1.1.2 集合的基本关系(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

1.2　集合的基本关系 学业标准 素养目标 1.理解集合之间的包含与相等的含义．(难点) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(重点) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点) 1.通过集合的基本关系的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助Venn图表示集合的关系的运用，提升直观想象、逻辑推理核心素养. 导学1 子集与真子集 　给出集合：A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．集合A与集合B有什么关系？集合B中的元素与集合A有什么关系？ [提示]　A中每一个元素都属于B.此时集合B包含集合A.集合B中的元素a，b，c都在集合A中，但元素d，e不在集合A中． ◎结论形成 1．子集与真子集 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 定义：如果集合A中的任意一个元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集． 规定：空集是任何集合的子集 A⊆B(或B⊇A)，对于任意一个集合A：∅⊆A 真子集 如果集合A⊆B，且A≠B，称集合A是集合B的真子集 AB或(BA) 2.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. (3)空集是任何集合的子集，即∅⊆A. 导学2 集合相等 　两个集合：A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．A是B的子集吗？B是A的子集吗？两集合相等吗？ [提示]　 A是B的子集且B是A的子集，两集合相等． ◎结论形成 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，即若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何集合至少有两个子集．(　　) (2){0,1,2}⊆{2,0,1}．(　　) (3)若A⊆B，且A≠B，则AB.(　　) (4)集合{0,1}的子集是{0}，{1}，{0,1}．(　　) 解析　(1)∅只有一个子集． (2){0,1,2}＝{2,0,1}，所以{0,1,2}⊆{2,0,1}． (3)若A⊆B，且A≠B，则AB. (4)∅也是集合{0,1}的子集． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．下列集合是空集的为(　　) A．{0}　　　　　　　 B．{x|x＞8且x＜5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4} 答案　B 3．(多选)集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为(　　) A．P⊆T　 B．T⊇P C．P＝T　 D．PT 解析　集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，T＝{－1，0,1}，∴P⊆T，或者写成T⊇P或PT. 答案　ABD 4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是(　　) 解析　由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}． ∵M＝{－1,0,1}，∴NM. 答案　B 题型一　集合的基本关系判断 　(教材例3拓展)(1)(多选)下列关系正确的为(　　) A．0∈{0}　　　　　 B．{0,1}＝{(0,1)} C．∅{0} D．{(a，b)}＝{(b，a)} (2)指出下列各组集合之间的关系． ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ③M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． [解析]　(1)A正确，0是集合{0}的元素；B错误，集合{0,1}含有两个元素0,1；{(0,1)}含有一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；C正确，∅是任何非空集合的真子集；D错误，集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选AC. (2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． ②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. ③解法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 解法二　由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM. [答案]　(1)AC　(2)略 1．判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或维恩图． 2．证明A＝B，只需证明A⊆B且B⊆A. 3．证明集合间的包含关系，一般用定义．　 [触类旁通] 1．已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}，则M与P的关系为(　　) A．M＝P B．M⊆P C．P⊆M D．MP 解析　①对于任意x∈M，x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，∴x∈P，由子集定义知M⊆P. ②∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，即a＝2∈N＋， 而1∉M，∴1＋a2＝1在a∈N＋时无解． 综合①②知，MP. 答案　D 题型二　有限集合子集的确定 　(教材例4提升)(1)已知集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}，则A的真子集的个数是(　　) A．16　 　 B．8 C．7　 　 D．4 (2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个． [解析]　(1)∵A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0,1,2}， ∴集合A的真子集的个数为23－1＝7. (2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M共有7个． [答案]　(1)C　(2)7 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． (5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．　 [触类旁通] 2．(1)(多选)(2024·南京师大附中期中)下列各个选项中，满足{x|x2－2x－3＝0}⊆A{－1,0,1,3}的集合A有(　　) A．{－1,3} B．{－1,1} C．{－1,0,3} D．{－1,0,1,3} (2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集． 解析　(1)由十字相乘法知x2－2x－3＝(x－3)·(x＋1)＝0，即{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}． 所以{－1,3}⊆A{－1,0,1,3}，因此A中定有－1和3，可排除B，又A是{－1,0,1,3}的真子集，排除D.故选AC. (2)因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， 所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． 所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． 答案　(1)AC　(2)略 题型三　集合间关系的应用 角度1　由集合相等求参数 　已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}，且A＝B，求x，y的值． [解析]　因为A＝B，所以集合A与集合B中的元素相同，所以或 解得或或 验证得，当x＝0，y＝0时，A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．所以x，y的取值为或 角度2　由集合间的包含关系求参数 　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围． [解析]　∵A⊆B， ∴解得故3≤m≤4. ∴m的取值范围是{m|3≤m≤4}． [母题变式] (变条件)若将例3－2的“A⊆B”改为“B⊆A”，求实数m的取值范围． 解析　当B＝∅，即m＜－5； 当B≠∅时，解得 即m∈∅.故实数m的取值范围是{m|m＜－5}． 1．由集合相等求参数取值的方法 从集合相等的含义出发，转化为元素间的关系，一是利用分类讨论的方法建立方程组求参数的值，二是利用元素相同，则元素的和与积分别相同，建立方程组求参数的值．需要注意的是解方程组后要代入检验，对不符合题意的参数的值要舍去． 2．由集合之间的包含关系求参数的一个关注点 空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．　 [触类旁通] 3．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若A⊆B，则实数m的取值范围是________． 解析　由题得A＝{x|－1＜x＜3}，若A⊆B，可得所以m≥3. 故实数m的取值范围是{m|m≥3}． 答案　{m|m≥3} [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错辨析　　 忽略空集这一特殊情况而致误 [典例]　设集合A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若BA，求实数a的值组成的集合． [错解]　A＝{－3,5}，B＝，BA， 所以＝－3或＝5， 解之得a＝－或a＝. 综上知a的值组成的集合为. [正解]　(1)当B＝∅时，a＝0. (2)当B≠∅时，B＝， 因为A＝{－3,5}，BA，所以＝－3或＝5， 解之得a＝－或a＝. 综上知a的值组成的集合为. [纠错心得]　空集是任何集合的子集．不要忽略∅的情况． 知识落实 技法强化 1.子集、真子集、维恩图的概念及集合间关系的判断． 2．子集、真子集的个数问题． 3．由集合间的关系求参数的值或范围. 由集合间的关系求参数问题注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. 学科网（北京）股份有限公司 $$