1.4.2 一元二次不等式及其解法(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

4.2　一元二次不等式及其解法 学业标准 素养目标 1.通过一元二次函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式．(难点) 2．掌握含有参数的一元二次不等式的解法．(重点) 1.借助一元二次不等式及其解法的学习，提升直观想象等核心素养． 2．通过理解一元二次方程与一元二次不等式的关系，提升数学抽象等核心素养. 导学1 一元二次不等式的有关概念 　当a＞0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α＜β，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是什么？ [提示]　借助函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|x＜α或x＞β}． 　若问题1中的a＜0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是什么？ [提示]　解集为{x|α＜x＜β}． ◎结论形成 1．一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式及解集 一般形式 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c为常数且a≠0) 解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫这个一元二次不等式的解集 导学2 一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程之间的关系 　设一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)和ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集分别为{x|x＜x1或x＞x2}，{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？ [提示]　 x1＋x2＝－，x1x2＝. 　由问题1中的结论可知，不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集的端点与对应方程ax2＋bx＋c＝0的两根之间有什么关系？ [提示]　不等式解集的端点值是相应方程的根． ◎结论形成 一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不等的实根 x1,2＝(x1＜x2) 有两个相等的实根x1＝x2＝－ 没有实根 一元二次不等式的解集 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0) {x|x＜x1 或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0) {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　) (3)设二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实数根为x1，x2，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．(　　) (4)ax2＋bx＋c>0的解集可能是(m，＋∞)．(　　) 解析　(1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式． (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅. (3)当二次项系数小于0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}． (4)注意a＝0，b>0时． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　) A.　 B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.∪(1，＋∞) 解析　∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， ∴由2x2－x－1＞0 得(2x＋1)(x－1)＞0， 解得x＞1或x＜－， ∴不等式的解集为∪(1，＋∞)． 答案　D 3．不等式x2－5x＋6≤0的解集为________． 解析　利用一元二次不等式的解法求解． ∵x2－5x＋6≤0，∴(x－2)(x－3)≤0. ∴2≤x≤3.∴不等式的解集为{x|2≤x≤3}． 答案　{x|2≤x≤3} 4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是________． 解析　根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞) 题型一　解不含参数的一元二次不等式 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A.　　　 B． C. D．{2} 解析　因为N＝＝(－∞，－2]∪，而M＝， 所以M∩N＝.故选C. 答案　C 2．解下列不等式． (1)x2－8x＋15≥0； (2)－x2－2x＞－3； (3)－2x＞－3＋3x－3x2. 解析　(1)方程x2－8x＋15＝0的两根分别为x1＝3，x2＝5. 函数y＝x2－8x＋15的图象是开口向上的抛物线与x轴有两个交点(3,0)和(5,0)，(如右图所示)观察图象可知，不等式的解集为{x|x≤3或x≥5}． (2)原不等式可化为x2＋2x－3＜0.∵(x＋3)(x－1)＜0， ∴由图象可得解集为 {x|－3＜x＜1}． (3)原不等式移项整理得 3x2－5x＋3＞0. ∵Δ＝(－5)2－4×3×3＝－11＜0， ∴方程3x2－5x＋3＝0无实根． 函数y＝3x2－5x＋3的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点． ∴原不等式的解集为R. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零． (2)计算相应的判别式． (3)当Δ＞0时，求出相应的一元二次方程的两根． (4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集．　 题型二　 解含参数的一元二次不等式 　(教材例4提升)不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a＜0)的解集为(　　) A. B. C.∪[1，＋∞) D．