2.4.1 第2课时 函数奇偶性的应用(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第2课时　函数奇偶性的应用 导学 函数的单调性与奇偶性 　从两个偶函数的图象中，能找出偶函数在对称区间上单调性的关系吗？奇函数呢？ [提示]　偶函数在对称区间上的单调性相反．奇函数在对称区间上的单调性相同． ◎结论形成 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(　　) (2)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.(　　) (3)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数．(　　) (4)若f(x)是奇函数，则f(0)＝0.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f<f(－1)<f(2) B．f(2)<f<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f D．f(－1)<f<f(2) 解析　因为函数f(x)是偶函数，所以f(2)＝f(－2)， 又函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增， 所以f(－2)<f<f(－1)， 即f(2)<f<f(－1)． 答案　B 3．已知f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x<0时，f(x)＝6－5x，则当x>0时，f(x)＝________________. 解析　由题知，f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)， ∵x<0，f(x)＝6－5x， 则当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝5x＋6， ∵f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝5x＋6. 答案　5x＋6 4．已知函数f(x)＝x3＋2x为增函数，则不等式f(2a－1)＋f(a)>0的解集为________． 解析　∵f(x)＝x3＋2x，∴f(－x)＝(－x)3＋2×(－x)＝－x3－2x＝－f(x)， 故函数f(x)＝x3＋2x为奇函数，且单调递增， 又f(2a－1)＋f(a)>0， 即f(2a－1)>－f(a)＝f(－a)， ∴2a－1>－a，解得a>. 答案　 题型一　利用奇偶性求函数的解析式 　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． [解析]　当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0. 故f(x)＝ [母题变式] (变条件、变结论)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式． 解析　当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)， 所以f(x)＝x2＋2x＋3， 即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3. 利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．　 [触类旁通] 1．(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式； (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解析　(1)设x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，f(x)＝－x－1. 又x＝0时，f(0)＝0， 所以f(x)＝ (2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． 由f(x)＋g(x)＝，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② 联立①②得f(x)＝，g(x)＝. 题型二　奇偶性与单调性的综合应用 角度1　比较大小 　已知函数y＝f(x)是偶函数，它在(－∞，0)上单调递增，则f(－3)，f()，f(π)的大小关系是(　　) A．f(－3)<f()<f(π) B．f(－3)<f(π)<f() C．f(π)<f(－3)<f() D．f()<f(－3)<f(π) [解析]　因为函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)， 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且π>3>， 所以f(π)<f(3)<f()，即f(π)<f(－3)<f()，故选C. [答案]　C 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．　 角度2　解不等式 　已知定义在[－2,2]的函数f(x)在[0,2]单调递减，且f(1－m)<f(m)． (1)若f(x)是奇函数，求m的取值范围； (2)若f(x)是偶函数，求m的取值范围． [解析]　(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在[－2,2]上单调递减，故 解得m∈， 故m的取值范围为. (2)若f(x)是偶函数，因为f(x)在[0,2]上单调递减，故在[－2,0)上单调递增， 由f(1－m)<f(m)得f(|1－m|)<f(|m|)， 故 解得m∈， 故m的取值范围为. 要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．　 [触类旁通] 2．(1)(多选)已知函数f(x)在[－5,5]上是奇函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－4)<f(－2)，则下列不等式一定成立的是(　　) A．f(4)<f(2)　　　　 B．f(2)<f(3) C．f(－3)<f(5) D．f(0)<f(1) (2)定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(m2)＋f(－3－2m)>f(0)，则实数m的取值范围为________． 解析　(1)因为函数f(x)在[－5,5]上是奇函数，所以f(－4)<f(－2)⇒f(4)>f(2)． 又f(x)在[0,5]上是单调函数，所以f(x)在[－5,5]上单调递增，从而f(－3)<f(5)，f(2)<f(3)，f(0)<f(1)． (2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数， ∴f(x)在定义域R上是减函数，且f(0)＝0. ∴f(m2)＋f(－3－2m)>f(0)＝0， 即f(m2)>－f(－3－2m)＝f(2m＋3)， 故可知m2<2m＋3⇒m2－2m－3<0， 即可解得－1<m<3， ∴实数m的取值范围为(－1,3)． 答案　(1)BCD　(2)(－1,3) 题型三　函数图象的对称问题 　证明：函数f(x)＝的图象关于点(1,0)对称． [证明]　任取a∈R，因为f(1＋a)＋f(1－a)＝＋＝0，所以f(1＋a)＋f(1－a)＝0， 即f(x)图象关于点(1,0)对称． 1．f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称(偶函数f(x)是特例)． 2．函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(x)＋f(2a－x)＝0(奇函数f(x)是特例)．　 [触类旁通] 3．若函数f(x)＝|x－a|＋m(a，m∈R)的图象关于x＝2对称，则a的值为________． 解析　f(x)的定义域为R，依题意f(1)＝f(3)， 即|1－a|＝|3－a|，解得a＝2，经检验符合题意． 答案　2 [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 化归思想在解抽象不等式中的应用 [典例]　已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，且满足下列条件：①f(x)为奇函数；②f(x)在定义域上单调递减；③f(1－a)＋f(1－a2)<0，求实数a的取值范围． [解析]　∵f(x)是奇函数， ∴f(1－a2)＝－f(a2－1)． ∴f(1－a)＋f(1－a2)<0 ⇒f(1－a)<－f(1－a2) ⇒f(1－a)<f(a2－1)． ∵f(x)在定义域(－1,1)内是单调递减的， ∴ 解得0<a<1. ∴a的取值范围为(0,1)． [纠错心得]　本题的解答充分体现了化归思想的作用，将抽象不等式借助函数的性质转化成为具体不等式，从而解决问题．特别注意函数自身定义域对参数的影响． 知识落实 技法强化 1.利用奇偶性求解析式． 2．利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式. 1.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 2．利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等的核心是转化. 学科网（北京）股份有限公司 $$