4.2.1 对数的运算性质(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

　对数的运算 2．1　对数的运算性质 学业标准 素养目标 1.会推导对数的运算性质．(难点) 2．掌握对数的运算性质，并能利用其进行对数的运算和化简．(重点) 1.通过推导对数的运算性质，发展逻辑推理等核心素养． 2．通过对数的运算，提升数学运算等核心素养． 3．通过解决实际问题提升数学建模等核心素养. 导学 对数的运算性质 　指数的运算法则有哪些？ [提示]　am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn. 　(1)设loga2＝m，loga3＝n.如何求am＋n? (2)上题中条件若换为logaM＝m，logaN＝n，如何求am＋n呢？ (3)在问题(2)的基础上，怎么用m，n表示loga(M·N)，还能得到什么结论？ [提示]　(1)因为loga2＝m，loga3＝n， 所以am＝2，an＝3， 故am＋n＝am·an＝2×3＝6. (2)因为logaM＝m，logaN＝n， 所以am＝M，an＝N， 故am＋n＝am·an＝M·N. (3)loga(M·N)＝logaM＋logaN＝m＋n. ◎结论形成 对数的运算性质 条件 a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0，b∈R 性质 loga(M·N)＝logaM＋logaN loga＝logaM－logaN logaMb＝blogaM 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)lg(x＋y)＝lg x＋lg y．(　　) (2)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0且a≠1，MN>0)．(　　) (3)＝log2＝1.(　　) (4)loga b2＝2loga b．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于(　　) A．a2＋b　 B．b＋2a　　 C．a＋2b　 D．a＋b2 解析　lg 12＝lg 3＋2lg 2＝b＋2a，故选B. 答案　B 3．计算：2log510＋log50.25＝________. 解析　原式＝log5102＋log50.25＝log525＝2. 答案　2 4．计算：log153－log64＋log155－2log63＝________. 解析　原式＝log153＋log155－(log64＋log69) ＝log1515－log636＝－1. 答案　－1 题型一　对数的运算性质简单应用 　(教材例1拓展)(1)计算： ①＝________. ②lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2＝________. (2)当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，下列等式成立吗？如果不成立，请举一个反例． ①loga(M·N)＝logaM·logaN； ②loga＝； ③loga(M＋N)＝logaM＋logaN； ④loga(M－N)＝logaM－logaN. [解析]　(1)①＝＝＝1. ②原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2 ＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (2)①不成立．如M＝100，N＝10， lg(100×10)＝3≠lg 100·lg 10＝2. ②不成立．如M＝100，N＝10， lg ＝1≠＝2. ③不成立．如M＝N＝1，log22＝1≠log21＋log21＝0. ④不成立．如M＝2，N＝1，log2(2－1)＝0≠log22－log21＝1. [答案]　(1)①1　②3　(2)略 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用； (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用； (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简．　 [触类旁通] 1．(1)(多选)若a＞0且a≠1，b＞0，c＞0，n，m∈N＋，n＞1，则下列等式成立的是(　　) A．loga(b2－c2)＝2logab－2logac B．(loga3)2＝2loga3 C．loga＝logab D．logab＝－loga (2)log3＋lg 25＋lg 4－log2(log216)的值为______． 解析　(1)由对数的运算性质知，只有CD成立，故选CD. (2)原式＝log33＋lg(25×4)－log24 ＝＋lg 100－log222＝＋2－2＝. 答案　(1)CD　(2) 题型二　对数运算性质的综合应用 角度1　与方程有关的对数问题 　(教材例2迁移)若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为(　　) A．4　　　　　　 B．1或 C．1或4 D． [解析]　因为2lg(x－2y)＝lg x＋lg y， 所以lg(x－2y)2＝lg xy， 所以x2＋4y2－5xy＝0， 所以42－5＋1＝0. 解得＝，或＝1(舍)，所以的值为. [答案]　D [母题变式] (变条件)将本例改为lg x＋lg y＝2lg(2x－3y)，则的值为________． 解析　因为lg x＋lg y＝2lg(2x－3y)， 所以 解得＝或＝1(舍去)．所以＝. 答案　 角度2　实际应用问题 　(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1　　　　 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N [解析]　由题意，得＝2.1，＝3.15. 若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N. [答案]　D 1．与对数方程有关的问题 利用对数的性质转化为普通方程，通过变形求解，得出结论后要验证方程中的对数式是否有意义． 2．与对数相关的实际问题 对数可以解决一些比较庞大的数据运算，因此在天文、物理、考古等问题中有广泛的应用，首先将实际问题利用对数表示，再利用对数、指数运算解决问题．　 [触类旁通] 2．(1)(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________. (2)通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0.其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．则里氏8.0级地震的最大振幅是里氏5.0级地震最大振幅的________倍． 解析　(1)根据题意有－＝－， 即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)， 则t>0，故3t－＝－， 得t＝(t＝－1舍去)， 所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. (2)由M＝lg A－lg A0可得， M＝lg，即＝10M，A＝A0·10M， 当M＝8时，地震的最大振幅为A8＝A0·108； 当M＝5时，地震的最大振幅为A5＝A0·105； 所以两次地震的最大振幅之比是 ＝＝108－5＝1000. 所以8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍． 答案　(1)64　(2)1000 [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错辨析　　 因忽略对数的真数为正而致错 [典例]　解方程lg(x＋1)＋lg x＝lg 6. [错解]　∵lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)] ＝lg(x2＋x)， ∴lg(x2＋x)＝lg 6， ∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3. [正解]　∵lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)]＝lg 6， ∴x(x＋1)＝6，解得x＝2或x＝－3， 经检验x＝－3不符合题意， ∴x＝2. [纠错心得]　解对数方程时，要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数． 知识落实 技法强化 1.对数的运算性质． 2．对数运算性质的运用． 3．利用对数的运算性质化简、求值. 1.方法归纳：转化法． 2．常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则. 学科网（北京）股份有限公司 $$