.1的近似解可取为0.8. 同理可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似值为4.7，所以要做成一个容积为150 cm3的无盖盒子时，截去小正方形的边长大约是0.8 cm或4.7 cm. 二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查．还能用于实验设计、资料查询、资金分配等．　 [触类旁通] 2．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？ 解析　第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币． 所以最多称四次． 知识落实 技法强化 1.二分法的定义． 2．利用二分法求函数的零点、方程的近似解． 3．二分法在实际生活中的应用. 1.方法归纳：化归、逼近． 2．常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的. $$