第1章 教考衔接2 巧用基本不等式(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该高中数学课件围绕“巧用基本不等式”展开，课堂导入从预备知识中的基本不等式定义及成立条件切入，通过回顾旧知搭建学习支架，引导学生衔接不等式结构特征分析，逐步过渡到配凑、代换等应用技巧的探究。 其亮点在于立足教考衔接，结合具体最值问题案例培养学生数学思维与数学语言，采用例题解析与技巧归纳的学科特色教学方法。学生能深化知识应用能力，教师可高效实现考点对接与学生解题能力提升。

第一章　预备知识 教考衔接2　巧用基本不等式 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 一、真题展示 1．(2024·上海卷)已知ab＝1，则4a2＋9b2的最小值为_______． 2．(天津卷)若a>0，b>0，则eq \f(1,a)＋eq \f(a,b2)＋b的最小值为_______． 二、真题溯源 [教材P30练习第3题] 用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆长度是多少？ 三、类法探究 基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b>0)的应用比较广泛，应用技巧也比较丰富，常见的有连续运用基本不等式求最值，利用基本不等式求参数范围，常数“1”的代换证明不等式，另外基本不等式也常和其他知识交汇考查． 类型一　连续用基本不等式求最值 　已知a>b>0，求a2＋eq \f(1,ba－b)的最小值． [解析]　由a>b>0，得a－b>0， ∴b(a－b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋a－b,2)))2＝eq \f(a2,4). ∴a2＋eq \f(1,ba－b)≥a2＋eq \f(4,a2)≥2eq \r(a2·\f(4,a2))＝4， 当且仅当b＝a－b且a2＝eq \f(4,a2)， 即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)时取等号． ∴a2＋eq \f(1,ba－b)的最小值为4. [反思感悟]　多次使用基本不等式时，一定要保证几次等号成立的条件能同时成立，要善于发现“定值”，在使用时可采用拼凑法、换元法、常数代换等方法. 类型二　利用基本不等式求参数 　(1)已知x>0，y>0，且x＋y＋xy＝3，若不等式x＋y≥m2－m恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．－2≤m≤1 B．－1≤m≤2 C．m≤－2或m≥1 D．m≤－1或m≥2 (2)已知x，y∈(0，＋∞)，若不等式eq \r(x)＋eq \r(2y)≤aeq \r(\f(x,2)＋y)恒成立，则a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞)　　　　　 B．[eq \r(2)，＋∞) C．[2，＋∞) D．[2eq \r(2)，＋∞) [解析]　(1)xy＝3－(x＋y)≤eq \f(x＋y2,4)，当且仅当x＝y＝1时等号成立， 解得x＋y≥2，即(x＋y)min＝2. 因为不等式x＋y≥m2－m恒成立， 所以m2－m≤(x＋y)min，即m2－m≤2， 解得－1≤m≤2. (2)x，y∈(0，＋∞)，不等式eq \r(x)＋eq \r(2y)≤aeq \r(\f(x,2)＋y)恒成立，所以a>0， 两边平方得x＋2eq \r(2xy)＋2y≤a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋y))， a2≥2＋eq \f(2\r(2xy),\f(x,2)＋y)恒成立，需a2≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(2\r(2xy),\f(x,2)＋y)))max， 而eq \f(2\r(2xy),\f(x,2)＋y)≤eq \f(x＋2y,\f(x,2)＋y)＝2，当且仅当x＝2y时，等号成立，∴a2≥4，∴a≥2. [答案]　(1)B　(2)C [反思感悟]　求参数的值或取值范围的一般方法 1分离参数，转化为求代数式的最值问题. 2观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围. 类型三　利用基本不等式比较大小 　 (1)(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥eq \f(1,2) B．eq \r(a)＋eq \r(b)≥eq \r(2) C．ab＋eq \f(1,2)b≤eq \f(9,16) D．a2＋b2－ab≥eq \f(1,4) (2)(多选)设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为A(a，b)＝eq \f(a＋b,2)，几何平均数为G(a，b)＝eq \r(ab).上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lp(a，b)＝eq \f(ap＋bp,ap－1＋bp－1)，其中p为有理数．下列结论正确的是(　　) A．L0.5(a，b)≤L1(a，b) B．L0(a，b)≤G(a，b) C．L2(a，b)≤A(a，b) D．Ln＋1(a，b)≤Ln(a，b) [解析]　(1)对选项A，a>0，b>0，且a＋b＝1， 所以ab≤eq \f(a＋b2,4)＝eq \f(1,4)， 当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立． 所以a2＋b2＝1－2ab≥1－2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，故A正确． 对选项B，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\r(b)))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝1＋2eq \r(ab)≤1＋2× eq \r(\f(1,4))＝2， 当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立． 所以eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)，故B错误． 对选项C，因为a>0，b>0， 且a＋b＝1， ab＋eq \f(1,2)b＝(1－b)b＋eq \f(1,2)b＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,4)))2＋eq \f(9,16)， 当b＝eq \f(3,4)时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab＋\f(1,2)b))max＝eq \f(9,16)， 所以ab＋eq \f(1,2)b≤eq \f(9,16)，故C正确． 对选项D，由A知：ab≤eq \f(1,4)， 所以a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝1－3ab≥1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)， 当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立，故D正确． (2)对于A，L0.5(a，b)＝eq \f(\r(a)＋\r(b),\f(1,\r(a))＋\f(1,\r(b)))＝eq \r(ab)≤L1(a，b)＝eq \f(a＋b,2)， 当且仅当a＝b时，等号成立，故A正确； 对于B，L0(a，b)＝eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)＝G(a，b)， 当且仅当a＝b时，等号成立，故B正确； 对于C，L2(a，b)＝eq \f(a2＋b2,a＋b)＝eq \f(a2＋b2＋a2＋b2,2a＋b)≥eq \f(a2＋b2＋2ab,2a＋b)＝eq \f(a＋b2,2a＋b)＝eq \f(a＋b,2)＝A(a，b)， 当且仅当a＝b时，等号成立，故C不正确； 对于D，当n＝1时，由选项C可知， L2(a，b)≥eq \f(a＋b,2)＝L1(a，b)，故D不正确． [答案]　(1)ACD　(2)AB [反思感悟]　运用基本不等式比较大小的注意点 1要灵活运用基本不等式，特别注意其变形. 2应注意成立的条件，即a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. $$