2.2.1 第2课时 函数概念(二)(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第2课时　函数概念(二) 导学1 函数的要素 　以下各对函数的定义域、对应关系、值域是否相同？ (1)f(x)＝x2，x∈[0,1]与g(x)＝x2，x∈[0,3]； (2)f(x)＝x与g(x)＝； (3)f(x)＝与g(t)＝. [提示]　(1)对应关系相同，定义域与值域分别不同． (2)定义域相同，对应关系与值域分别不同． (3)定义域、对应关系与值域均相同． 　构成函数的要素有哪些？函数y＝x与g(x)＝|x|表示同一个函数吗？ [提示]　定义域、对应关系和值域；不是同一函数，对应关系与值域分别不同． ◎结论形成 1．由函数的定义知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域．函数的值域由定义域与对应关系决定． 2．同一个函数 前提条件 定义域相同 对应关系完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 3.常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R. 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 导学2 抽象函数 1.没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 2．设y是u的函数，即y＝f(u)，u是x的函数，即u＝g(x)．如果g(x)的值全部或部分在f(u)的定义域内，则y通过u成为x的函数，记作y＝f(g(x))，称为由函数y＝f(u)与u＝g(x)复合而成的复合函数，其中y＝f(u)称为外层函数，u＝g(x)称为内层函数． 3．已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围(g(x)的值域)为A，求出自变量x的取值范围． 4．已知f(g(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(g(x))中的自变量x的取值范围为B，求出g(x)的取值范围[g(x)的值域]，此范围就是f(x)的定义域． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．(　　) (2)两个函数的定义域和值域分别对应相同就表示同一函数．(　　) (3)若f(x＋1)＝x2则f(2)＝4.(　　) (4)f(x)的定义域是[2,4]，f(g(x))的定义域也是[2,4]．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列函数中，与函数y＝2x表示同一函数的是(　　) A．y＝|2x|　　　　　 B．y＝2t C．y＝ D．y＝ 解析　A、D选项中的对应关系与y＝2x不同；C项中定义域与y＝2x的定义域不同． 答案　B 3．已知f(x3)＝2x＋1，则f(2)＝________. 解析　令x3＝2，则x＝，所以f(2)＝2＋1. 答案　2＋1 4．设函数f(x)＝(x－2)2＋x－，若f(x)＝0，则x＝________. 解析　令f(x)＝(x－2)2＋x－＝0， 整理，得＝0. 因为x2－x＋2＝0无实根，所以x＝2. 答案　2 题型一　同一函数的判断 1．(教材例1拓展)下列四组函数中，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝|x|，g(x)＝ B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝，g(x)＝x－1 D．f(x)＝·，g(x)＝ 解析　对于A项，g(x)＝＝|x|与f(x)＝|x|定义域、对应关系分别对应相同，是同一函数． 选项B中，对应关系不同，不是同一函数． 选项C中，f(x)定义域{x|x∈R且x≠－1}， g(x)的定义域为R，不是同一函数； 选项D中，f(x)定义域为[1，＋∞)，g(x)定义域为{x|x≤－1或x≥1}，两函数定义域不同，不是同一函数． 答案　A 2．下列各组函数． ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝·，g(x)＝； ③f(x)＝，g(x)＝x＋3; ④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一函数的是________(填序号)． 解析　①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数； ②f(x)与g(x)的定义域都是[－1,1]，且对应关系相同，是同一函数； ③f(x)＝＝|x＋3|与g(x)＝x＋3对应关系不同，不是同一函数； ④f(x)与g(x)定义域不同，不是同一函数； ⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系分别对应相同，是同一函数． 