3.3 第2课时 指数函数的性质和图象的应用(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第2课时　指数函数的性质和图象的应用

　对于函数y＝ax和y＝bx；当a＞b＞0(a≠1，且b≠1)时，对一个实数x0，什么时候？什么时候？什么时候?

[提示]　由图象可知：①当a＞b＞1时，x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，；

②当1＞a＞b＞0时，x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，.

综上可知：对a＞b＞0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，.

　观察同一平面直角坐标系中函数①y＝x；②y＝x；③y＝3x；④y＝2x的图象，你能得出什么规律？

[提示]　函数y＝x与y＝2x的图象关于y轴对称，函数y＝x与y＝3x的图象关于y轴对称．

◎结论形成

底数互为倒数的两个指数函数的图象与性质的联系

指数函数y＝ax和y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若指数函数y＝ax是减函数，则0＜a＜1.(　　)

(2)对于任意的x∈R，一定有3x＞2x.(　　)

(3)y＝3x是刻画指数增长变化规律的函数模型．(　　)

(4)若ax－1>a2则x>3.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．若y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)

A．y1＞y2＞y3　　　　 B．y1＞y3＞y2

C．y2＞y1＞y3  D．y3＞y1＞y2

解析　∵y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，

∴y1＞y3＞y2，故选B.

答案　B

3．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值等于3a，则a＝________.

解析　当a＞1时，依题意得a2＝3a，解得a＝3.

当0＜a＜1时，依题意得a2＝3a不成立．故a＝3.

答案　3

4．函数y＝ 的定义域是________．

解析　由x－2－4≥0，即22－x≥22，即x≤0，故函数定义域是(－∞，0]．

答案　(－∞，0]

题型一　比较指数幂的大小

　(教材例3、例5拓展)(1)设a＝20.3，b＝0.32，c＝－2.5，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c　　　　　 B．b＜c＜a

C．c＜b＜a  D．b＜a＜c

(2)(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(3)比较下列各组数的大小．

①0.80.5与－0.4；

②20.3，－0.4,80.2；

③0.6－2与.

[解析]　(1)因为a＝20.3，c＝－2.5＝22.5，

所以c＞a＞1.又因为b＝0.32＜1，所以c＞a＞b.

(2)由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C.

(3)①－0.4＝0.4＝0.80.4，

因为函数y＝0.8x在定义域R内是减函数，

又因为0.5＞0.4，所以0.80.5＜0.80.4，

即0.80.5＜－0.4.

②∵－0.4＝20.4,80.2＝20.6，

又y＝2x在定义域R上为增函数，

∴20.6＞20.4＞20.3，

即80.2＞－0.4＞20.3.

③因为0.6－2＞0.60＝1，

[答案]　(1)D　(2)C　(3)略

比较幂值大小的三种类型及处理方法