3.3 第2课时 指数函数的性质和图象的应用(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该教案聚焦指数函数性质与图象的应用，核心知识点包括比较幂的大小、解指数不等式及综合应用。课堂导入通过对比不同底数指数函数（如y=a^x与y=b^x，a>b>0且a≠1,b≠1）在(0,+∞)、(-∞,0)及x=0时的函数值，结合图象引导学生总结规律，衔接已学的指数函数图象和单调性，搭建从基础到应用的学习支架。 资料特色是以问题链驱动探究，通过比较幂的大小（如y1=4^0.9,y2=8^0.48,y3=(1/2)^-1.5转化为同底数2^x后利用单调性比较）和解不等式（如(1/3)^(3x+2)>(1/2)^(2x+3)转化为指数不等式求解），强化逻辑推理与数学运算素养。例题变式设计（如母题变式中恒成立问题求参数范围）提升综合应用能力，帮助学生深化理解，也为教师提供结构化教学素材，提升课堂效率。

第2课时　指数函数的性质和图象的应用 学业标准 素养目标 1.能利用指数函数的性质和图象比较大小、解不等式．(重点) 2．掌握指数函数图象和性质的综合应用．(难点) 1.通过指数幂的大小比较提升逻辑推理，数据分析核心素养． 2．通过图象性质的综合应用提升逻辑推理，数学运算等核心素养. 导学 指数函数y＝ax和y＝x(a＞0且a≠1)的图象与性质 　对于函数y＝ax和y＝bx；当a＞b＞0(a≠1，且b≠1)时，对一个实数x0，什么时候？什么时候？什么时候? [提示]　由图象可知：①当a＞b＞1时，x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，； ②当1＞a＞b＞0时，x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，. 综上可知：对a＞b＞0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，. 　观察同一平面直角坐标系中函数①y＝x；②y＝x；③y＝3x；④y＝2x的图象，你能得出什么规律？ [提示]　函数y＝x与y＝2x的图象关于y轴对称，函数y＝x与y＝3x的图象关于y轴对称． ◎结论形成 底数互为倒数的两个指数函数的图象与性质的联系 指数函数y＝ax和y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若指数函数y＝ax是减函数，则0＜a＜1.(　　) (2)对于任意的x∈R，一定有3x＞2x.(　　) (3)y＝3x是刻画指数增长变化规律的函数模型．(　　) (4)若ax－1>a2则x>3.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．若y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　) A．y1＞y2＞y3　　　　 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 解析　∵y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5， ∴y1＞y3＞y2，故选B. 答案　B 3．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值等于3a，则a＝________. 解析　当a＞1时，依题意得a2＝3a，解得a＝3. 当0＜a＜1时，依题意得a2＝3a不成立．故a＝3. 答案　3 4．函数y＝ 的定义域是________． 解析　由x－2－4≥0，即22－x≥22，即x≤0，故函数定义域是(－∞，0]． 答案　(－∞，0] 题型一　比较指数幂的大小 　(教材例3、例5拓展)(1)设a＝20.3，b＝0.32，c＝－2.5，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　　 B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c (2)(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (3)比较下列各组数的大小． ①0.80.5与－0.4； ②20.3，－0.4,80.2； ③0.6－2与. [解析]　(1)因为a＝20.3，c＝－2.5＝22.5， 所以c＞a＞1.又因为b＝0.32＜1，所以c＞a＞b. (2)由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C. (3)①－0.4＝0.4＝0.80.4， 因为函数y＝0.8x在定义域R内是减函数， 又因为0.5＞0.4，所以0.80.5＜0.80.4， 即0.80.5＜－0.4. ②∵－0.4＝20.4,80.2＝20.6， 又y＝2x在定义域R上为增函数， ∴20.6＞20.4＞20.3， 即80.2＞－0.4＞20.3. ③因为0.6－2＞0.60＝1， [答案]　(1)D　(2)C　(3)略 比较幂值大小的三种类型及处理方法 　 [触类旁通] 1．(1)(2025·烟台一中月考)已知a＝0.771.2，b＝1.20.77，c＝π0，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．a<c<b D．c<a<b (2)已知，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<a<b B．a<b<c C．b<a<c D．