2.1 生活中的变量关系(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

　生活中的变量关系 学业标准 素养目标 1.通过实例，了解生活中具有函数关系的两个变量之间的关系． 2．通过实例了解分段函数的概念. 1.通过生活中的变量关系，培养数学建模核心素养． 2．借助变量间的关系的表示，提升直观想象核心素养. 导学 生活中的变量关系 　初中我们已经学习过函数的概念，它是如何用函数描述变量之间的依赖关系的呢？ [提示]　在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． ◎结论形成 1．函数的概念(初中)：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． 2．具有函数关系的两个变量之间的关系：凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”． 3．分段函数 形如y＝的函数叫作分段函数． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)某商场一天的销售额与客流量之间是函数关系．(　　) (2)家庭买衣服的支出与交手机费之间是依赖关系．(　　) (3)高铁运营里程与年份之间存在依赖关系，但不是函数关系．(　　) (4)圆的面积与半径之间是函数的关系．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则(　　) A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 解析　小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系． 答案　A 3．(1)球的半径与表面积之间是________关系． (2)家庭收入与支出之间是________关系． 解析　(1)球的表面积随半径的变化而变化，且由半径唯一确定，所以是函数关系． (2)一般情况下，家庭支出随家庭收入的变化而变化，但收入一定时，支出并不唯一确定，所以是依赖关系． 答案　(1)函数　(2)依赖 4．交通路口，通过的汽车的数量与时间是________关系． 答案　依赖 题型一　 两变量关系的判断 (教材例1、例2拓展) 1．(多选)下列两个变量之间的关系是函数关系的是(　　) A．出租车车费与出租车行驶的里程 B．商品房销售总价与商品房建筑面积 C．铁块的体积与铁块的质量 D．人的身高与体重 解析　两个变量具有依赖关系，且具有函数关系的是选项A、B、C.故选ABC. 答案　ABC 2．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系； (2)商品的销售额与广告费之间的关系； (3)家庭的食品支出与电视价格之间的关系． 解析　(1)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h)与时间(t)具有关系h＝gt2，其中g是常量，很显然，对于时间t在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数； (2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系； (3)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系． 综上可知，(1)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量间不存在依赖关系． 依赖关系与函数关系的判断方法与步骤 (1)对于两个变量，如果一个变量的改变影响另一个变量，则这两个变量具有依赖关系，否则不具有依赖关系． (2)如果两个变量具有依赖关系，且一个变量的确定决定另一个变量的确定，则这两个变量具有函数关系，否则不具有函数关系．　 题型二　变量关系的表示 　(教材例4、例5提升)下图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题． (1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？ (2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？ (3)大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？ (4)变量Q是关于变量t的函数吗？ [解析]　观察图象可知： (1)全天最高气温大约是9 ℃，在14时达到．全天最低气温大约是－2 ℃，在4时达到． (2)大约在0时、8时和22时，气温为0 ℃. (3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上． (4)由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降．对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数． [母题变式] (变结论)对于本例中的两个变量Q和t，t是关于Q的函数吗？为什么？ 解析　不是．因为对于气温Q的一个值可能有两个时间t和它对应，所以时间t不是气温Q的函数． (1)表达两变量关系的常用方法是图象法和表格法． (2)在解题过程中要尽可能地利用题目所提供的数据，充分挖掘图象以及数据、表格中包含的信息，从而将问题解决．　 [触类旁通] 1．以下是某电视台的广告价格表(单位：元) 播出时长 价格 播出时间段 10 s 15 s 20 s 30 s 40 s 50 s 60 s 19：30～22：00 900 950 1000 1500 2000 2500 4000 试问：广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系？ 解析　是函数关系，因为x，y的取值范围分别是A＝{10,15,20,30,40,50,60}，B＝{900,950,1000,1500,2000,2500,4000}，它们都是非空数集，且按照表格中给出的对应关系，对任意的x∈A，在B中都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，即y与x是函数关系． 题型三　分段函数 　(教材例6拓展)在现实生活中，常常使用表格描述两个变量之间的对应关系．比如国内邮寄信函(本埠)，每封信函的重量和对应邮资如下表. 信函重 量m/g 0< m≤20 20< m≤40 40< m≤60 60< m≤80 80< m≤100 邮资 M/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 (1)邮资M是信函重量m的函数吗？若是，其解析式是什么？ (2)在(1)中邮资M是信函重量m的函数有几个？为什么？ [解析]　(1)据函数定义知M是m的函数，其解析式为M＝ (2)一个．因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分，但不是5个函数，只不过在定义域的不同子集内，对应关系不同而已． 理解分段函数的关注点 (1)分段函数是一个函数而不是几个函数． (2)对于一个变量在不同范围的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应．　 [触类旁通] 2．判断y＝是分段函数吗？ 解析　当x＝0时y＝1，还可以y＝3，不符合函数的定义，故不是分段函数． [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 判断两变量之间的关系 [典例]　已知变量x，y满足y2＝x，问y是x的函数吗？x是y的函数吗？ [解析]　y不是x的函数，若x＝4时，y＝±2有两个值与之对应；x是y的函数．因为对任意实数y0值，x都有唯一的值y与之对应． [纠错心得]　判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应． 知识落实 技法强化 1.两个变量之间的依赖关系，及函数关系． 2．分段函数. 1.函数关系的判定：要充分利用函数定义． 2．分段函数：不仅变量之间是因果关系，而且对于自变量x的不同取值范围对应关系不同，但它是一个函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$