第2章 教考衔接3 探究抽象函数的性质(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

一、真题展示

1．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则(k)＝(　　)

A．－21　　　　　　　 B．－22

C．－23  D．－24

2．(2023·新课标Ⅰ卷改编)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，给出以下结论：①f(0)＝0；②f(1)＝0；③f(x)是偶函数．其中正确结论的序号为________．

二、真题溯源

[教材P73C组第2题]

若函数f(x)的定义域是R，且对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，试判断f(x)的奇偶性．

三、类法探究

函数的性质是高考的热点内容之一，函数的主要性质有单调性、奇偶性、对称性、周期性(以后将学到)．高考往往以抽象函数为载体考查函数性质的综合应用，主要考查逻辑推理能力、抽象概括能力等，对思维品质的考查要求较高．

类型一　抽象函数的单调性

　(多选)已知定义在R上的函数f(x)，满足任意的x，y∈R，f＝f(x)f，则(　　)

A．函数f(x)一定为非奇非偶函数

B．函数f(x)可能既是奇函数又是偶函数

C．当x>0时，f(x)>1，则f(x)在R上单调递增

D．当x<0时，f(x)<1，则f(x)在R上单调递减

[解析]　对于A，B：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)f(0)，所以f(0)＝0或f(0)＝1.

当f(0)＝0时，令y＝0，则f(x)＝f(x)f(0)＝0，则f(－x)＝0＝±f(x)，所以此时f(x)既是奇函数又是偶函数，故A错误，B正确；

对于C：当x>0时，f(x)>1，则f(1)>1，

又f(1)＝f(0)f(1)，所以f(0)≠0，

则f(0)＝1.

设x1>x2，则x1－x2>0，则f(x1－x2)>1，

所以f(x1)＝f(x1－x2＋x2)＝f(x1－x2)f(x2)，

由于f(x＋y)＝f(x)f(y)，

取y＝－x，得f(0)＝f(x)f(－x)，

所以f(x)＝＝，

则当x∈(－∞，0)时，f(－x)>1，则f(x)>0，

所以f(x1)＝f(x1－x2)f(x2)>f(x2)，

则f(x)在R上单调递增，故C正确；

对于D：设x1<x2，则x1－x2<0，

则f(x1－x2)<1，

所以f(x1)＝f(x1－x2＋x2)＝f(x1－x2)f(x2)<f(x2)，

则f(x)在R上单调递增，故D错误，故选BC.

[答案]　BC

[反思感悟]　抽象函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要运用好所给的条件，判断出函数值之间的关系.常见的思路：先在所证区间上任取x1，x2x1<x2，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后利用函数的单调性的定义解决问题.

类型二　抽象函数的奇偶性

　已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f＋f＝f(x)f，且f(1)＝1，则下列结论错误的是(　　)

A．f＝2  B．f(x)为偶函数

C．f(x)为奇函数  D．f＝－1

[解析]　因为∀x，y∈R，f＋f＝f(x)f，

取x＝1，y＝0可得f＋f＝ff，又f＝1，所以f＝2，A正确；

取x＝0，y＝x可得f(x)＋f＝ff(x)，

因为f＝2，所以f＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错误，B正确；

取x＝1，y＝1可得f＋f＝ff，又f＝1，f＝2，

所以f＝－1，D正确，故选C.

[答案]　C

[反思感悟]

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件