c<b<a 解析　(1)a＝0.771.2,0<a<1， b＝1.20.77>1，c＝π0＝1，则a<c<b. (2)对于指数函数y＝ax，若x<0，则当0<a<1时，有ax>1；当a>1时，有0<ax<1. 又因为函数y＝x在R上是减函数，且－<－，所以. 综上知，，即c<b<a. 答案　(1)C　(2)D 题型二　简单的指数不等式 　(教材例4迁移)(1)函数y＝ 的定义域为________； (2)解不等式3x＋2＞22x＋3. [解析]　(1)由题意32x－1≥＝3－2， 故原不等式等价于2x－1≥－2，解得x≥－， 因此原函数的定义域为. (2)原不等式等价于3x＋2＞－2x－3， 所以3x＋2＜－2x－3，化简得5x＜－5， 解得x＜－1. 所以原不等式的解集为(－∞，－1)． [答案]　(1)　(2)略 [母题变式] (变条件)将本例(2)改为若(a＞0且a≠1)，求x的取值范围． 解析　当a＞1时，原不等式等价为x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1. 当0＜a＜1时，原不等式等价为x2－3x＋2＜0. 解得1＜x＜2. 综上所述，当a＞1时，x的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)；当0＜a＜1时，x的取值范围是(1,2)． 解指数不等式问题时需注意的三点 (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如ax＞b(b＞0)的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax＞bx的形式利用函数图象求解．　 [触类旁通] 2．关于x的不等式(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x的解集为________． 解析　∵a2＋a＋2＝2＋＞1， ∴x＞1－x，即x＞. 故原不等式的解集为. 答案　 题型三　指数函数性质的综合应用 　已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝. (1)求a，b的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域． [解析]　(1)∵ ∴根据题意得 解得故a，b的值分别为－1,0. (2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)设任意x1＜x2，且x1，x2∈[0，＋∞)， 即f(x1)＜f(x2)． 所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数． 当x＝0时，函数取得最小值，为f(0)＝1＋1＝2，所以f(x)的值域为[2，＋∞)． [母题变式] (变结论)本例的条件不变，若f(x)－2m≥0对任意实数恒成立，则实数m的取值范围为________． 解析　由本例解答知，f(x)的最小值为2，要使f(x)－2m≥0恒成立，即f(x)≥2m恒成立，只需2m≤2即可．解得m≤1. 答案　(－∞，1] 解决指数函数性质的综合问题应关注两点 (1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．　 [触类旁通] 3．已知函数f(x)＝x3. (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)证明：f(x)>0. (1)解析　由题意得2x－1≠0，即x≠0， ∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)解析　令g(x)＝＋＝， φ(x)＝x3. ∵g(－x)＝＝＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数． 又∵φ(x)＝x3为奇函数， ∴f(x)＝·x3为偶函数． (3)证明　当x>0时，2x>1，∴2x－1>0， ∴＋>0. ∵x3>0，∴f(x)>0. 由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立． 故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0. [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 函数y＝ag(x)的单调性、值域问题 [典例]　函数的单调递减区间是________，值域是________． [解析]　令t＝x2－2x＝(x－1)2－1， 则f(x)＝t， 利用一元二次函数的性质可得函数t的递增区间为[1，＋∞)； 所以函数的递减区间是[1，＋∞)； 因为t≥－1， 所以f(x)≤， 所以函数的值域为. [答案]　[1，＋∞)　 [纠错心得]　复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y＝at，内层t＝f(x)． (2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则原函数单调递增，单调性相反则原函数单调递减． (3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y＝at的值域． 知识落实 技法强化 1.比较幂的大小． 2．探究函数y＝af(x)的单调性、值域． 3．解形如af(x)>ag(x)的不等式. 1.探究y＝af(x)与g＝f(ax)的性质时，要注意换元法的应用． 2．比较幂的大小，多借助于幂函数，指数函数的单调性. 学科网（北京）股份有限公司 $$