答案　②⑤ 判断两个函数为同一函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都分别对应相同，也不一定是同一函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形．　 题型二　求函数的值域 　求下列函数的值域． (1)y＝－1；(2)y＝； (3)y＝(x>1)；(4)y＝2x－. [解析]　(1)(直接法)∵≥0， ∴－1≥－1， ∴y＝－1的值域为[－1，＋∞)． (2)(分离常数法)y＝＝ ＝2＋， 显然≠0，所以y≠2， 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(基本不等式法)由x>1，知x－1>0. 则y＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8， 当且仅当x－1＝，即x＝4时，上式取“＝”． ∴y＝(x>1)的最小值为8. 故函数y＝的值域为[8，＋∞)． (4)(换元法)设t＝， 则t≥0，且x＝t2＋1， 所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋， 由t≥0，结合函数的图象得原函数的值域为 . 1．求函数的值域，应先确定定义域，由定义域及对应关系确定函数的值域． 2．求函数值域的常用方法． (1)对一些简单的函数，用观察法直接求解． (2)对于二次函数，常用配方法求值域． (3)对于分式类型的函数，采用分离常数法，转化为“反比例函数”的形式，便于求值域． (4)对于带根号的函数，常用换元法转化为有理函数，间接地求原函数的值域．　 [触类旁通] 1．(1)设函数f(x)＝2x＋3的值域是[－1,5]，则其定义域为________． (2)已知函数y＝·的定义域是A，函数y＝a－2x－x2的值域为B，全集为R，且(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围． 解析　(1)由－1≤2x＋3≤5，解得－2≤x≤1. 即函数的定义域为[－2,1]． (2)因为x＋5≥0，且3－x≥0，解得－5≤x≤3， 所以A＝{x|－5≤x≤3}， 所以∁RA＝{x|x<－5，或x>3}， 因为y＝a－2x－x2＝－(x＋1)2＋1＋a≤1＋a， 所以B＝{y|y≤1＋a}， 由(∁RA)∪B＝R，得1＋a≥3，即a≥2， 所以a的取值范围是{a|a≥2}． 答案　(1)[－2,1]　(2)略 题型三　抽象函数的定义域 　设函数y＝f(x)的定义域是[－1,3]，求函数g(x)＝f(2x＋1)＋f(x－1)的定义域． [解析]　∵函数f(x)的定义域是[－1,3]， ∴要使函数g(x)有意义， 则解得0≤x≤1. 故函数g(x)＝f(2x＋1)＋f(x－1)的定义域为[0,1]． [母题变式] (变条件)若将本例中已知“f(x)的定义域[－1,3]”改为：“f(x＋1)的定义域为(－2,2)”，求g(x)的定义域． 解析　∵f(x＋1)的定义域是(－2,2)， ∴f(x)的定义域是(－1,3)． 要使g(x)有意义， 则解得0<x<1. ∴g(x)的定义域是(0,1)． 1．若已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，则函数y＝f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b解得． 2．求抽象函数定义域的关键是理解函数的定义．　 [触类旁通] 2．已知函数f(x)＝，则函数f(3x－2)的定义域为(　　) A.　　　　 B． C. D． 解析　由－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，故函数f(x)的定义域为[－1,3]．由－1≤3x－2≤3，解得≤x≤，则函数f(3x－2)的定义域为. 答案　A [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 抽象函数的定义域 [典例]　若函数f(x)的定义域为[0,4]，求g(x)＝的定义域． [解析]　因为f(x)的定义域为[0,4]，所以要使g(x)有意义，应有 解得0≤x≤2且x≠1. 所以g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2]． [纠错心得]　求抽象函数定义域的原则及方法 (1)原则：同在对应法则f下的范围相同，即f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)的范围相同． (2)方法：已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)∈A，求x的范围． 知识落实 技法强化 1.同一个函数的判定． 2．简单函数的值域． 3．抽象函数的定义域. 1.同一个函数的判定：求定义域要根据“原型”，对应关系要看化简的结果． 2．换元法求无理函数、值域要注意定义域的变化． 3．f(x)与f(g(t))：x与g(t)取值范围相同. 学科网（北京）股份有限公司 $$