第2章 教考衔接3 探究抽象函数的性质(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第二章　函　数 教考衔接3　探究抽象函数的性质 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 一、真题展示 1．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则eq \i\su(k＝1,22,f)(k)＝(　　) A．－21　　　　　　　 B．－22 C．－23 D．－24 2．(2023·新课标Ⅰ卷改编)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，给出以下结论：①f(0)＝0；②f(1)＝0；③f(x)是偶函数．其中正确结论的序号为_______． 二、真题溯源 [教材P73C组第2题] 若函数f(x)的定义域是R，且对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，试判断f(x)的奇偶性． 三、类法探究 函数的性质是高考的热点内容之一，函数的主要性质有单调性、奇偶性、对称性、周期性(以后将学到)．高考往往以抽象函数为载体考查函数性质的综合应用，主要考查逻辑推理能力、抽象概括能力等，对思维品质的考查要求较高． 类型一　抽象函数的单调性 　(多选)已知定义在R上的函数f(x)，满足任意的x，y∈R，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y))＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y))，则(　　) A．函数f(x)一定为非奇非偶函数 B．函数f(x)可能既是奇函数又是偶函数 C．当x>0时，f(x)>1，则f(x)在R上单调递增 D．当x<0时，f(x)<1，则f(x)在R上单调递减 [解析]　对于A，B：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)f(0)，所以f(0)＝0或f(0)＝1. 当f(0)＝0时，令y＝0，则f(x)＝f(x)f(0)＝0，则f(－x)＝0＝±f(x)，所以此时f(x)既是奇函数又是偶函数，故A错误，B正确； 对于C：当x>0时，f(x)>1，则f(1)>1， 又f(1)＝f(0)f(1)，所以f(0)≠0， 则f(0)＝1. 设x1>x2，则x1－x2>0，则f(x1－x2)>1， 所以f(x1)＝f(x1－x2＋x2)＝f(x1－x2)f(x2)， 由于f(x＋y)＝f(x)f(y)， 取y＝－x，得f(0)＝f(x)f(－x)， 所以f(x)＝eq \f(f0,f－x)＝eq \f(1,f－x)， 则当x∈(－∞，0)时，f(－x)>1，则f(x)>0， 所以f(x1)＝f(x1－x2)f(x2)>f(x2)， 则f(x)在R上单调递增，故C正确； 对于D：设x1<x2，则x1－x2<0， 则f(x1－x2)<1， 所以f(x1)＝f(x1－x2＋x2)＝f(x1－x2)f(x2)<f(x2)， 则f(x)在R上单调递增，故D错误，故选BC. [答案]　BC [反思感悟]　抽象函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要运用好所给的条件，判断出函数值之间的关系.常见的思路：先在所证区间上任取x1，x2x1<x2，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后利用函数的单调性的定义解决问题. 类型二　抽象函数的奇偶性 　已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－y))＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y))，且f(1)＝1，则下列结论错误的是(　　) A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数 D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝－1 [解析]　因为∀x，y∈R，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－y))＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y))， 取x＝1，y＝0可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝1，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝2，A正确； 取x＝0，y＝x可得f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))f(x)， 因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝2，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错误，B正确； 取x＝1，y＝1可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝2， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝－1，D正确，故选C. [答案]　C [反思感悟] 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，通过赋特殊值合理转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 类型三　抽象函数的对称性 　(多选)(2025·江西南昌二中月考)定义在R上的函数f(x)，满足对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x＋2)＝－f(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称 B．函数f(x)的图象关于直线x＝2轴对称 C．函数f(x)为奇函数 D．若x∈[2,3]时，f(x)＝2－x，则x∈[0,1]时，f(x)＝x [解析]　A错误，因为∀x∈R， 都有f(x＋2)＝－f(2－x)， 即f(x＋2)＋f(2－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称； B错误，因为∀x∈R， 都有f(－x)＝f(x＋2)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1轴对称； C正确，由∀x∈R， 都有f(－x)＝f(x＋2)＝－f(2－x)，① 用x－2替换x，得f(－(x－2))＝f((x－2)＋2)＝－f(2－(x－2))， 即f(2－x)＝f(x)＝－f(4－x)，② 所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数； D正确，因为f(－x)＝f(x＋2)，f(x)为奇函数，所以－f(x)＝f(x＋2)， 所以f(x)＝－f(x＋2)， 设x∈[0,1]，则x＋2∈[2,3]，因为当x∈[2,3]时，f(x)＝2－x， 所以当x∈[0,1]时， f(x)＝－f(x＋2)＝－[2－(x＋2)]＝x. [答案]　CD [反思感悟]　对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称． (2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称． (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称. $$