阶段测评(4)(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

阶段测评(四) (时间：50分钟　满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y＝x在区间[1,2]上的值域是(　　) A．[－1,0]　　　　　 B．[0,1] C．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析　∵y＝x在[1,2]上是减函数，∴－1≤≤0，即值域为[－1,0]，故选A. 答案　A 2．函数f(x)＝lg|x|为(　　) A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 解析　已知函数定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x>0时，f(x)＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增．因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减． 答案　D 3．设a＝log32，b＝ln 2，c＝5，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a 解析　因为0<ln 2<ln e＝1，ln 3>ln e＝1，所以log32＝<ln 2，所以a<b<1(或利用函数y＝log3x和y＝ln x的图象得出)．因为c＝5>50＝1，所以c>b>a. 答案　D 4．已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则在同一平面直角坐标系内，函数f(x)＝ax与g(x)＝logb的图象可能是(　　) 解析　由log2a＋log2b＝log2(ab)＝0，得ab＝1. 当a>1时，0<b<1，函数f(x)＝ax在R上为增函数，g(x)＝logb＝－logbx在(0，＋∞)上为增函数，选项B满足； 当0<a<1时，b>1，函数f(x)＝ax在R上为减函数，g(x)＝－logbx在(0，＋∞)上为减函数，四个图象均不满足．故选B. 答案　B 5．已知函数 f(x)＝ (a>0且a≠1)是R上的单调函数，则a的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 解析　因为f(x)＝ (a>0且a≠1)是R上的单调函数， 若f(x)是R上的单调递增函数， 则 解得a>1； 若f(x)是R上的单调递减函数， 则 解得0<a≤， 综上，a的取值范围是∪(1，＋∞)，故选B. 答案　B 6．(2025·山西大学附中月考)若ea＝－ln a，e－b＝ln b，e－c＝－ln c，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 解析　如图，在同一直角坐标系中作出y＝ex，y＝e－x，y＝ln x，y＝－ln x的图象，由图象可知a<c<b. 答案　B 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发，向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．则以下结论正确的是(　　) A．当x>1时，甲走在最前面 B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲 解析　在同一直角坐标系中作出这四个函数的图象(图略)．因为f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)<f2(2)，所以当x＝2时，乙在甲的前面，故A错误． 当0<x<1时，f4(x)的图象在最上方，即丁走在最前面；当x>1时，f4(x)的图象在最下方，即丁走在最后面，故B正确． 当0<x<1时，丙在甲、乙前面，在丁后面；当x>1时，丙在丁前面，在甲、乙后面；当x＝1时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱，故C正确． 当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快，f1(x)的图象必定在f2(x)，f3(x)，f4(x)图象的上方，所以最终走在最前面的是甲，故D正确． 答案　BCD 8．(2024·西南大学附中期末)已知函数f(x)＝log2(－x)＋3，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(0,3)对称 B．f(ln 2)＋f＝6 C．函数f(x)在定义域上单调递增 D．若实数a，b满足f(a)＋f(b)>6，则a＋b<0 解析　f(－x)＝log2(＋x)＋3 ＝－log2(－x)＋3＝－f(x)＋6， 故f(－x)＋f(x)＝6，即f(x)的图象关于点(0,3)对称，故f(ln 2)＋f＝f(ln 2)＋f(－ln 2)＝6，故A，B正确；f(x)的定义域为R，由于t＝－x＝单调递减，且t>0，而y＝log2t＋3单调递增，所以f(x)为减函数，C错误；由f(a)>6－f(b)＝f(－b)，及f(x)为减函数，得a<－b，故a＋b<0，D正确． 答案　ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．已知对数函数y＝f(x)的图象过点，则f(e3)＝________. 解析　由题意可知，设f(x)＝logax(a>0，a≠1)，因为在图象上，则f(e)＝logae＝1，解得a＝e，则f(x)＝ln x，则f(e3)＝ln e3＝3. 答案　3 10．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________． 解析　若a>0，则由f(a)>f(－a)得log2a>loga＝－log2a，即log2a>0，∴a>1； 若a<0，则由f(a)>f(－a)， 得log(－a)>log2(－a)， 即－log2(－a)>log2(－a)， ∴log2(－a)<0， ∴0<－a<1，即－1<a<0. 综上可知，－1<a<0或a>1. 答案　(－1,0)∪(1，＋∞) 11．同时满足下列两个条件：①f＝nf(x)，x>0；②>0的函数可以为________． 解析　由>0可知函数为增函数，再由f＝nf(x)可知f(x)可以为对数函数，故可以填f(x)＝ln x，或者其他底数大于1的对数函数(答案不唯一)． 答案　f(x)＝ln x(答案不唯一) 四、解答题：本题共3小题，共43分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域和值域； (2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值． 解析　(1)由得定义域为{x|－3<x<1}． f(x)＝loga(－x2－2x＋3)， 令t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， 因为x∈(－3,1)，所以t∈(0,4]． 所以f(t)＝logat，t∈(0,4]． 当0<a<1时，f(t)min＝f(4)＝loga4，值域为[loga4，＋∞)；当a>1时，f(t)max＝f(4)＝loga4，值域为(－∞，loga4]． (2)因为f(x)min＝－2，由(1)及题意得 解得a＝. 13．(15分)已知奇函数f(x)＝ln. (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)当x∈[2,5]时，ln(1＋x)>m＋ln(x－1)恒成立，求实数m的取值范围． 解析　(1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 即ln＝－ln. ∴＝，即(a2－1)x2＝0， 解得a＝±1， 经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1. (2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 证明：由(1)得f(x)＝ln，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝ln－ln ＝ln＝ln. ∵1<x1<x2， ∴x2－x1>0，>1， ∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减． (3)由已知得m<ln(1＋x)－ln(x－1)， 即m<ln. 由(2)知f(x)＝ln在[2,5]上为减函数． ∴f(x)在[2,5]上的最小值为f(5)＝ln. 于是m<ln， 即实数m的取值范围为. 14．(15分)已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对任意非零实数x1，x2，都有f＝f(x1)＋f(x2)． (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)从下面两个条件中任选一个作已知条件，比较与f的大小． ①当x>1时，f(x)>0； ②当x>1时，f(x)<0. 解析　(1)f(x)为偶函数，证明如下： 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，令x1＝x2＝－1， 得f(1)＝2f(－1)＝0，得f(－1)＝0， 故f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，函数f(x)为偶函数． (2)选条件①，设x1，x2>0且x2>x1， 则f(x2)＝f(x1)＋f，而>1， 则f>0，故f(x2)－f(x1)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而<0，log59>0， log59＋＝＋ ＝， 4lg 3·lg 2－lg 5＝4lg 3·lg 2－(1－lg 2) ＝(4lg 3＋1)lg 2－1， 而4lg 3＋1<3，(4lg 3＋1)lg 2－1<0， 选条件②，同理得函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，而0<log59<－，故<f. 学科网（北京）股份有限公司 $$