第2章 函数 章末整合提升(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

一、函数的概念

1．函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

2．已知函数值求字母取值的步骤

(1)先对字母的取值范围分类讨论．

(2)然后代入到不同的解析式中．

(3)通过解方程求出字母的值．

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．

　(1)函数f(x)＝＋的定义域为________．

(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝

若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．

[解析]　(1)要使f(x)有意义，需且只需

∴

∴f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．

(2)当a＞0时，f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，

f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.

由2－a＝－1－3a，

得2a＝－3，a＝－，

又a＞0，舍去．

当a＜0时，f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，

f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.

由－1－a＝2＋3a，得4a＝－3，a＝－，

满足a＜0.综上，a＝－.

[答案]　(1)[－1,2)∪(2，＋∞)　(2)－

二、函数的图象

函数图象是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化规律，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具．

　(1)在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与幂函数y＝x(x>0)的图象可能为(　　)

(2)已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|.

①画出函数图象并写出函数的单调区间；

②求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．

[解析]　(1)对于A，二次函数y＝ax2＋bx图象的对称轴在y轴右侧，则－>0，则<0，即幂函数y＝(x>0)为减函数，符合题意；对于B，二次函数y＝ax2＋bx图象的对称轴在y轴右侧，则－>0，则<0，即幂函数y＝(x>0)为减函数，不符合题意；对于C，二次函数y＝ax2＋bx图象的对称轴为直线x＝－1，则－＝－1，则＝2，即幂函数y＝＝x2(x>0)为增函数，且其增加得越来越快，不符合题意；对于D，二次函数y＝ax2＋bx图象的对称轴在y轴左侧，则0>－>－，则0<<1，即幂函数y＝ (x>0)为增函数，且其增加得越来越慢，不符合题意．故选A.

(2)①当－x2＋2x＋3≥0时，得－1≤x≤3，

函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，

当－x2＋2x＋3＜0时，得x＜－1或x＞3，

函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，

即y＝的图象如下图所示，

单调增区间为[－1,1]和[3，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1]和[1,3]．

②由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0＜m＜4.

故集合M＝{m|0＜m＜4}．

[答案]　(1)A　(2)略

三、函数的性质 

研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”“巧”“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合．

角度1　函数的单调性

　已知函数f(x)＝.

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)用函数单调性的定义证明：f(x)在(1，＋∞)上是增函数．