第1章 预备知识 章末整合提升(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该教案聚焦集合运算、逻辑用语、不等式及一元二次函数与不等式等核心知识点，通过集合补集并集应用、逻辑用语命题否定等例题，串联概念与应用，构建从基础到综合的学习支架。 以“三化”引导数学眼光，如集合问题用数轴直观分析，分类讨论与多方法求最值培养数学思维，实际应用题强化数学语言。如不等式通过配凑、代换求最值，提升学生抽象推理能力，为教师提供结构化教学范例。

一、集合的概念与运算 集合运算过程中应力求做到“三化” (1)意义化：首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形；是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集． (2)具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式． (3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题． 　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ [解析]　(1)A＝{x|0≤x≤2}, ∴∁RA＝{x|x＜0或x＞2}． ∵(∁RA)∪B＝R. ∴∴－1≤a≤0. (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0， 而2≤a＋3≤3. ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在． 二、常用逻辑用语 1．若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件． 2．先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 3．全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题． 　(1)命题p：∀x∈R，x2＞0，则(　　) A．p是假命题；命题p的否定：∃x∈R，x2＜0 B．p是假命题；命题p的否定：∃x∈R，x2≤0 C．p是真命题；命题p的否定：∀x∈R，x2＜0 D．p是真命题；命题p的否定：∀x∈R，x2≤0 (2)“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是(　　) A．m≥1　　　　 　　 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2 [解析]　(1)由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B. (2)“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的充要条件为“(－2)2－4m≤0”即“m≥1”， 又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件， 即“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是“m≥2”，故选D. [答案]　(1)B　(2)D 三、不等式 基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能．解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立． 角度1　通过配凑法求最值 　已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A.　 　 B． C.　 　 D． [解析]　∵0＜x＜1， ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝. 当且仅当x＝1－x，即x＝时，“等号”成立． [答案]　B 角度2　通过常值代换法求最值 　已知2a＋3b－1＝0且a＞0，b＞0，则代数式＋的最小值为(　　) A．24　　　 B．25 C．26　　　 D．27 [解析]　因为2a＋3b－1＝0，a＞0，b＞0， 即2a＋3b＝1， 所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25， 当且仅当＝，即a＝b＝时取等号， 所以＋的最小值为25，选B. [答案]　B 角度3　通过消元法求最值 　已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则s＝的最小值为________． [解析]　由条件得x2＋y2＝1－z2＝(1－z)(1＋z)， 则1＋z＝， 于是s＝＝≥＝≥＝4， 当且仅当x＝y，且z＝1－z，即z＝，x＝y＝时取等号． [答案]　4 四、一元二次函数与一元二次不等式 解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的一元二次函数图象、一元二次方程的解的关系．如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论． 　解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0(a∈R)． [解析]　当a＝0时，不等式－2x＋4>0的解为x<2；当a≠0时，不等式对应方程的根为x＝或x＝2， ①当a<0时，不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0(a∈R)，即(－ax＋2)(x－2)<0的解集为； ②当0<a<1时，不等式(ax－2)(x－2)>0的解集为； ③当a＝1时，不等式(x－2)2>0的解集为 {x|x≠2}； ④当a>1时，不等式(ax－2)(x－2)>0的解集为. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜2}； 当a<0时，不等式的解集为； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}； 当a>1时，不等式的解集为. 恒成立问题中忽略二次项系数为零致误 [典例]　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． [解析]　因为a＝2时，原不等式为－4＜0，所以a＝2时恒成立． 当a≠2时，由题意得 即 解得－2＜a＜2. 综上两种情况可知－2＜a≤2. [纠错心得]　二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可．若认为当系数为0时，为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的．因为只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况． 基本不等式的实际应用 [典例]　(13分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数关系解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ [思维导引] 明知求 挖信息：休闲区A1B1C1D1的面积为4000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m，长宽比＝x(x>1)． 明方向：(1)求S关于x的解析式；(2)要使面积S最小，长和宽如何设计？ 探思路 求得S关于x的解析式后， 利用基本不等式的知识求解即可，最后转化实际问题回答. [规范解答]　(1)设休闲区的宽为a米， 则长为ax米，由a2x＝4000，得a＝.(2分) 所以S(x)＝(a＋8)(ax＋20) ＝a2x＋(8x＋20)a＋160 ＝4000＋(8x＋20)×＋160(4分) ＝80＋4160(x>1)．①(5分) (2)80＋4160 ≥80×2＋4160 ＝1600＋4160＝5760，(9分) 当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，②(11分) 此时a＝40，ax＝100，(12分) 所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$