2.4.1 第2课时 函数奇偶性的应用(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第2课时　函数奇偶性的应用

　从两个偶函数的图象中，能找出偶函数在对称区间上单调性的关系吗？奇函数呢？

[提示]　偶函数在对称区间上的单调性相反．奇函数在对称区间上的单调性相同．

◎结论形成

1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同．

2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(　　)

(2)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.(　　)

(3)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数．(　　)

(4)若f(x)是奇函数，则f(0)＝0.(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　)

A．f<f(－1)<f(2)

B．f(2)<f<f(－1)

C．f(2)<f(－1)<f

D．f(－1)<f<f(2)

解析　因为函数f(x)是偶函数，所以f(2)＝f(－2)，

又函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，

所以f(－2)<f<f(－1)，

即f(2)<f<f(－1)．

答案　B

3．已知f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x<0时，f(x)＝6－5x，则当x>0时，f(x)＝________________.

解析　由题知，f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，

∵x<0，f(x)＝6－5x，

则当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝5x＋6，

∵f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝5x＋6.

答案　5x＋6

4．已知函数f(x)＝x3＋2x为增函数，则不等式f(2a－1)＋f(a)>0的解集为________．

解析　∵f(x)＝x3＋2x，∴f(－x)＝(－x)3＋2×(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，

故函数f(x)＝x3＋2x为奇函数，且单调递增，

又f(2a－1)＋f(a)>0，

即f(2a－1)>－f(a)＝f(－a)，

∴2a－1>－a，解得a>.

答案　

题型一　利用奇偶性求函数的解析式 

　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．

[解析]　当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，

由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，

所以f(x)＝－x2－2x－3.

即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.

因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0.

故f(x)＝

[母题变式]

(变条件、变结论)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式．

解析　当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，

因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，

所以f(x)＝x2＋2x＋3，

即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.

利用函数奇偶性求解析式的方法

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．

(2)要利用已知区间的解析式进行代入．

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．　

[触类旁通]

1．(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；

(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．

解析　(1)设x<0，则－x>0，

∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，

又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，

∴当x<0时，f(x)＝－x－1.

又x＝0时，f(0)＝0，

所以f(x)＝

(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．

由f(x)＋g(x)＝，①

用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，