1.1.1 第1课时 集合的含义(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

　集　合 1．1　集合的概念与表示 学业标准 素养目标 1.通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的特性． 2．体会元素与集合的属于关系，记住常用数集表示符号．(难点) 3．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点) 4．理解空集、集合的分类、区间的概念. 1.通过集合概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．根据元素与集合的关系，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 3．通过集合表示的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 第1课时　集合的含义 导学1 元素与集合的相关概念 　看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？ (1)大于2并且小于8的所有正数； (2)所有的三角形； (3)现在教室中所有的学生； (4)方程x2－16＝0的所有实数根． [提示]　以上例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等． 　你能具体说出你所在班级中头脑比较聪明的同学名单吗？你能具体说出你所在班级中所有女生的姓名名单吗？ [提示]　比较聪明的标准不明确，名单不能具体说出来，而所在班级中女生的姓名是具体明确的，是能够说出的． ◎结论形成 1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合．通常用大写英文字母A，B，C，…表示． 2．元素：集合中的每一个对象叫作这个集合的元素．通常用小写英文字母a，b，c，…表示． 3．集合中元素具有确定性、互异性、无序性． 导学2 元素与集合的关系 　 某中学2024年高一年级20个班构成一个集合．高一(6)班是这个集合中的元素吗？高二(3)班是这个集合中的元素吗？ [提示]　高一(6)班是这个集合的元素，高二(3)班不是这个集合的元素． ◎结论形成 1．属于：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A. 导学3 常用数集及其表示 数集名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 字母表示 N N＋或N* Z Q R R＋ 导学4 集合的分类 　由方程x2＋1＝0的所有实数解组成的集合是怎样的？ [提示]　由于该方程无实数解，因此这个集合不含任何元素，即该集合可以看成包含0个元素的集合． ◎结论形成 1．空集 一般地，把不含任何元素的集合称为空集，记作∅. 2．集合的分类 集合 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　) (2)好听的歌能组成一个集合．(　　) (3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．(　　) (4)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．(　　) 解析　(1)集合中的元素是互不相同的． (2)好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合． (3)错误． (4)正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知集合A由x<1的数构成，则有(　　) A．3∈A　　 B．1∈A　　 C．0∈A　　 D．－1∉A 解析　∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A. 答案　C 3．(多选)下列选项中能构成集合的是(　　) A．高一年级跑得快的同学 B．中国的大河 C．3的倍数 D．大于6的有理数 解析　集合的元素要满足“确定性”，所以AB选项不符合，CD选项符合． 答案　CD 4．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3∉Z；④－∉N，其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确．故选B. 答案　B 题型一　集合概念的理解 1．(多选)下列给出的对象能构成集合的有(　　) A．某校2025年入学的全体高一年级新生 B.的所有近似值 C．某个班级中学习成绩较好的所有学生 D．不等式3x－10<0的所有正整数解 解析　对于A，某校2025年入学的全体高一年级新生确定，元素确定，能构成集合，故A正确； 对于B，精确度不一样得到的近似值不一样，元素不确定，不能构成集合，故B错误； 对于C，学习成绩较好是相对的，故这些学生不确定，不能构成集合，故C错误； 对于D，不等式3x－10<0的所有正整数解为1,2,3，元素确定，能构成集合，故D正确． 答案　AD 2．考查下列每组对象能否构成一个集合． (1)不超过20的非负整数； (2)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (3)某校2025年在校的所有高个子同学； (4)的近似值的全体． 解析　(1)对任意一个整数能判断出是不是“不超过20的非负整数”，所以能构成集合； (2)方程的两个解是x＝±3，能构成集合； (3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； (4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合． 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．　 题型二　元素与集合的关系 　(教材P2例如拓展)(1)下列所给关系中正确的个数是(　　) ①π∈R；②∉Q；③0∈Z；④|－1|∉N＋. A．1　　 　　 B．2　　 　　 C．3　　 　　 D．4 (2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法．设集合A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合． ①0是否是集合A中的元素？ ②若－5∈A，求实数a的值； ③若1∉A，求实数a的取值范围． [解析]　(1)根据各个数集的含义可知，①②③正确，④不正确．故选C. (2)①将x＝0代入方程，得02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素； ②若－5∈A，则有(－5)2－(－5)a－5＝0，解得a＝－4； ③若1∉A，则12－a×1－5≠0，解得a≠－4. [答案]　(1)C　(2)略 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确己知集合中的元素具有什么特征．　 [触类旁通] 1．(1)已知集合M中的元素满足3－2x<0，则下列正确的是(　　) A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈M C．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M (2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为(　　) A．2　　　　 B．2或4 C．4　　　　 D．0 解析　(1)由3－2x<0得x>，即集合M是大于的实数构成的集合，所以0∉M,2∈M. (2)若a＝2∈A，则6－a＝4∈A， 所以a＝2；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B. 答案　(1)B　(2)B 题型三　集合中元素特性的应用 　已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. [解析]　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－. 当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去； 当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性．∴a＝－. [母题变式] 　(变条件)若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值． 解析　由a∈A，可得a－2＝a或2a2＋5a＝a或12＝a， 当a－2＝a时，无解， 当2a2＋5a＝a时，a＝0或a＝－2， 若a＝0，三个元素分别为－2,0,12，符合集合中元素的互异性； 若a＝－2，三个元素分别为－4，－2,12，符合集合中元素的互异性． 当a＝12时，这三个元素是10,348,12，符合集合中元素的互异性． 综上所述，a的值为0或－2或12. [素养聚焦]　利用元素互异性问题引起的计算、讨论，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. 利用集合中元素的互异性求参数值的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．　 [触类旁通] 2．已知集合M是由a，a－1，a2－1三个元素组成的，且0∈M，求实数a 的值． 解析　∵0∈M， ∴①当a＝0时，则a－1＝－1，a2－1＝－1，不符合集合元素的互异性，故舍去； ②当a－1＝0时，则a＝1，a2－1＝0，不符合集合元素的互异性，故舍去； ③当a2－1＝0时，a＝±1，由②得，a＝1舍去，则a＝－1，a－1＝－2，a2－1＝0，符合题意． 综上，a＝－1. 知识落实 技法强化 1.元素与集合的概念及关系． 2．集合中元素的特点及应用． 3．常用数集的表示. 1.研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，这是判断是否构成集合的依据． 2．互异性是三个特性中最容易被忽视的性质，注意结合分类讨论思想对参数进行检验. 学科网（北京）股份有限公司 $$