(－∞，1)∪ [解析]　原不等式可以转化为－ax2＋(a＋2)x－2≤0，－a(x－1)≤0，因为a＜0，所以＜1，因此不等式的解集为. [答案]　A [母题变式] 1．(变条件)本例将条件“ax2－(a＋2)x＋2≥0”改为“ax2－(a＋2)x＋2≤0”，其他不变，结论如何？ 解析　原不等式可化为－ax2＋(a＋2)x－2≥0， 即－a(x－1)≥0，又a＜0，所以＜1， 故不等式的解集为. 2．(变条件)本例将条件“a＜0”去掉，则不等式的解集如何？ 解析　ax2－(a＋2)x＋2≥0可转化为 (ax－2)(x－1)≥0. ①当a＝0时，原不等式可化为x－1≤0，得x≤1. ②当a＞0时，原不等式可化为 (x－1)≥0. 当＞1，即0＜a＜2时， 不等式的解集为. 当＝1，即a＝2时，不等式的解集为R. 当＜1，即a＞2时，不等式的解集为 . ③当a＜0时，原不等式可化为(x－1)≤0， 所以不等式的解集为. 综上：当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤1}； 当0＜a＜2时，不等式的解集为； 当a＝2时，不等式的解集为R； 当a＞2时，不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用． (1)若二次项系数含有参数，需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论，对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论． (2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定，需对其判别式Δ进行讨论． (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．　 [触类旁通] 1．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解析　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2. 由a2－a＝a(a－1)可知： ①当a<0或a>1时，a2>a. 解原不等式得x>a2或x<a，不等式的解集为 {x|x＜a，或x＞a2}． ②当0<a<1时，a2<a，解原不等式得x>a或x<a2， 不等式的解集为{x|x＜a2，或x＞a}． ③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0，不等式的解集为{x|x≠0}． ④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1，不等式的解集为{x|x≠1}． 综上可知， 当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x＜a2，或x＞a}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}． 题型三　三个二次之间的关系 　若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． [解析]　解法一　由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0. 又×2＝＜0，则c＞0. 又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－＝，∴＝－.又＝－， ∴b＝－a，c＝－a. ∴不等式变为x2＋x＋a＜0， 即2ax2＋5ax－3a＞0. 又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0， 所求不等式的解集为. 解法二　由已知得a＜0且＋2＝－， 由×2＝知c＞0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1·x2＝， 其中＝＝－， －＝＝＝＋＝－， ∴x1＝－3，x2＝， ∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0)的解集为. [素养聚焦]　通过利用三个二次之间的关系解决问题，把数学抽象、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 　 [触类旁通] 2．(1)若一元二次不等式kx2－2x＋k<0的解集为{x|x≠m}，则m＋k的值为(　　) A．－1　　　　　　　 B．0 C．－2 D．2 (2)已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集． 解析　(1)因为不等式kx2－2x＋k<0的解集为{x|x≠m}，所以 解得k＝－1，m＝－1，故m＋k＝－2. (2)∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}， ∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根． 由根与系数的关系得－a＝1＋2，b＝1×2， 得a＝－3，b＝2，代入所求不等式， 得2x2－3x＋1＞0. 由2x2－3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜或x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0的解集为∪(1，＋∞)． 答案　(1)C　(2)略 [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错辨析　　 忽视对参数的分类讨论致误 [典例]　解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R)． [错解]　由于方程x2－2ax＋3＝0的两个实数根为x1＝a－，x2＝a＋，且x1<x2，所以不等式的解集为{x|x≤a－或x≥a＋}． [正解]　当Δ＝4a2－12>0， 即a>或a<－时， 方程x2－2ax＋3＝0有两个不相等的实数根， 即x1＝＝a－， x2＝＝a＋， 且x1<x2，所以不等式的解集为 {x|x≤a－或x≥a＋}； 当Δ＝4a2－12<0，即－<a<时，方程x2－2ax＋3＝0没有实数根，所以不等式的解集为R; 当Δ＝4a2－12＝0，即a＝±时， 方程x2－2ax＋3＝0有两个相等的实数根，所以不等式的解集为R. 综上所述，当a>或a<－时，不等式的解集为{x|x≤a－或x≥a＋}； 当－≤a≤时，不等式的解集为R. [纠错心得]　求解含参数的一元二次不等式时，如果相应方程的根的情况不确定，应对方程根的情况进行讨论，以确定不等式的解集． 知识落实 技法强化 1.一元二次不等式(或含参数)的解法． 2．三个二次之间的关系. 1.含参数的不等式，对分类标准要严格把关，做到不重不漏． 2．充分利用数形结合及转化的思想写出不等式的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $$