第8章 §1 走近数学建模&§2 数学建模的主要步骤&§3 数学建模活动的主要过程(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．(多选)若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系说法不正确的是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立 解析　因为P()＝，所以P(A)＝. 又P(B)＝，P(AB)＝， 所以有P(AB)＝P(A)P(B)， 所以事件A与B相互独立但不一定互斥． 即只有C正确． 答案　ABD 2．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D． 解析　由P(A)＝P(B) 得P(A)P()＝P(B)·P()， 即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]， ∴P(A)＝P(B)．又P()＝， ∴P()＝P()＝.∴P(A)＝. 答案　D 3．(多选)甲、乙两名同学均打算在高考期间去A，B，C三个考点中的一个考点做志愿者，甲去A，B考点做志愿者的概率分别为0.4,0.3，乙去B，C考点做志愿者的概率分别为0.5,0.2，且甲、乙的选择互不影响，则(　　) A．甲去C考点做志愿者的概率为0.3 B．甲去A考点、乙不去C考点做志愿者的概率为0.32 C．甲、乙同去C考点做志愿者的概率为0.15 D．甲、乙不去同一考点做志愿者的概率为0.67 解析　对于A，甲去C考点做志愿者的概率为1－0.4－0.3＝0.3，故A正确．对于B，甲去A考点、乙不去C考点做志愿者的概率为0.4×(1－0.2)＝0.32，故B正确．对于C，甲、乙同去C考点做志愿者的概率为0.3×0.2＝0.06，故C错误．对于D，乙去A考点做志愿者的概率为1－0.5－0.2＝0.3，甲、乙不去同一考点做志愿者的概率为1－(0.4×0.3＋0.3×0.5＋0.3×0.2)＝0.67，故D正确． 答案　ABD 4．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________；P( )＝________. 解析　∵P(A)＝，P(B)＝， ∴P()＝，P()＝. ∴P(A)＝P(A)P()＝×＝， P()＝P()P()＝×＝. 答案　　 5．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________． 解析　设从甲袋中任取一个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B为“取得白球”，则事件为“取得红球”． ∵事件A与B相互独立，∴事件与相互独立． ∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为 P(AB＋)＝P(AB)＋P()＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝. 答案　 6．某社区举办环保知识有奖问答比赛，某场比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道问题，已知甲回答正确的概率是，甲、丙都回答错误的概率是，乙、丙都回答正确的概率是.假设他们是否回答正确互不影响． (1)分别求乙、丙回答正确的概率； (2)求甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率． 解析　(1)设事件A＝“甲回答正确”，事件B＝“乙回答正确”，事件C＝“丙回答正确”，则P(A)＝， 依题意， 即 解得 所以乙、丙回答正确的概率分别为，. (2)设事件M＝“甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确”，则M＝AB＋AC＋BC＋ABC， 显然事件AB，AC，BC，ABC两两互斥， 则P(M)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝××＋××＋××＋××＝， 所以甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率是. [关键能力·综合提升] 7．(2025·湖北武汉高一检测)已知三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且这三个元件是否正常工作是相互独立的．若将这三个元件接入到如图所示的电路中，则电路不发生故障的概率是(　　) A. B． C. D． 解析　记事件Ak＝“元件Tk正常工作”，k＝1,2,3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.记事件M＝“电路不发生故障”，则M＝(A2＋A3)A1，所以P(M)＝P[(A2＋A3)A1]＝[1－P(2)P(3)]·P(A1)＝×＝. 答案　A 8．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 － 0.3 0.3 0.8 乙 0.7 － 0.6 0.4 丙 0.7 0.4 － 0.5 丁 0.2 0.6 0.5 － 那么甲得冠军且丙得亚军的概率是(　　) A．0.15　 B．0.105 C．0.045　 D．0.21 解析　甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件的概率等于概率之积，所以甲得冠军且丙得亚军的概率为0.3×0.5×0.3＝0.045.故选C. 答案　C 9．(2025·江苏苏州外国语学校月考)猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被同一个同学猜对的可能性都相等．任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为________；若甲、乙、丙三位同学中至少有一个人猜对的概率为，则n的值为________． 解析　设事件A＝“任选一道灯谜，甲猜对”，事件B＝“任选一道灯谜，乙猜对”，事件C＝“任选一道灯谜，丙猜对”，则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝，故P()＝，P()＝，P()＝1－.“甲、乙两位同学恰有一个人猜对”即A＋B，且A与B互斥．每位同学独立竞猜，故A，B相互独立，则A与，与B，与均相互独立，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()P(B)＝×＋×＝.设事件D＝“甲、乙、丙三位同学中至少有一个人猜对”，则＝，所以P(D)＝1－P()＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－××＝，解得n＝10. 答案　　10 10．某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试，测试通过可获得相应学分，每年所得总学分不低于10分时该年度考核为合格．该单位员工甲今年可参加的专业技能测试有A，B，C，D四项，已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的概率如下表所示，且员工甲各项专业技能测试是否通过相互独立. 测试项目 A B C D 获得学分 4分 5分 6分 8分 通过该测试的概率 (1)若员工甲参加A，B，C三项测试，求他本年度考核合格的概率； (2)员工甲欲从A，B，C，D中选择三项参加测试，若要使他本年度考核合格的概率不低于，应如何选择？请求出所有满足条件的方案． 解析　(1)设事件M＝“员工甲本年度考核合格”． 由题意，知员工甲本年度考核合格必须通过C测试，且A，B测试中至少有一项通过，故 P(M)＝×＝. (2)①若选择A，B，D三项测试，则必须通过D测试，且A，B测试中至少有一项通过，故 P(M)＝×＝<； ②若选择B，C，D三项测试，则需任意两项测试通过或三项测试均通过，故 P(M)＝××＋××＋××＋××＝>； ③若选择A，C，D三项测试，则需任意两项测试通过或三项测试均通过，故 P(M)＝××＋××＋××＋××＝>. 结合(1)中<，所以满足条件的方案为选择A，C，D三项和选择B，C，D三项． [核心价值·探索创新] 11．(全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 解析　(1)记事件M：甲连胜四场， 则P(M)＝4＝. (2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 P′＝P(ABAB)＋P(ACAC)＋P(BCBC)＋P(BABA)＝4×4＝， 所以，需要进行第五场比赛的概率为 P＝1－P′＝. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、空结果有三种情况：胜胜负胜、胜负空胜、负空胜胜，概率分别为，，，因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$