第2章 高考新风向(1) 函数开放性创新题型(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[类型解读]

开放性问题是近年来高考命题的一个新方向，是一种具有开放性和发散性问题，与传统封闭型问题明显不同，往往以开放性举例填空题的形式呈现，如2024北京卷T13,2023新高考Ⅱ卷T15等，重点考查学生的探索精神和创新思维能力．解决这类问题的基本策略是抓住题目条件的本质特征，锁定研究目标，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证到结论成立的充分条件，从而选择最基础、简洁的答案(不唯一)．

　(2025·北京丰台区模拟)已知函数f(x)具有下列性质：①对任意x1，x2≥0，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1；②在(0，＋∞)上，f(x)单调递增；③f(x)是偶函数．则f(0)＝________；函数f(x)可能的一个解析式为f(x)＝________.

[提取信息]　题目中给出了三个信息①②③.

[加工信息]　由①赋特值可求f(0)；找一个满足②和③的一个特殊函数(可能很多，选一个简单的函数)，再验证是否满足①即可．

[深度解析]　令x1＝x2＝0，

由①可得f(0)＝f(0)＋f(0)＋1，

所以f(0)＝－1.

不妨令f(x)＝|x|－1，x∈R，

则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，满足②；

又f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，满足③；

当x1，x2∈[0，＋∞)时，f(x1＋x2)＝|x1＋x2|－1＝x1＋x2－1，

f(x1)＝x1－1，f(x2)＝x2－1.

所以f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，满足①.

所以函数f(x)可能的一个解析式为f(x)＝|x|－1.

[答案]　－1　|x|－1

[思维拓展]

(变条件)本典例中的①②③改成：①∀m，n∈R，f(m)＋f(n)＝f(m＋n)；②∀m，n∈R，当m>n时，f(m)<f(n)，则函数f(x)可能的一个解析式为__________．

解析　由②可知f(x)为R上的递减函数，且满足①f(m)＋f(n)＝f(m＋n)，故f(x)的一个解析式为f(x)＝－x.

答案　f(x)＝－x

[进阶训练]

(新高考Ⅱ卷考题改编)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________.