5.1.2 利用二分法求方程的近似解-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【创新教程】五维课堂45分钟课时练（北师大版）

＝２(x１－x２)＋log２ x１ x２ ． 因为０＜x１＜x２, 所以２(x１－x２)＜０,０＜ x１ x２ ＜１, 所以log２ x１ x２ ＜０, 所以f(x１)－f(x２)＝２(x１－x２)＋log２ x１ x２ ＜０,所以 f(x１)＜f(x２), 所以f(x)在定义域(０,＋∞)上是单调增函数． (３)证明:f(x)＝２x＋log２x－３,x∈(０,＋∞), 则f(１)＝２×１＋log２１－３＝２＋０－３＝－１＜０, f(２)＝２×２＋log２２－３＝４＋１－３＝２＞０, 所以f(１)f(２)＜０, 所以函数f(x)在区间(１,２)内至少有一个零点． 因为f(x)在定义域(０,＋∞)上是单调递增函数,且 其图象是连续不断的, 所以函数f(x)在区间(１,２)内有唯一零点． １．２　利用二分法求方程的近似解 １．B　２．D　３．C　４．B ５．ACD　[f(x)＝x２－２x＋１＝(x－１)２,f(１)＝０,当x ＜１时,f(x)＞０;当x＞１时,f(x)＞０,在零点两侧函 数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数 的零点两侧函数值异号．故选 A、C、D．] ６．AB　[由表格可知方程lnx＋２x－６＝０的近似根在 (２．５,２．５６２５)内,因此选项 A 中２．５２符合,选项 B 中２．５６也符合,故选 A、B．] ７．解析:题图①②④中所示函数的零点都不是变号零点,因 此不能用二分法求解;题图③中所示函数的零点是变号 零点． 答案:③ ８．解析:先检查中间的１个接点,若正常,则可断定故障 在其另一侧的７个接点中;然后检查这一段中间的１ 个接点,若仍正常,则可断定故障在其另一侧的３个 接点中;最后只需检查这３个接点中间的１个,即可找 出故障所在．故一般最多只需检查３个接点． 答案:３ ９．解析:题中图象与x 轴有２个交点,所以零点的个数 为２;零点左、右函数值异号的有１个,所以可以用二 分法求解的近似根的个数为１． 答案:２　１ １０．解:经计算,f(１)＜０,f(１．５)＞０,所以函数在[１,１．５]内 存在零点x０． 取区间(１,１．５)的中点x１＝１．２５,经计算f(１,２５)＜０,因 为f(１,５)􀅰f(１,２５)＜０,所以x０∈(１,２５,１．５)． 如此继续下去,得到函数的一个零点所在的区间,如 下表: (a,b) (a,b)的中点 中点函数值 (１,１．５) １．２５ f(１．２５)＜０ (１．２５,１．５) １．３７５ f(１．３７５)＞０ (１．２５,１．３７５) １．３１２５ f(１．３１２５)＜０ (１．３１２５,１．３７５) １．３４３７５ f(１．３４３７５)＞０ (１．３１２５,１．３４３７５) １．３２８１２５ f(１．３２８１２５)＞０ (１．３１２５,１．３２８１２５) １．３２０３１２５ f(１．３２０３１２５)＜０ (１．３２０３１２５,１．３２８１２５) １．３２４２１８７５ f(１．３２４２１８７５)＜０ 因为|１．３２８１２５－１．３２０３１２５|＝０．００７８１２５＜０．０１,所 以函数f(x)＝x３－x－１的一个精确度０．０１的近似零 点可取为１．３２８１２５． １１．解:(１)如图所示,他首先从中点C 查,用随身带的话 机向两端测试时,假设发现AC 段正常,断定故障在 BC段,再到BC 段中点D 查,这次若发现BD 段正 常,可见故障在CD 段,再到CD 段中点E 来查,依次 类推􀆺 (２)每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因 此最多只要７次就够了． １２．解:(１)证明:任取x１,x２∈(－１,＋∞),且x１＜x２, 则x２－x１＞０,ax２－x１＞１(a＞１),且ax１ ＞０,∴ax２－ ax１＝ax１(ax２－x１－１)＞０(a＞１),∵x１＋１＞０,x２＋１ ＞０,∴ x２－２ x２＋１ － x１－２ x１＋１ ＝ ３(x２－x１) (x１＋１)(x２＋１) ＞０, 于是f(x２)－f(x１)＝ax２－ax１＋ x２－２ x２＋１ － x１－２ x１＋１ ＞０． 故函数f(x)在(－１,＋∞)上为增函数． (２)由(１)知当a＝３时,f(x)＝３x＋x－２x＋１ 在(－１,＋ ∞)上单调递增,故在(０,＋∞)上也单调递增,因此 f(x)＝０的正根最多有一个． ∵f(０)＝－１＜０,f(１)＝５２＞０ ,∴方程的正根在(０, １)内,取(０,１)为初始区间用二分法逐次计算,列出 下表: 区间 中点值 中点函数近似值 (０,１) ０．５ ０．７３２ (０,０．５) ０．２５ －０．０８４ (０．２５,０．５) ０．３７５ ０．３２８ (０．２５,０．３７５) ０．３１２５ ０．１２４ (０．２５,０．３１２５) ０．２８１２５ ０．０２１ (０．